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等比数列课件设计


1.3.1 等比数列教学设计
江西省清江中学 王英

教学目标︰
1、通过实例,理解等比数列的概念 通过从丰富实例中抽象出等比数列的模型,使学生认识到这一类型数列也是现实世界中 大量存在的数列模型;同时经历由发现几个具体数列的等比关系,归纳等比数列的定义的过 程。 2、掌握等比数列的通项公式 通过等差数列的通项公式的推导过程的类比, 探索等

比数列的通项公式, 通过与指数函 数的图象类比,探索等比数列的通项公式的图象特征及与指数函数之间的关系。 3、通过等比数列与指数函数的关系体会数列是一种特殊的函数。

教学重点:理解等比数列的概念,认识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一,
探索并掌握等比数列的通项公式。

教学难点:等比数列与其对应函数的关系。 教学过程:
一、情境引入新课 复习提问: 等差数列的定义、 等差数列的通项公式及应用, 再来观察另外一种特殊的数列: 【设计意图】通过复习让学生在对旧知识的复习中突破新知识学习可能出现的与旧知有关 的问题,实现其重要作用——联旧引新。 实例分析 1:绕口令:一个饼干掰半边,半边又掰半边,半边又掰半边??。你能用一组数 列表示出每次掰完后饼干的大小么? 【老师】 把完整的饼干看成单位“1”,那么得到的数列是什么样的呢? 【学生】发现等比关系,写出一个无穷等比数列:1,

1 1 1 1 , , , ,…。 ①? 2 4 8 16

● 实例分析 2:拉面管的师傅将一根很粗的面条,拉伸、捏合、再拉伸、再捏合,如此反 复几次就拉成了许多根细面条,这样捏全 8 次后可拉出多少根细面条? 【学生】思考、讨论,得出每一次捏合后的根数构成一个数列:1,2,4,8,16,32, 64,128 ②

●实例分析 3: 星火化工厂今年产值为 a 万元, 计划在以后 5 年中每年比上年产值增长 10%, 试列出从今年起 6 年的产值(单位:万元) 学生:用提问的方式叫学生列出相应的一组数列: a,a(1+10%),a(1+10%) ,a(1+10%) ,a(1+10%) ,a(1+10%) .
2 3 4 5



【老师】观察上面的数列①②③,说说它们有什么共同特点?? 引导学生类比等差关系和等 差数列的概念,发现等比关系。我们可以发现:? 数列①从第 2 项起,每一项与它前一项的比都等于____; 数列②从第 2 项起,每一项与它前一项的比都等于____; 数列③从第 2 项起,每一项与它前一项的比都等于____; 也就是说这些数列有一个共同的特点: 从第 2 项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数。 我们把这样的数列称为等比数列。这就是我们今天要研究的课题:等比数列。 【设计意图】 目的是让学生明白等比数列是来源于生活中的例子, 观察所给各个数列的共同 特点,进一步归纳出等比数列的定义。 二、探究新课 1、等比数列的定义 探究 1:类比等差数列的定义,大家能否给等比数列下个定义? 【设计意图】学会类比的思想。 【学生】独立思考,类比等差数列的定义。给等比数列下定义。 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就 叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母 q 表示。 【老师】用数学符号语言怎样表示等比数列的定义呢?如果我们第 n 项用 a n 表示,那么它 的前一项该怎么表示,那么公比怎么表示?这里的 n 的取值范围呢? 【学生】讨论,交流。

a ? q (n ? 2) 或 a ? q(n ? 1) a a
n
n ?1

n ?1

n

【老师】 这个定义公式完整么?哪位同学来补充一下?等差数列是差的关系, 而等比数列是 商的关系,既然是商的关系,那我们应该注意什么? 思考:等比数列的定义中, q 是否可以为 0?为什么?能否将“
an ? q ”的条 an ?1

a 件改写成“ n ? an ?1q

”?为什么?

【设计意图】引导学生对等比数列内涵再认识和进一步理解。 【学生】讨论,辨析,得到结论, q 不能为 0,因为如果 q=0,则分子为 0,而每一个分子都可

an ?q a n ?1

能出现在分母中,则分母为 0 无意义; 为 0. 感悟:等比数列中 q≠0, a n ? 0 .

表达式说明在等比数列中的任意项都不能

【老师】那么是否存在既是等差又是等比的数列呢? 【学生 1】常数列。 【老师】是吗?有不同意见吗? 【学生 2】非零的常数列既是等差又是等比数列。 【设计意图】注重学生思维的严密性的培养。 例 1:判断下列数列是否为等比数列,若是,请指出公比 q。 (1) 1,2, 8,32,128,? 。 (2) -1,-5,-25,-125,…。 (3) 2,2,2,2,? 。 ---不 是 -- 是 --- 是 --- 是 q =5 q =1 q = - 0.5

(4) 1,-0.5,0.25,-0.125,? 。 (5) 1, 2,1, 2,1, 2?。 (6) a , a , a , a , a ….
2 3 4 5

--- 不是 ---分类讨论 a

【老师】思考:公比 q 的取值范围是什么呢? 【学生】正数、负数,但是不能为零。 【设计意图】 :加深对等比数列定义的理解,培养学生运用分类讨论的思想分析问题和解决 问题。 【老师】我们现在知道了等差数列等比数列的定义,同学们试着给“等和数列”下个定义? 【设计意图】 :让学生学会知识的迁徙,提高他们利用新信息解决问题的能力。 2、等比数列的通项公式 我们继续来研究一下情境中的这三个数列。 探究 2:试着写出上面三个数列的通项公式,并猜想等比数列的通项公式。 【设计意图】体现由特殊到一般的思想,先写出具体实例的通项公式,使学生经历观察, 归纳,猜想的过程。

?1? ① an ? ? ? ?2?

n

② an ? 2

n ?1

③ an ? a?1 ? 10 % ?

n ?1

【学生】通过观察,看出这三个数列的通项公式,并寻找这三个公式中共性的地方,把①改

写成, an ?

1 ?1? ?? ? 2 ?2?

n ?1

,② an ? 1 ? 2

n ?1

③ an ? a ? ?1 ? 10 % ?

n ?1

,观察,发现都有 n-1

次幂的形式,而且乘号前面的数字

1 1 ,1, a 都是首项 a1 ,乘号后面的底数 , 2,1? 10% 都 2 2

是各项的公比,所以猜想等比数列的通项公式是 an=a1qn-1。 【老师】这位同学猜想的很好,那我们就来推导一下等比数列的通项公式,看看和这位同学 猜想的一致吗? 探究 3: 类比等差数列通项公式的推导过程,请你写出首项为 a1,公比是 q 的等比数列的 通项公式的推导过程。 【老师】我们在学习等差数列的通项公式时,用过哪些方法? 【学生 1】回忆了用不完全归纳法和叠加法求通项公式的方法,类比等差数列的推导过程, 设等比数列{an}首项为 a1,公比为 q,根据等比数列的定义,我们有: a2=a1q, a3=a2q=a1q2,? 即 an=a1qn-1.? 【老师】请同学们想一想,你还有其它方法吗? 【学生 2】根据等比数列的定义,我们还可以写出?

a a 2 a3 a 4 a a a a ? ? ? ... ? n ? q ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? q n ?1 ? a1 a2? a3 an ?1 a1 a2 a3 an?1
进而有

an ? q n ?1 ,即 an=a1qn-1.? a1

【学生 3】an=an-1q=a n-2q2=a n-3q3=…=a1q n-1.?亦得?an=a1qn-1。 【老师】等比数列的通项公式:an=a1qn-1 (n∈N﹡,q≠0) 【老师】 请同学们思考在等比数列通项公式与哪几个量有关?已知哪些量可以求出其它量? 【学生】已知首项 a1 、项数 n、第 n 项 an 、公比 q 有关,且 a1和q 是等比数列的两个关健量 已知 a1和q 可以求出任何一项。 例:(1) 、求下列等比数列的第 4 项,第 5 项及 an 5,-15,45,…… ( 2 )、 已 知 一 个 等 比 数 列 的 首 项 是 2 , 第 2 项 与 第 3 项 的

的和是 12,求它的第 8 项的值。

(3)a4 ? 27, q ? ?3, 求a7 ; (2)a3 ? 20, a6 ? 160 , 求an
【老师】通过(1) (2)小题的演板,让同学们熟悉公式,及时发现同学们掌握公式和运用 公式的能力,由(3) (4)小题再进一步提出,可不可以用更简单的方法求解呢? 等差通项公式里面我们知道 an ? am ? (n ? m)d 即已知其中任何一项 (不一定是首 项)及公差我们可以求出其它项,那等比数列通项公式也可以这样变形么? 【设计意图】通过类比写出 an ? am q
n?m

,再证明公式的正确性。运用推导的公式求解上面

(1) (2)小题,可以从中体会灵活运用公式的优越性。 【老师】前面我们知道等差数列的图像与一次函数之间的关系,那么等比数列的图像呢? 探究 4:在平面直角坐标系中, (1)画出函数 y=2x-1 的图象。 (2)再在坐标系中画出通项公式为 an=2 n-1 的数列的图象,观察它们之间的关系。 (3)若将底数换为

1 呢?你有怎样的结论? 2
n ?1

【设计意图】等比数列 ?an ? 的通项公式还可以写成 an ? a1q
x

?

a1 n a .q ? cq n (其中c ? 1 ) ,当 q 为不 q q

等于 1 的正数时, y ? q 是一个指数函数, y ? cq x 是一个的非零常数与一个指数函数的积。 因此从图像上看,表示数列 ?cqn ? 的图像是函数 y ? cq x 的图像上的一些孤立的点。 【学生】观察、动手作图,发现规律,总结规律,数列是特殊的函数,等比数列是其对应函 数图象上孤立的点。 【老师】通过 PPT 演示图像,帮助同学们建立数形结合,函数模型数学思想,让同学们学 会用函数的观点来解决数列问题。

四、练习巩固: 1.在等比数列 题号 (1) (2) (3) (4) (5)

?an ? 中,填写下表:
a1
3

q
-2

n
5 4 4 5

an

1 2 1 2
3 3 2

1 16 1 16
48 24

五、归纳小结 提炼精华 本节课主要学习了:

一个定义: a n ? q(n ? N * 且n ? 2)
a n ?1

两个公式:an=a1qn-1 (n∈N﹡,q≠0)
an=amqn-m (m,n∈N﹡,q≠0)

三种思想:类比的思想、方程思想 、函数的思想。 三种方法:不完全归纳法、迭代法、叠乘法(此条不板书) 。
【老师】通过本节课的学习,你有哪些收获? 【学生 1】在本节课中,我学习了等比数列的定义,学会了等比数列的推导的三种方法,最 后学习了等比数列和函数之间的关系及运用等比数列解决问题的方法。 【学生 2】在本节课中我还学习了类比的思想。 【老师】当然我们还有方程的思想以及函数的思想。 【设计意图】让学生自己小结,不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法。这样可帮助 学生自行构建知识体系,理清知识脉络,养成良好的学习习惯。

六、课后扩展题:

1.求下列各组数中插入怎样的数后是等比数列。 (1)1, ____ , 9 (2)-1,____ ,-4 (3)-12,____ ,-3 (4)1, _____ ,1 2.根据指数函数的单调性,试着分析等比数列 an ? a1q
n ?1

(q ? 0) 的单调性。

【设计意图】通过课后扩展,让同学们应用已掌握的新知识解决新问题,同时引导学生的扩 散性思维,激发他们的求知欲,为下节课探讨的内容做好准备。 七、作业: (1)一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第 2 项及通项公 式. 【设计意图】巩固新知,学会运用方程的观点解决数列问题。


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