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高二数学精讲知识梳理数的概念及运算


高二数学精讲知识梳理——数的概念及运算
目标认知 学习目标: 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线的斜率等) ;掌握函数在一点处的导数的定 义和导数的几何意义;理解导数的概念。 2.熟记常函数 C,幂函数 xn(n 为有理数) ,三角函数 sinx,cosx,指数函数 ex,ax,对数函数 lnx,logax 的导数公 式;掌握两个函数四则

运算的求导法则; 3.掌握复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。 重点: 导数的概念、常见函数的导数、函数的和、差、积、商的导数、复合函数的导数 难点: 导数的概念、复合函数的导数。 知识要点梳理 知识点一:函数的平均变化率

函数

中,如果自变量 在

处有增量

,那么函数值 y 也相应的有增量△y=f(x0+△x)-f(x0),其比值



做函数





+△x 的平均变化率,即





,则平均变化率可表示为

,称为函数





的平均变化率。

注意: 1.事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值” 。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值; 2.函数的平均变化率表现函数的变化趋势,当 取值越小,越能准确体现函数的变化情况。

3.函数 4. 说明函数

的平均变化率 处的改变量, 更小考虑。 ;而

的几何意义是表示连接函数

图像上两点割线的斜率。

是自变量 在

是函数值的改变量,可以是 0。函数的平均变化率是 0,并不一定

没有变化,应取

知识点二:导数的概念: 1.导数的定义: 对函数 ,在点 处给自变量 x 以增量Δ x ,函数 y 相应有增量 。若极限

存在,则此极限称为 点 x0 处可导。

在点 x0 处的导数,记作



,此时也称



即: 注意:增量△x 可以是正数,也可以是负数。

(或



2.导函数: 如果函数 在开区间 内的每点处都有导数, 此时对于每一个 为函数 , 都对应着一个确定的导数 ,

从而构成了一个新的函数

, 称这个函数

在开区间内的导函数,简称导数,

注意: 函数的导数与在点 在 附近的变化情况。

处的导数不是同一概念,

是常数, 是函数



处的函数值, 反映函数

3.导数几何意义: 1. 曲 线 上 一 点 P(x0 , y0) 及 其 附 近 一 点 Q(x0+ △ x,y0+ △ y) , 经 过 点 P 、 Q 作 曲 线 的 割 线 PQ , 其 倾 斜 角 为

当点 Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点 P(x0,y0),即△x→0 时,割线 PQ 的极限位置 直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线。 若切线的倾斜角为 ,则当△x→0 时,割线 PQ 斜率的极限,就是切线的斜率。曲线的切线是割线的极限位置,即:



2. 导数的几何意义:函数 y=f(x)在点 x0 的导数是曲线

上点(

)处的切线的斜率。

3. 如果

在点

可导,则曲线 。

在点(

)处的切线方程为:

4. 若曲线

在点

处的导数

不存在,就是切线与

轴平行。

,切线与 轴正向夹角为锐角; ,切线与 轴正向夹角为钝角; ,切线与 轴平行。 4. 瞬时速度: 速度等于位移与时间的比, 而非匀速直线运动中这个比值是变化的, 中每一时刻的运动快慢程度,我们采用瞬时速度这一概念。 满足 s=s(t)(位移公式),那么物体在时刻 t 的瞬时速度 v,就是物 我们知道物体运动的 如何了解非匀速直线运动 如果物体的运动规律 体 t 到 t+△t 这段时间内,

当△t→0 时平均速度的极限,即 看作是物体的运动方程(也叫做位移公式) ,那么导数 知识点三:常见基本函数的导数公式 (1) (C 为常数) ,

。 表示运动物体在时刻 的瞬时速度。

如果把函数

(2) (3) (4) (5) (6)

(n 为有理数) , , , , ,

(7)



(8)



知识点四:函数四则运算求导法则 设 , 均可导

(1)和差的导数: (2)积的导数:

(3)商的导数: 知识点五:复合函数的求导法则 1.一般地,复合函数 变量 对自变量 的导数 ,即 对自变量 的导数 或





,等于已知函数

对中间变量

的导数

,乘以中间

注意:选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏。其中还应特别注意 中间变量的关系,求导后,要把中间变量转换成自变量的函数。 2.求复合函数的导数,一般按以下三个步骤进行: (1)适当选定中间变量,正确分解复合关系; (2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导) ; (3)把中间变量代回原自变量(一般是 x)的函数。 整个过程可简记为分解——求导——回代。熟练以后,可以省略中间过程。若遇多重复合,可以相应地多次用中间变 量。 规律方法指导 1. 理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件。具体解题时,还应结合函数本身的特点, 才能准确有效地进行求导运算,调动思维的积极性,在解决新问题时,触类旁通,得心应手。 2.熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则,复合函数的求导法则。 3. 对于一个复合函数,一定要理清中间的复合关系,弄清各分解函数中应对哪个变量求导。


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