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变上限定积分函数及其导数 教案


高等数学教案

变上限定积分函数及其导数
教学内容:变上限定积分函数及其导数。 知识目标:使学生掌握变上限定积分函数的定义; 使学生了解原函数存在定理的证明; 使学生会熟练运用原函数存在定理求导数 。 情感目标:通过原函数存在定理体会积分和微分之间的联系。 教学重点:通过对变上限定积分的掌握和原函数存在定理的结论会求 变上限定积分函数的导数。 教学难点:原函数存在定理的证明。 教学设计:对高职生来说,原函数存在定理的证明过程是本节课的难 点,所以采用提前给出储备知识减弱学生负担,同时又辅以数形结合 来形象展示。对变上限积分函数的导数采用讲练结合来强化重点。 教学方法:讲练结合+任务驱动

教学过程: 一 课程导入
在前面我们通过两个实例曲边梯形的面积和变速直线运动的路程引入了定积 分的概念。 求定积分的过程实际上是求和式的极限一般来说,根据定义求定积分 计算是很复杂的,所以,必须寻求一种简单而有效的方法。牛顿-莱布尼兹在创 建微积分时,就发现定积分和不定积分有密切的联系。我们第二讲要讲的牛顿莱布尼兹公式,从而把求定积分的问题转化为求不定积分(既原函数)的问题, 为人们计算定积分提供了简便的方法。本节课所要讲的原函数存在定理,在微分 和积分之间建立了关系, 牛顿和莱布尼兹利用这种关系用来计算计算定积分,得 出了著名的牛顿-莱布尼兹公式。

二 储备知识
引导学生复习下面一些知识点,为后面的知识做准备。 1 原函数:若 ??( x) ? f ( x) ,则 ? (x ) 是 f (x) 的一个原函数。

?f ( x ) 存在 ,则 f (x) 可导。 ?x ? 0 ?x d 3 复合函数求导: ( f (u ( x)) ? f ?(u ) ? u ?( x) dx

2 可导的概念:若 lim

4 定积分的积分区间可加性: ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx 。
a a c

b

c

b

5 定积分积分中值定理 : ? f ( x)dx ? f (? )(b ? a)
a

b

(a ? ? ? b) 。

三 给出课堂任务目标
给出本节课的任务目标,以便让学生明白本节课的主要任务。 本堂课主要有三个任务目标 :1 掌握变上限积分函数的概念; 2 了解原函数存在定理的证明; 3 会熟练运用原函数存在定理求导数。

四 课程内容
1 变上限定积分函数的概念 设 f (x) 在 [a, b] 上连续,x ? [a, b] , f (x) 在 [a, x] , 则 即定积分 ? f ( x)dx 存在,
a x

这样很容易混淆,又定积分的值与积分变量无关,我们把积分变量换成 t,即得

?

x

a

f ( t )dt 。若固定积分下限 a ,则对任意一个 x ? [a, b] ,定积分 ? f ( t )dt 都有唯
a x a

x

一的值与 x 对应, 所以 ? f ( t )dt 是上限变量 x 的函数,称它为变上限定积分函数, 记作 ?( x) ? ? f (t )dt 。
a x

从定积分的几何意义来解释变上限积分是 x 的函数。 对于变上限积分函数 ? f ( t )dt 在给定的情况下可以求其导数。
a x

2 定理(原函数存在定理) 定理 1 如果函数 f (x) 在 [a, b] 上连续,则变上限积分 ? ( x) ? 在 ( a, b) 内可导,且其导数为 ? ?( x) ? 个原函数。 证明: ?( x ? ?x) ? ?
x ? ?x

?

x

a

(t )dt ( a ? x ? b )

d x f (t )dt ? f ( x) 。即 ? (x ) 是被积函数的一 dx ?a

a

f (t )dt

y
?? ? ?
x a x ? ?x a

f (t )dt ? ? f (t )dt
a x ? ?x x

x

? ? f (t )dt ? ? ??
x ? ?x x

f (t )dt ? ? f (t )dt
a

x

?( x )

f (t )dt

o
?x ?0

a

x?

x ? ?x b

x

( 根据定积分的中值定理:存在 ? ? x, x ? ?x) ??( x) ? f (? )?x (如图) 使 。
?? ? f (? ), ?x lim ?? , ? lim f (? ) ?x ?x ?0

?x ? 0, ? ? x

。 ? ??( x) ? f ( x)

这个定理肯定了连续函数的原函数是存在的,通常称为原函数存在定理; 同时, 该定理也初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系,在微分和积 分之间建立了关系, 我们又把它称之为微积分第一基本定理。它是下面要将的牛 顿-莱布尼兹公式的基础。 3 例题与解答。 (比书上多补充一种类型) 例 求下列函数的导数:

(1) (2) (3)

? ( x ) ? ? cos(2t ? 1)dt;
0

x

? ( x) ? ? e t cos3tdt;
x

0

? ( x ) ? ? e t dt。
2

x2

1

解: (1) ??( x) ? cos(2 x ? 1) 。

(2) ?( x) ? -?0 et cos3tdt ,
??( x) ? ?e x cos3x 。

x

(3)

令 u ? x 2 ,则 ?(u) ? ?1 et dt ,
2

u

??( x) ? ??(u) ? u? ? eu ? 2x ? 2xex 。
2 4

4 练习

求下列函数的导数:

() 1 (2) (3)

?( x) ? ?

x

1 0

tan(2t ? 1) dt; t

?( x) ? ? e ?2t dt;
x

?( x) ? ? et sin 2tdt。
0

x3

请两个学生上台做演示。

5 延伸和推广(为有兴趣的学生提供) 思考:当积分的上下限都是变量 x 的函数时,该如何求导? 推广: 推论1. 设F ( x) ? ?a
? ( x)

f (t )dt , 则F ?( x) ? f [? ( x)]? ?( x) 。

推论2. 设F ( x) ? ?

? ( x)

? ( x)

f (t )dt, 则

F ?( x) ? f [? ( x)]? ?( x) ? f [? ( x)]? ?( x)

五 小结与作业
小结:针对前面的课堂任务目标学生自查完成情况。 作业:练习 5.2 第一题


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