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浙江省教育考试院2014届高考抽测数学(理)样题


浙江省教育考试院 2014 届高考抽测数学(理)样题
数学(理科)
姓名______________ 准考证号___________________

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页,选择题部分 1 至 3 页,非选择题 部分 4 至 5 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、

写在答题纸上。

选择题部分 (共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在 试卷和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn(k)= C p (1-p) (k=0,1,2,?,n) 台体的体积公式 V=
k n
k n-k

柱体的体积公式

V ? Sh
其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式

V ?

1 3

Sh

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式

1 3

h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 )

其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高

V ?

4 3

πR

3

其中 R 表示球的半径

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. 设集合 S={x|3<x≤6},T={x|x2-4x-5≤0},则
R(S∩T)



Z 数学(理科)试题第 1 页 (共 13 页)

A.(-≦,3]∪(6,+≦) C.(-≦,-1)∪(6,+≦) 2. 已知 i 是虚数单位,则 A.-1+i

B.(-≦,3]∪(5,+≦) D.(-≦,-1)∪(5,+≦)

3?i = 2?i
C.1+i D.1-i

B.-1-i

3.设函数 f (x)=x2-ax+b (a,b∈R),则“f (x)=0 在区间[1,2]有两个不同的实根”是 “2<a<4”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5 正视图 侧视图 3 俯视图 (第 4 题图) 4 3

4.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体 积等于 A. cm3 10 B. cm3 20 C. cm3 30 D. cm3 40

5.已知 α,β,γ 是三个不同的平面,α∩γ=m,β∩γ=n. A.若 m⊥n,则 α⊥β C.若 m∥n,则 α∥β B.若 α⊥β,则 m⊥n D.若 α∥β,则 m∥n

6.已知箱中共有 6 个球,其中红球、黄球、蓝球各 2 个.每次从该箱中取 1 个球 (有放回, 每球取到的机会均等),共取三次.设事件 A: “第一次取到的球和第二次取到的球颜色 相同” ,事件 B: “三次取到的球颜色都相同” ,则 P(B|A)= A.

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D.1

7.设 a,b 为单位向量,若向量 c 满足|c-(a+b)|=|a-b|,则|c|的最大值是 A.2 2 B.2 C. 2 D.1
y l Q

x2 y 2 8.如图,A,F 分别是双曲线 C:2 ? 2 ? 1 (a,b> 的左 0) a b
顶点、右焦点,过 F 的直线 l 与 C 的一条渐近线垂直且 与另一条渐近线和 y 轴分别交于 P, 两点. AP⊥AQ, Q 若 则 C 的离心率是 A. 2 B. 3
A

F O x

P (第 8 题图)

Z 数学(理科)试题第 2 页 (共 13 页)

C.

1 ? 13 4

D.

1 ? 17 4

9.若 0<x,y< A.y<

x 4

π ,且 sin x=x cos y,则 2 x x B. <y< 4 2

C.

x <y<x 2

D.x<y
P D F E A B C

10.如图,正三棱锥 P-ABC 的所有棱长都为 4.点 D,E,F 分 别在棱 PA,PB,PC 上,满足 DE=EF=3,DF=2 的△DEF 个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

(第 10 题图)

非选择题部分 (共 100 分)
注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描 黑。 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于 . 2 12.若二项式 ( x ? 3 ) n 的展开式中的常数项是 80,则该展开式 x 中的二项式系数之和等于 . 13.已知点 O(0,0),A(2,0),B(-4,0),点 C 在直线 l:y=-x 上.若 CO 是∠ACB 的平分线,则点 C 的坐标为 .
开 始 k=1,S=0 否

k≤5? 是 S=S+ 2 k=k+1
?k

?3 x ? y ? 2 ? 0, ? 14.设 x,y∈R,若不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 所表示的平面区域 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
是一个锐角三角形,则 a 的取值范围是 .

输出 S 结 束 (第 11 题图) A E D (第 15 题图) O B F C

15.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=3,CD=4.过 AC 与 BD 的交点 O 作 EF∥AB,分别交 AD,BC 于点 E,F,则 EF= .

16.由 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的六位数,要求奇 数不相邻, 4 不在第四位, 且 则这样的六位数共有 个.

Z 数学(理科)试题第 3 页 (共 13 页)

2 17.设数列{a n }满足 a n + 1 = an -2,n∈N*.若存在常数 A,对于任意 n∈N*,恒有

|an|≤A,则 a1 的取值范围是



三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(本题满分 14 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 满足 4 sin Asin C-2 cos (A-C)=1. (Ⅰ) 求角 B 的大小; (Ⅱ) 求 sin A+2 sin C 的取值范围.

19.(本题满分 14 分) 如图,已知曲线 C:y=x2 (0≤x≤1),O(0,0),Q(1,0),R(1,1). 取线段 OQ 的中点 A1,过 A1 作 x 轴的垂线交曲线 C 于 P1,过 P1 作 y 轴的垂线交 RQ 于 B1,记 a1 为矩形 A1P1B1Q 的面积. 分别取线段 OA1,P1B1 的中点 A2,A3,过 A2,A3 分别作 x 轴的垂线交曲线 C 于 P2,P3,过 P2,P3 分别作 y 轴的垂线交 A1P1,RB1 于 B2,B3,记 a2 为两个矩形 A2P2B2 A1 与矩形 A3P3B3B1 的面积之和. 以此类推, an 为 2 记
n-1

y

R

个矩形面积之和, 从而得数
P3 P1 P2 O A2 A3 B2 A1 B3 B1 Q x

列{an},设这个数列的前 n 项和为 Sn. (I) 求 a2 与 an;

1 (Ⅱ) 求 Sn,并证明 Sn< . 3

(第 19 题图)

20. (本题满分 15 分) 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AD∥BC,BC=2AD=4,AB=CD= 10 . (Ⅰ) 证明:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ) 若二面角 A-PC-D 的大小为 60° ,求 AP 的值.
B

P

A

D

C (第 20 题图)

21.(本题满分 15 分) 如图,已知 O(0,0),E(- 3 ,0), F( 3 ,0),圆 F:(x- 3 ) 2 +y 2 =5.动点 P 满足 |PE|+|PF|=4.以 P 为圆心,|OP|为半径的圆 P 与 圆 F 的一个公共点为 Q.
E P y

Q

F O x

Z 数学(理科)试题第 4 页 (共 13 页)

(第 21 题图)

(Ⅰ) 求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ) 证明:点 Q 到直线 PF 的距离为定值,并求此值.

22. (本题满分 14 分) 已知 a 为给定的正实数, 为实数, m 函数 f (x)=ax3-3(m+a)x2+12mx +1. (Ⅰ) 若 f (x)在(0,3)上无极值点,求 m 的值; (Ⅱ) 若存在 x0∈(0,3),使得 f (x0)是 f (x)在[0,3]上的最值,求 m 的取值范围.

Z 数学(理科)试题第 5 页 (共 13 页)

测试卷 A 答案
数学(理科)
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分 细则。 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题 的内容和难度,可视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分 数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 五、未在规定区域内答题,每错一个区域扣卷面总分 1 分。

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。 1.B 6.B 2.D 7.A 3.A 8.D 4.B 9.C 5.D 10.C

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 28 分。

31 32 24 15. 7
11.

12.32 16.120

13.(4,-4) 17.[-2,2]

14. (-2,- )

1 3

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.本题主要考查三角变换、三角函数值域等基础知识,同时考查运算求解能力。满分 14 分。 (Ⅰ) 因为 4 sin A sin C-2 cos (A-C)=4 sin A sin C-2 cos A cos C+2 sin A sin C =-2 (cos A cos C-sin A sin C), 所以-2 cos (A+C)=1,故 cos B=

1 . 2

Z 数学(理科)试题第 6 页 (共 13 页)

又 0<B<π,所以 B= (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 C=
2π 3 π 3



???? 6 分

-A,故

sin A+2 sin C=2 sin A+ 3 cos A= 7 sin (A+θ),
π 2

其中 0<θ<

,且 sin θ=
2π 3

21 2 7 ,cos θ= . 7 7
2π 3

由 0<A<

知,θ<A+θ<

+θ,故

21 <sin (A+θ)≤1. 14
所以 sin A+2 sin C∈(

3 , 7 ]. 2

???? 14 分

19.本题主要考查等比数列的概念与求和公式、不等式等基础知识,同时考查运算求解能 力。满分 14 分。 (I) 由题意知 P 1( 故 a1= 又 P2( 故 a2=

1 1 , ( )2 ), 2 2

1 1 1 × ( )2 = . 2 2 8

1 1 3 3 , ( 2 ) 2 ), P3( 2 , ( 2 ) 2 ), 2 2 2 2 2

1 1 3 2 1 3 ×[ ( 2 ) 2 + ( 2 ) 2 - ( 2 ) 2 ]= 6 ×(12+32-?2)= . 2 2 2 2 2 2 32

由题意,对任意的 k=1,2,3,?,n,有

P2k ?1 ?i (


2i ? 1 2i ? 1 - , ( k )2 ), i=0,1,2,?,2k 1-1, k 2 2

Z 数学(理科)试题第 7 页 (共 13 页)

an=

2n ? 1 2n ? 2 1 1 3 2 5 4 ×[ ( n ) 2 + ( n ) 2 - ( n ) 2 + ( n ) 2 - ( n ) 2 +?+ ( n ) 2 - ( n ) 2 ] 2 2 2n 2 2 2 2 2 1 = 3 n ×[12+32-?2+52-?2+?+(2n-1)2-(2n-2)2] 2 1 - = 3 n ×{1+(4×1+1)+(4×2+1)+?+[4×(2n 1-1)+1]} 2 [1 ? 4 ? (2n ?1 ? 1) ? 1] ? 2 n ?1 1 = 3n × 2 2 n 2 ?1 = 2 n ?1 . 2 2n ? 1 3 , an= 2 n ?1 , n∈N*. 2 32

所以 a2= (Ⅱ) 由(I)知 an= 故 ???? 10 分

1 1 ? 2 n ?1 , n∈N*, n ?1 2 2

1 1 1 1 ? (1 ? n ) ? (1 ? n ) 2 n ?1 ? 3 ? 2n ? 1 4 = 1 ? (1 ? 1 ) - 1 ? (1 ? 1 ) = 2 2 -8 Sn= 4 . 1 1 3 ? 22 n ?1 2 2n 6 4n 1? 1? 4 2
又对任意的 n∈N*,有

3 ? 2n ? 1 >0,
所以 Sn= ?

1 3 ? 2n ? 1 1 < . 2 n?1 3 3? 2 3

???? 14 分

20.本题主要考查空间线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查 空间想象能力和运算求解能力。满分 15 分。 (Ⅰ) 设 O 为 AC 与 BD 的交点,作 DE⊥BC 于点 E.由四边形 ABCD 是等腰梯形得 CE=

BC ? AD =1, DE= DC 2 ? CE 2 =3, 2

P

所以 BE=DE,从而得
A

H D O

∠DBC=∠BCA=45° , 所以∠BOC=90° ,即
B

E (第 20 题图)

C

Z 数学(理科)试题第 8 页 (共 13 页)

AC⊥BD. 由 PA⊥平面 ABCD 得 PA⊥BD,所以 BD⊥平面 PAC. 方法一: (Ⅱ) 作 OH⊥PC 于点 H,连接 DH. 由(Ⅰ)知 DO⊥平面 PAC,故 DO⊥PC. 所以 PC⊥平面 DOH,从而得 PC⊥OH,PC⊥DH. 故∠DHO 是二面角 A-PC-D 的平面角,所以 ∠DHO=60° . 在 Rt△DOH 中,由 DO= 2 ,得 OH= 在 Rt△PAC 中, ???? 7 分

6 . 3

PA OH = .设 PA=x,可得 OC PC
x x ? 18
2



3 . 6

解得 x=

3 22 ,即 11
AP=

3 22 . 11

???? 15 分
z P

方法二: (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 AC⊥BD.以 O 为原点,OB,OC 所在直线为 x,y 轴,建立空间直角坐标系 O-xyz, 如图所示. 由题意知各点坐标如下: A(0,- 2 ,1), C(0, 2 2 ,0), B( 2 2 ,0, 0), D(- 2 ,0, 0).
B x A

D O C y

(第 20 题图)

由 PA⊥平面 ABCD,得 PA∥z 轴,故设点 P(0,- 2 ,t) (t>0).设 m=(x,y,z)为平面

Z 数学(理科)试题第 9 页 (共 13 页)

PDC 的法向量, ??? ? ??? ? 由 CD =(- 2 ,- 2 2 ,0), PD =(- 2 , 2 ,-t) 知

? ? 2 x ? 2 2 y ? 0, ? ? ?? 2 x ? 2 y ? tz ? 0. ?
取 y=1,得 m=(-2,1,

3 2 ). t

又平面 PAC 的法向量为 n=(1,0,0),于是 |m ? n| |cos< m,n>|= = | m |?| n |

2 5? 18 t2



1 . 2

解得 t=

3 22 ,即 11
AP=

3 22 . ???? 15 分 11 21.本题主要考查椭圆的定义、圆与圆的位置关系、点到直线距离、直线与椭圆的位置关 系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。
(Ⅰ) 由|PE|+|PF|=4>|EF|及椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 E,F 为焦点,4 为长 轴长的椭圆. 设 P(x,y),则点 P 的轨迹方程为
x
2

+y2=1.

4

???? 6 分

(Ⅱ) 设圆 P 与圆 F 的另一个公共点为 T,并设 P(x0,y0),Q(x1,y1),T(x2,y2),则由 题意知,圆 P 的方程为 (x-x0)2+(y-y0)2=x02+y02. 又 Q 为圆 P 与圆 F 的一个公共点,故

?( x1 ? 3)2 ? y12 ? 5, ? 2 2 2 2 ? ( x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 ) ? x0 ? y0 ,
所以 (x0- 3 ) x1+y0 y1-1=0. 同理 Z 数学(理科)试题第 10 页 (共 13 页)

(x0- 3 ) x2+y0 y2-1=0. 因此直线 QT 的方程为 (x0- 3 )x+y0y-1=0. 连接 PF 交 QT 于 H, PF⊥QT. 则 设|QH|=d (d>0), 则在直角△QHF 中 |FH|=
| 3( x0 ? 3) ? 1 | ( x0 ? 3) ? y0
2

y Q P E T O H F x


(第 21 题图)

2

x2 2 又 0 ? y0 ? 1 ,故 4
|FH|=

| 3( x0 ? 3) ? 1| ( x0 ? 3) ? 1 ?
2 2 x0

? 2?

| 3( x0 ? 3) ? 1| [ 3( x0 ? 3) ? 1]
2

? 2.

4

在直角△QHF 中 d= 5? | FH |2 ? 1 . 所以点 Q 到直线 PF 的距离为 1. ???? 15 分

22.本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识,同时考查推理论 证能力,分类讨论等综合解题能力。满分 14 分。 (Ⅰ) 由题意得 f ′(x)=3ax2-6(m+a)x+12m=3(x-2)(ax-2m), 由于 f (x)在(0,3)上无极值点,故

2m =2,所以 a
m=a. ???? 5 分

(Ⅱ) 由于 f ′(x)=3(x-2)(ax-2m), 故 (i) 当

2m 2m 3 ≤0 或 ≥3,即 m≤0 或 m≥ a 时, 2 a a

取 x0=2 即满足题意. 此时 m≤0 或 m≥

3 a. 2

Z 数学(理科)试题第 11 页 (共 13 页)

(ii) 当 0<

2m <2,即 0<m<a 时,列表如下: a

x f ′(x) f (x) 故

0

(0,

2m ) a

2m a
0 极大值

(

2m ,2) a


2 0 极小值

(2,3) + 单调递增

3

+ 1 单调递增

单调递减

9m+1

f(2)≤f(0) 或 f ( 即 -4a+12m+1≤1 或 即 3m≤a 或 即 m≤ 此时 0<m≤

2m )≥f(3), a

?4m 3 ? 12m 2 a +1≥9m+1, a2 ? m(2m ? 3a ) 2 ≥0, a2

a 3a 或 m≤0 或 m= . 3 2

a . 3

(iii) 当 2<

2m 3a <3,即 a<m< 时,列表如下: a 2
(0,2) + 2 0 极大值 (2,

x f ′(x) f(x) 故

0

2m ) a

2m a
0 极小值

(

2m ,3) a


3

- 单调递减

1

单调递增

单调递增

9m+1

f( 即

2m )≤f(0) 或 f(2)≥f(3), a

?4m 3 ? 12m 2 a +1≤1 或 -4a+12m+1≥9m+1, a2


Z 数学(理科)试题第 12 页 (共 13 页)

?4m 2 ( m ? 3a ) ≤0 或 3m≥4a, a2
即 m=0 或 m≥3a 或 m≥ 此时

4a . 3

3a 4a ≤m< . 2 3
a 3
或 m≥

综上所述, 实数 m 的取值范围是 m≤

4a . 3

???? 14 分

Z 数学(理科)试题第 13 页 (共 13 页)


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