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金堂中学高2013届理科数学(27)


金堂中学高 2013 届理科数学(27)
一、选择题:本试卷共 12 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设集合 S ? {x x ? 5}, T ? {x x 2 ? 4x ? 21 ? 0} ,则 S ? T ? ( )

A. {x ? 7 ? x ? ?5} A. i ? 50

B. {x 3 ? x ? 5} C

. {x-5 ? x ? 3} C. i ? 50

D. {x ? 7 ? x ? 5}


2. 右图是计算某班 50 人的身高平均数程序框图,空白处应该填(

B. i ?? 50

D. i ?? 50


3.已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?
2

)( x ? R) ,下面结论错误的是(

A.函数 f (x) 的最小正周期为 2? C.函数 f (x) 的图像关于直线 x ? 0 对称

? B.函数 f (x) 在区间 [0, ] 上是增函数 2
D.函数 f (x) 是奇函数

“ 4.已知 a, b, c, d 为实数,且 c ? d ,则 a ? b” 是“ a ? c ? b ? d ”的( )

A. 充分而不必要条件
5.已知双曲线

B. 必要而不充分条件

C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左右焦点分别为 F1,F2 ,其一条渐近线方程为 y ? x , 2 b2
) A. ? 12

点 P( 3, y0 ) 在该双曲线上,则 PF ? PF2 ? ( 1

B. ? 2

C .0 D. 4

6.一几何体的三视图如图所示,正视图与侧视图是全等图形,则这个几何体的 表面积是( )

A. 384 ? 4?

B. 336 ? 4?

C. 336 ?

4? 4? D. 384 ? 3 3

7.已知直线 l1:x ? 3 y=6=0 和直线 l 2:x ? ?1,抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到 4 直线 l1 和直线 l 2 的距离之和的最小值是( )

A.2

B.3

C.

11 5

D.

37 16

8.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨;生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获得利润 3 万元,该企业在 一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨,那么该企业可获得最大利润是( )

A. 12 万元

B. 20 万元

C. 25 万元

D. 27 万元

9.3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不 同排法的种数是( )A. 360 B. 288 C. 216 D. 96 10. 已 知 函 数 f (x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x 都 有

5 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( f ( )) 的值是( )A.0 2

B.

1 2

C.1

D.

5 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上.

(1 ? 2i ) 2 11.计算: = 3 ? 4i

.

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1

( 12. 2 x ?

1 6 ) 的展开式的常数项是 2x

(用数字作答).

13.若⊙ O1:x 2 ? y 2 ? 5 与⊙ O2: ? m) 2 ? y 2 ? 20(m ? R) 相交于 A、B 两点, (x 且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是 则异面直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是 。 . 14.如图,已知正三棱柱 ABC? A1 B1C1 的各条棱长都相等, M 是侧棱 CC1 的中点, 15.设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合,对于映射 f:V ? V , a ? V ,记 a 的象为 f(a).若映射

f:V ? V 满足:对所有 a,b ? V 及任意实数 ? , ? 都有 f( ? a ? ? b)= ? f(a) ? ? f(b),则 f 称为平面 M 上
的线性变换。现有下列命题: ①设 f 是平面 M 上的线性变换,则 f(0)=0; ②对 a ? V ,设 f(a)=2a,则 f 是平面 M 上的线性变换; ③若 e 平面 M 上的单位向量,对 a ? V ,设 f(a)=a-e,则 f 是平面 M 上的线性变换; ④设 f 是平面 M 上的线性变换,a,b ? V ,若 a,b 共线,则 f(a),f(b)也共线。 其中真命题是 (写出所有真命题的序号)

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2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , A, B 为 锐 角 , 角 A, B, C 所 对 应 的 边 分 别 为 a, b, c , 且

3 10 . cos 2 A ? , sin B ? 5 10
(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1,求 a, b, c 的值.

17.(本小题满分 12 分)为振兴旅游业,四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡,向 省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡) ,向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡) 。某旅游公司组织了 一个有 36 名游客的旅 游团到四川名胜旅游,其中

3 1 是省外游客,其余是省内游客。在省外游客中有 持金卡,在省内游客中有 4 3

2 持银卡. 3
(I)在该团中随机采访 3 名游客,求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率; (II)在该团的省内游客中随机采访 3 名游客,设其中持银卡人数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列及数学期 望 E? .

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3

18.(本小题满分 12 分)如图,正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相 垂直, ?ABE 是等腰直角三角形, AB ? AE, FA ? FE, ?AEF ? 450 . (I)求证: EF ? 平面 BCE ; (II)设线段 CD 的中点为 P ,在直线 AE 上是否存在一点 M ,使得 PM ∥ 平面 BCE ?若存在,请指出点 M 的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由; (III)求二面角 F ? BD ? A 的余弦值.

19(本小题满分 12 分)已知椭圆 右准线方程为 x ? 2 . (I)求椭圆的标准方程;

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,离心率 e ? , 2 2 a b

(II)过点 F1 的直线 l 与该椭圆交于 M , N 两点,且 F2 M ? F2 N ?

2 26 ,求直线 l 的方程。 3

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4

20. (本小题满分 13 分)已知 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga (1 ? a x ) . (I)求函数 f (x) 的定义域,并判断 f (x) 的单调性;
2 (II)若 n ? N ? , bn ? a f ( n) ,求 bn -2 的最小值;

(III)当 a ? e ( e 为自然对数的底数)时,设 h(x) ? (1 ? e f ( x ) ) ( x 2 ? m ? 1) ,若函数 h(x) 的极值存在, 求实数 m 的取值范围以及函数 h(x) 的极值.

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5

21. (本小题满分 14 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,对任意的正整数 n ,都有 an ? 5S n ? 1 成立,记

bn ?

4 ? an (n ? N ? ) . 1 ? an

(I)求数列 {bn } 的通项公式; (II)记 cn ? b2n ? b2n?1 (n ? N ? ) ,设数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,求证:对任意正整数 n 都有 Tn ?

3 ; 2

(III)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Rn ,已知正实数 ? 满足:对任意正整数 n, Rn ? ?n 恒成立,求 ? 的最小 值.

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6

金堂中学高 2013 届理科数学(27)
一、选择题: CADBC 二、填空题: (11) -1 三、解答题 ( 16 ) 解 :( Ⅰ ) ? A 、 B 为 锐 角 , sin B ? AADBA (12) -20 (13)4 (14) 90
0

(15)①②④

10 3 10 2 , ∴ cos B ? 1 ? sin B ? .又 10 10

cos 2 A ? 1 ? 2 sin 2 A ?
∴ sin A ?

3 , 5

2 5 5 2 , cos A ? 1 ? sin A ? ,∴ cos(A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B 5 5
? 0 ? A ? B ? ? ,∴ A ? B ? ? ???????6 分 4

?

2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? 5 10 5 10 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 C ?

3? a b c 2 ? ? ,∴ sin C ? . 由正弦定理 得 4 sin A sin B sin C 2

5b ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b , c ? 5b
∵a ?b ?

2 ? 1,∴ 2b ? b ? 2 ? 1 ,∴ b ? 1 ,∴ a ? 2, c ? 5 ????????????12 分

(17)解: (Ⅰ)由题意得,省外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;省内游客有 9 人,其中 6 人持银卡。设 事件 B 为“采访该团 3 人中,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人” , 事件 A1 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,0 人持银卡” , 事件 A2 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,1 人持银卡” 。

P( B) ? P( A`1 ) ? P( A2 ) ?

1 2 1 1 1 C9 C21 C9 C6 C21 9 27 36 ? ? ? = 3 3 34 170 85 C36 C36

所以在该团中随机采访 3 人,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是 分 (Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3

36 .??????????6 85

P(? ? 0) ?

3 C3 1 , ? 3 C9 84

P(? ? 1) ?

1 C6 C32 3 , ? 3 14 C9

P(? ? 2) ?

2 1 C6 C3 15 , ? 3 28 C9

P(? ? 3) ?

3 C6 5 , ? 3 C9 21

所以 ? 的分布列为

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7

?
P
所以 E?=0 ?

0

1

2

3

1 84

3 14

15 28

5 21

1 3 15 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? =2 . ????????12 分 84 14 28 21 (18) (Ⅰ) 证:因为△ ABE 为等腰直角三角形,AB=AE,所以 AE⊥AB.又因为平面 ABEF⊥平面 ABCD, AE ? 平面 ABEF, 平面 ABEF∩平面 ABCD=AB,所以 AE⊥平面 ABCD.所以 AE⊥AD.因此,AD,AB,AE 两两垂直,以 A 为 坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系 A-xyz. 设 AB=1,则 AE=1, (0, 0) D (1, 0, 0 ) , ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).因为 FA=FE, ∠AEF = 45°, B 1, , E 1 1 1 1 所以∠AFE= 90°.从而, F (0,? , ) .所以 EF ? (0,? ,- ) , BE ? (0,?1,1), BC ? (1,0,0) . 2 2 2 2 1 1 ∴ EF ? BE ? 0 ? ? ? 0 , EF ? BC ? 0 .所以 EF⊥BE, EF⊥BC. 2 2 ? 平面 BCE,BC∩BE=B ,所以 EF⊥平面 BCE. ????????4 分 因为 BE (Ⅱ)存在点 M,当 M 为 AE 中点时,PM∥平面 BCE. 1 1 1 1 M (0,0, ) , P (1, ,0) . 从而 PM ? (?1,? , ) , 2 2 2 2 1 1 1 1 于是 PM ? EF ? (?1,? , ) ? (0,? ,? ) ? 0 . 2 2 2 2 所以 PM⊥FE,又 EF⊥平面 BCE,直线 PM 不在平面 BCE 内, 故 PM∥平面 BCE. ????????????8 分 3 1 (Ⅲ)设平面 BDF 的一个法向量为 n1 ,并设 n1 =(x,y,z).∵ BD ? (1,?1,0), BF ? (0,? , ) ,且 2 2 ? x? y ?0 ? ?n1 ? BD ? 0 ? ,∴ ? 3 ,取 y ? 1 ,则 x ? 1, z ? 3 ,从而 n1 ? (1,1,3) ,取平面 ABD 的一个法 1 ? ? y? z ?0 ?n1 ? BF ? 0 ? ? 2 2 ?
向 量 为 n2 ? (0,0,1) , ∴ cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 n1 ? n2

?

3 11

?

3 11 . 故 二 面 角 F — BD — A 的 余 弦 为 11

3 11 .?????12 分 11 c 2 a2 ? 2 ,解得 a ? 2, c ? 1 ,∴ b ? a 2 ? c 2 ? 1 ,所以,所求椭 (19)解: )由条件有 ? (Ⅰ 且 c a 2
圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .????????????4 分 2

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 F1 (?1,0), F2 (1,0) . 若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x ? ?1 . 将 x ? ?1 代入椭









y??

2 2

.







M (?1,

2 2 )、N (?1,? ) 2 2





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8

F2 M ? F2 N ? (?2,
? 4 ,与题设矛盾.

2 2 ) ? (?2,? ) ? (?4,0) ,∴ F2 M ? F2 N 2 2

∴直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的斜率为 k,则直线的方程为 y ? k ( x ? 1) .设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,

? x2 ? ? y2 ? 1 联立 ? 2 ,消 y 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 . ? y ? k ( x ? 1) ?
2k 4k 2 由根与系数的关系知 x1 ? x 2 ? ? ,从而 y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ? 2) ? , 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k
又 ∵ F2 M ? ( x1 ? 1, y1 ), F2 N ? ( x2 ? 1, y2 ) , ∴ F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2, y1 ? y 2 ) , ∴

F2 M ? F2 N ?
( x1 ? x2 ? 2) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( 8k 2 ? 2 2 2k 2 4(16k 4 ? 9k ? 1) ) ?( ) ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 4 k 4 ? 4k 2 ? 1

2



17 4(16k 4 ? 9k ? 1) 2 26 2 ∴ ?( ) . 化 简 得 40k 4 ? 23k 2 ? 17 ? 0 , 解 得 k 2 ? 1 或 者 k 2 ? ? 4 2 40 4k ? 4k ? 1 3

k ? ?1 ,
∴所求直线的方程为 y ? x ? 1 或者 y ? ? x ? 1 ??????????12 分

- x (20)解: (Ⅰ)由题意知 1 a ? 0 ,当 0 ? a ? 1 时, f (x) 的定义域是 (0,??) ;当 a ? 1 时, f (x) 的
定义域是 (??,0) .

f ?( x) ?

? a x ln a ax . ? x (1 ? a x ) ln a a ? 1

x x 当 0 ? a ? 1 时, x ? (0,??) ,因为 a ? 1 ? 0, a ? 0 ,故 f ?( x) ? 0 ,所以 f (x) 是减函数. x x 当 a ? 1 时, x ? (??,0) ,因为 a ? 1 ? 0, a ? 0 ,故 f ?( x) ? 0 ,所以 f (x) 是减函数??????4 分

(Ⅱ)因为 f (n) ? loga (1 ? a n ) ,所以 a 0<a<1.

f ( n)

? 1 ? a n ,由函数定义域知1 ? a n ? 0 ,因为 n 是正整数,故

2 2 所以数列 {a } 是递减数列,∴ bn ? 2 =(a ? 1) ? 2 ≥ a ? 1) ? 2 ? a ? 2a ? 1 ,∴ bn ? 4bn ? 2 的 (
n n 2 2 2

最小值为 a ? 2a ? 1 .??????????7 分
2

(Ⅲ) h( x) ? e ( x ? m ? 1)(x ? 0) ,所以 h?( x) ? e ( x ? 2 x ? m ? 1) ,
x 2 x 2

理科数学(27)

9

令 h ?( x) ? 0 ,即 x ? 2 x ? m ? 1 ? 0 ,由题意应有 ? ? 0 ,即 m ? 0 ,
2

当 m ? 0 时, h ?( x) ? 0 有实根 x ? ?1 ,在 x ? ?1 点左右两侧均有 h ?( x) ? 0 故无极值. 当 0 ? m ? 1 时, h ?( x) ? 0 有两个实根 x1 ? ?1 ? m, x2 ? ?1 ? m . 当 x 变化时, h?( x)、h( x) 的变化情况如下表所示:

x
h?( x)

(??, x1 )
+ ↗
m

x1
0 极大值

( x1 , x2 )
__

x2
0 极小值
m

( x2 ,0)
+ ↗

h( x )



∴ h(x) 的极大值为 2e ?1?

(1 ? m) , h(x) 的极小值为 2e ?1?

(1 ? m) .
, 同 上 可 得 h(x) 的 极 大 值 为

当 m ? 1 时 , h ?( x) ? 0 在 定 义 域 内 有 一 个 实 根 , x ? ?1 ? m

2e ?1?

m

(1 ? m) .
m

综上所述, m ? (0,??) 时,函数 h(x) 有极值.当 0 ? m ? 1 时 h(x) 的极大值为 2e ?1? 的极小值为 2e ?1? 分 ( 21 ) 解 : Ⅰ ) 当 n ? 1 时 , a1 ? 5a1 ? 1 , a1 ? ? (
m

(1 ? m) , h(x)

(1 ? m) ;当 m ? 1 时, h(x) 的极大值为 2e ?1?

m

(1 ? m) .??????????13

1 , 又 ∵ an ? 5S n ? 1, an?1 ? 5S n?1 ? 1 , ∴ 4

1 an?1 ? an ? 5an?1 ,即 a n ?1 ? ? a n . 4
∴ 数 列 {an } 成 等 比 数 列 , 其 首 项 a1 ? ?

1 1 1 n , 公 比 是 q?? . ∴ a n ? (? ) . ∴ 4 4 4

1 4 ? (? ) n 4 ????3 分 bn ? 1 1 ? (? ) n 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 4 ? ∴

5 , (?4) n ? 1

cn ? b2n ? b2n-1 ?
又 b1 ? 3, b2 ? 当 n ? 2 时,

5 5 25? 16n 25? 16n 25? 16n 25 ? 2n?1 ? ? ? ? n. 2n n n n 2 n n 2 4 ?1 4 ? 1 (16 ? 1)(16 ? 4) (16 ) ? 3 ? 16 ? 4 (16 ) 16

13 4 3 ,∴ c1 ? ,当 n ? 1 时, T1 ? . 3 3 2

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10

1 1 1 [1 ? ( ) n?1 ] 2 2 4 1 1 1 4 4 69 3 16 Tn ? ? 25? ( 2 ? 3 ? ? ? n ? ? 25? 16 ? ? 25 ? 16 ? ? ???? 1 1 3 3 3 48 2 16 16 16 1? 1? 16 16
7分 (Ⅲ)由(Ⅰ)知 bn ? 4 ?

5 . (?4) n ? 1

一方面,已知 Rn ? ?n 恒成立,取 n 为大于 1 的奇数时,设 n ? 2k ? 1(k ? N ? ) , 则 Rn ? b1 ? b2 ? ? ? b2 k ?1 ? 4n ? 5 ? (?

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 k ?1 ) 4 ?1 4 ?1 4 ?1 4 ?1 1 1 1 1 1 ? 4n ? 5 ? [ ? 1 ? 2 ( ? ) ? ? 2k ? ( ? )] ? 4n ? 1 4 ?1 4 ? 1 43 ? 1 4 ? 1 4 2 k ?1 ? 1
1

∴ ?n ? Rn ? 4n ? 1 ,即 (? ? 4)n ? ?1 对一切大于 1 的奇数 n 恒成立 . ∴ ? ? 4 ,否则 (? ? 4)n ? ?1 只对满足 n ?

1 的正奇数 n 成立,矛盾. 4??

另一方面,当 ? =4 时,对一切的正整数 n 都有 Rn ? 4n . 事实上,对任意的正整数 k,有

b2 k ?1 ? b2 k ? 8 ?

5 (?4)
2 k ?1

?1

?

5 5 20 ?8? k ? k 2k (?4) ? 1 16 ? 1 16 ? 4

?8?

15? 16k ? 40 ?8 (16k ? 1)(16k ? 4)
?

∴当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N ) ,则 Rn ? b1 ? b2) b3 ? b4 ) ? ? ? (b2m?1 ? b2m ) ? 8m ? 4n ( ? ( 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ? 1(m ? N ? ) 则 Rn ? b1 ? b2) b3 ? b4 ) ? ? ? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1 ? 8(m ? 1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n ( ? ( ∴对一切的正整数 n,都有 Rn ? 4n 综上所述,正实数 ? 的最小值为 4??????????14 分

注:此题是把 2009 年四川高考数学试题改编成四川 2013 届模拟试题,增加了新课标内容, 去掉了新课标不要求的内容。

理科数学(27)

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