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2014届绵阳三诊


本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上,并将 条形码粘贴在答题卡的指定位置。 2. 选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用 0.5 毫

米的黑色 签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无线;在草稿纸、试题卷上答题 无效。 3. 考试结束后,将答题卡收回。

1. 已知集合 M ? x x ? 1 , N ? x x2 ? x ,则 M ? N ? (

?

?

?

?

) D. ?? 1,0,1?

1? A. ?
2. 复数

B. ?? 1,1? )

C. ?0,1?

C. ? 2 ? i 3. 某设备零件的三视图如右图所示,则这个零件的表面积为 ( A.8 B.6 C.4 D.3 )

5 的共轭复数是( i?2 A. ? 2 ? i B. 2 ? i

D. 2 ? i

4. 已知命题 p : ?x ? R, sin x ? a ,下列 a 的取值能使“ ?p ”命题是真命题的是( A. a ? 2 B. a ? 1 C. a ? 0 5. 执行如右图所示的程序框图,如输入 x ? 2 ,则输出的值为 ( A.5 B. log8 5 C.9 ) D. a ? R

)

1

D. log8 9

6. 点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 内运动,则动点 P 到顶点 A 的距离 PA< 1 的概率为 ( ) A.

1 4

B.

1 2

C.

? 4
) D.0

D. ?

7. 函数 f ( x) ? ( x ? 2) ln(x 2 ? 4x ? 4) ? ( x ? 2) ln 4 的零点个数为( A.3 B.2 C.1

8. 已知函数 f ( x) ? sin wx(w>0) 的一段图像如图所示,△ ABC 的顶点 A 与坐标原点 O 重 合, B 是 f ( x) 的图像上一个最低点, C 在 x 轴上,若内角 A, B, C 所对边长为 a , b, c ,
2 2 2 且△ ABC 的面积 S 满足 12S ? b ? c ? a ,将 f ( x) 右移一个单位得到 g ( x) ,则 g ( x)

的表达式为( A. g ( x ) ? cos(

?
2

)

x)

B. g ( x ) ? ? cos( C. g ( x ) ? sin(

?
2

x)

x 1 ? ) 2 2 x 1 D. g ( x ) ? sin( ? ) 2 2
9. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(m>n>0) 的左顶点为 A ,右焦点为 F ,点 B 在椭圆上. BC ⊥ x m2 n

轴, 点 C 在 x 轴正半轴上.如果△ ABC 的角 A, B, C 所对边分别为 a , b, c , 其它的面积 S 满 足 5S ? b ? (a ? c ) ,则椭圆的离心率为(
2 2 2

)

A.

1 4

B.

1 5
2 2 2

C.

2 2

D.

2 4

10. 设 a, b, c ? R , 且 a ? b ? c ? 2 , a ? b ? c ? 12 ,则 c 的最 大值和最 小值的差 为 ( A.2 ) B.

10 3

C.

16 3

D.

20 3

2

11. 为了参加全市的中学生创新知识竞赛,绵阳一中举行选拔赛,共有 2000 名学生参加.为 了了解成绩情况,从中抽取了 50 名学生成绩(得分均为整数,满分 100 分)进行统计请 你根据如下表所示未完成的频率分布 表,估计该校成绩超过 80 分的人数为 ______. 12. 设 x, y 满足约束条件 ?

?1 ? x ? 3 ?? 1 ? x ? y ? 0

则 z ? 2 x ? y 的最大值为________.

13. 已知幂函数 y ? f ( x) 的图像经过点 ( ,

1 2

2 ) ,则 lg f (2) ? lg f (5) ? _________. 2

14. 已知 a , b 是两个单位向量, 且 ka ? b ? 3 a ? kb , 若 a , b 的夹角为 60°则实数 k ? ___. 15. 对非负实数 m“四舍五入” 到个位的值记为 m .如 0.48 ? 0 , 0.64 ? 1, 1.495 ? 1 ,
2 ........,若 ( x ? x ? ) ? 3 ,则 x ? ________.

3 2

16.(本小题满分 12 分) 已知 S n 是等比数列 ?a n ?的前 n 项和, S3 , S9 , S6 成等差数列. (Ⅰ)求数列 ?a n ?的公比 q ; (Ⅱ)证明: a2 , a8 , a5 成等差数列. 17.(本小题满分 12 分) 绵阳市农科所研究出一种新的棉花品种,为监测长势状况.从甲、乙两块试验田中各抽取 了 10 株棉花苗,量出它们的株高如下(单位:厘米): 甲 乙 37 10 21 30 31 47 20 27 29 46 19 14 32 26 23 10 25 44 33 46

(Ⅰ)画出两组数据的茎叶图,并根据茎叶图对甲、乙两块试验田中棉花棉的株高进行比 较,写出两个统计结论; (Ⅱ) 从甲、 乙两块试验田的棉花苗株高在[23,29]中抽 3 株, 求至少各有 1 株分别属于甲、 乙两块试验田的概率. 18.(本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 在单位平面上,∠xOA=α,
3

∠AOB= ,且 α∈( , ). (Ⅰ)若 cos(α+ ) ? ?

π 4

π π 6 2

π 3

7 ,求 x1 的值; 14

(Ⅱ)过点 A,B 分别做 x 轴的垂线,垂足为 C、D,记△AOC 的面积为 S1,△BOD 的面 积为 S2.设 f(α)=S1+S2,求函数 f(α)的最大值. 19.(本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是梯形,且满足 AD=DC=CB= 角梯形 ACEF 中,EF //

1 AB ? a 在直 2

1 AC , ?ECA ? 90 ? ,已知二面角 E-AC-B 2

是直二面角. (Ⅰ)求证: BC ? AF ; (Ⅱ)求多面体 ABCDEF 的体积. ★

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x, 其中 a ? R, a ? 0 . 2

(Ⅰ)若 (1, f (1)) 是 f ( x) 的一个极值点,求 a 的值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 的图像上任意一点处切线的斜率 k ? ?1 恒成立,求实数 a 的最大值; (III)试着讨论 f ( x) 的单调性. ★

21.(本小题满分 14 分) 已知圆 E 的圆心在 x 轴上,且与 y 轴切于原点.过抛物线 y2=2px(p>0)焦点 F 作垂直于 x 轴的直线 l 分别交圆和抛物线于 A、 B 两点.已知 l 截圆所得的弦长为 3, 且 2FA ? 3 FB . (Ⅰ )求圆和抛物线的标准方程; (Ⅱ )若 P 在抛物线运动,M、N 在 y 轴上,且⊙ E 的切线 PM(其中 B 为切点) 且 PN⊙ E 与有一个公共点,求△ PMN 面积 S 的最小值.

4

绵阳市高 2011 级第三次诊断性考试
数学(文科)参考答案及评分意见
一、选择题:每小题 5 分,共 50 分. 1.D 2.C 3.B 4.A 5.D 6.C
2

7.B
2 2

8.A

9.B
2

10.C

提示:第 10 题:由 a+b+c=2,有 a+b=2-c.由 a +b +c =12 知,(a+b) -2ab+c2=12,代 入可得(2-c)2-2ab+c2=12,整理得 ab=c2-2c-4.于是 a,b 可以看成是关于 x 的方程 x2-(2-c)x+ c2-2c-4=0 的两根,∴Δ=(2-c)2-4(c2-2c-4)≥0,解得-2≤c≤ 值与最小值之差为

10 ,于是最大 3

16 . 3 1 2

二、填空题:每小题 5 分,共 25 分. 11.880 12.3 13. 14.1 15.1 或 2

三、解答题:共 75 分. 16.解:(Ⅰ)由 S3,S9,S6 成等差数列,可得 2 S9=S3+S6. 当 q=1 时,即得 18a1 ? 3a1 ? 6a1 ,不成立.????????????????3 分 当 q ? 1 时,即得

2a1 (1 ? q 9 ) a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) ? ? , 1? q 1? q 1? q

整理得: 2q6 ? q3 ? 1 ? 0 ,即 2(q3 )2 ? q3 ? 1 ? 0 , 解得: q ? 1 (舍去),或 q ? ?
3

4 .???????????????????7 分 2

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 q3 ? 1 ? 2q 6 , ∴ a2 ? a5 ? a1q ? a1q4 ? a1q(1 ? q3 ) ? a1q ? 2q6 ? 2a1q7 , ∵ 2a8 ? 2a1q 7 , ∴ a2 ? a5 ? 2a8 ,即 a2,a8,a5 成等差数列. ??????????????12 分 17.解:(Ⅰ)画出的茎叶图如右所示. 根据茎叶图可得统计结论如下: 结论一:甲试验田棉花苗的平均珠高度小于乙 试验田棉花苗的平均珠高. 结论二:甲试验田棉花苗比乙试验田棉花苗长 得整齐. ????????????6 分 (Ⅱ)甲试验田中棉花苗株高在[23,29]共有 3 株,分别记为 A,B,C, 乙试验田中棉花苗株高在[23,29]共有 2 株,分别记为 a,b,
5

甲 5 3 3 9 2 0 1 9 1 7 1 2 3 4 0 7 0 7

乙 4 6 6 0

4

6

从甲,乙两块试验田中棉花苗株高在[23,29]中抽 3 株基本事件为: ABC,Aab,Bab,Cab,ABa,ACa,BCa,ABb,ACb,BCb,共 10 个. ??8 分 其中,甲,乙两块试验田中棉花苗至少各有 1 株的基本事件为: Aab,Bab,Cab,ABa,ACa,BCa,ABb,ACb,BCb,共 9 个, ?????10 分 ∴ P?

9 .?????????????????????????????12 分 10

18.解:(Ⅰ)由三角函数的定义有 x1 ? cos? ,x2 ? cos(? ? ∵ cos(? ? ∴ sin(? ?

?
3

) , ????????2 分

?
3

)??

7 ? ? ,? ? ( , ) , 14 6 2

?
3

)?

3 21 , ????????????????????????4 分 14

? ?? ? ? ? ? ? ∴ x1 ? cos ? ? cos ?(? ? ) ? ? ? cos(? ? )cos ? sin(? ? )sin , 3 3 3 3 3 3 ? ?
∴ x1 ?

2 7 . ????????????????????????????6 分 7

1 1 (Ⅱ)∵ y1 ? sin ? ,则 S1 ? x1 y1 ? cos? sin ? ? sin 2? . 2 4

? ? ? ? 5? 由? ? ( , ) ,得? ? ? ( , ) , 6 2 3 2 6 1 1 ? ? 1 2? ∴ S2 ? ? x2 y2 ? ? cos(? ? )sin(? ? ) ? ? sin(2? ? ),
2 3 3 4 3 1 1 2? ? f (? ) ? S1 ? S 2 ? sin 2? ? sin(2? ? ) 4 4 3 3 3 3 3 1 ? sin 2? ? cos 2? ? ( sin 2? ? cos 2? ) 8 8 4 2 2 3 ? ? sin(2? ? ) , 4 6 ? ? ? ? 5? 由? ? ( , ) ,可得2? ? ? ( , ) , 6 2 6 6 6 2

??????8 分

3 6 2 19.(Ⅰ)证明:取 AB 的中点 G,连结 CG.
由底面 ABCD 是梯形,知 DC//AG. 又∵ DC =

于是当2? ?

?

?

?

,即 ? ?

?

,f (? ) max ?

3 .??????????????12 分 4

1 AB=AG=a, 2

∴ 四边形 ADCG 是平行四边形,得 AD=CG=a, ∴ CG=

1 AB. 2

∴ AC⊥BC. 又∵ 二面角 E-AC-B 是直二面角,即平面 ACEF ? 平面 ABCD, ∴ BC⊥平面 ACEF.
6

∴ BC⊥AF.?????????????????????????????6 分 (Ⅱ)解:连结 DG 交 AC 于 H,连结 FH. ∵ 平面 ACEF ? 平面 ABCD, 由(Ⅰ)知 BC ? 面 ACEF,DH//BC, ∴ DH ? 面 ACEF. 即 BC、DH 分别是四棱锥 B-ACEF、D-ACEF 的高. D A H G C B F E

3 在 Rt△ACB 中, AC ? 4a ? a ? 3a ,EF= a. 2
2 2

由 EF 错误!未指定书签。//

1 AC//CH,且∠ACE=90?,知四边形 HCEF 是矩形, 2
3 2 1 a) ? a . 2 2

∴ FH//EC,于是 FH⊥AH. 在 Rt△FAH 中, CE ? FH ? AF 2 ? AH 2 ? a 2 ? ( ∴ S四边形ACEF ?

1 1 3 a 3 3a 2 ( EF ? AC ) ? CE ? ( a ? 3a ) ? ? , 2 2 2 2 8

1 3 3a 2 1 3 3a 2 a 3 3 3 a .???12 分 ?a? ? ? ? ∴ V ? VD ? ACEF ? VB ? ACEF ? ? 16 3 8 3 8 2
20.解:(Ⅰ)由已知有 f ?( x) ?

1 ? ax ? 2 , x

∵ (1,f(1))是 f(x)的一个极值点, ∴ f ?(1) ? 1 ? a ? 2 ? 0 , 解得 a=-1.?????????????????????????????3 分

1 1 1 ? ax ? 2 ≥-1 恒成立,即 a≤ 2 ? . x x x 1 1 ?2 1 x ? 2 令 g(x)= 2 ? ,于是 g ?( x) ? 3 ? 2 ? 3 , x x x x x +?) 上的增函数, ∴ 当 x≥2 时, g ?( x) ≥0,即 g(x)是 [2 ,
(Ⅱ)由题意知 x>0,且 f ?( x) ? 当 0<x<2 时, g ?( x) <0,即 g(x)是(0,2)上的减函数, ∴ 当 x=2 时,g(x)取最小值 g(2)= ? , ∴ a≤ ? ,即 a 的最大值为 ? .???????????????????7 分 (Ⅲ)∵ f ?( x) ?

1 4

1 4

1 4

? ax 2 ? 2 x ? 1 1 , ? ax ? 2 = x x

设 ? ( x) ? ?ax2 ? 2 x ? 1( x ? 0 ,a ? 0) , ① 当 a>0 时,

a ?1 ?1 1 ? ( x) 对称轴为 x ? ? ? 0 ,过点(0,1)开口向下,有一个正根 x ? , a a
则 f(x)在 (0 ,

a ?1 ?1 a ?1 ?1 ) 上是增函数,在 ( ,? ?) 上是减函数. a a

7

1 ? 0 ,过点(0,1)开口向上, a ? ?) 上是增函数. i)若 a≤-1, f ?( x) ≥0,则 f(x)在 (0 ,
当 a<0 时, ? ( x) 对称轴为 x ? ? ii)若 ?1 ? a ? 0 ,当 x∈ (0 , 时, f ?( x) ≤0;当 x∈ ( ∴ f(x) 在 (0 ,

a ?1 ?1 a ?1 ?1 ? a ?1 ?1 ) 时, f ?( x) ≥0;当 x∈ ( , ) a a a

? a ?1 ?1 ,? ? ) 时, f ?( x) ≥0; a

a ?1 ?1 a ? 1 ? 1 ? a ? 1? 1 ) 上是增函数,在 ( , ) 上是减函数,在 a a a

(

? a ?1 ?1 ,? ? ) 上是增函数. a a ?1 ?1 a ? 1 ?1 ? a ? 1 ? 1 ) 上是增函数,在 ( , ) 上是 a a a

? ?) 上是增函数; ∴ 综上所述,①当 a≤-1 时, f(x)在 (0 ,
② 当 ?1 ? a ? 0 时,f(x)在 (0 , 减函数,在 (

? a ?1 ?1 ,? ? ) 上是增函数; a a ?1 ?1 a ?1 ?1 ) 上是增函数,在 ( ,? ?) 上是减函数. a a
????????????????????13 分

③当 a>0 时,f(x)在 (0 ,

21.解:(Ⅰ)设圆的标准方程为(x-r)2+y2=r2(r>0), 由已知有 F(

p p ,0),即|EF|=r- . 2 2
p2 3 p 2 3 ? ,① ) ? ,整理得 rp ? 4 4 2 2

∵ l 截得的弦长为 3 , ∴

r 2 ? (r ?

又∵ 2FA ? 3 FB , ∴ 2?

3 ? p ? 3 ,解得 p=1. 2

代入①,解得 r=1. ∴ 抛物线的方程为 y2=2x,圆的方程为(x-1)2+y2=1.????????????6 分 (Ⅱ)设 P(x0,y0),M(0,b),N(0,c),不妨设 b>c, PM 的方程为: y ? b ?

y0 ? b x ,整理得: ( y0 ? b) x ? x0 y ? x0b ? 0 . x0

又直线 PM 与圆(x-1)2+y2=1 相切, ∴

y0 ? b ? x0b ( y0 ? b)2 ? x02

?1 ,

化简得 x02 ? 2 x0b( y0 ? b) ? x0 2b2 . 按题意,x0>2,上式化简得, ( x0 ? 2)b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 .??????????8 分 同理,由直线 PC 与圆(x-1)2+y2=1 相切,可得 ( x0 ? 2)c2 ? 2 y0c ? x0 ? 0 .???9 分
8

∴ 由根与系数的关系知,

b?c?

?2 y 0 ? x0 , bc ? , x0 ? 2 x0 ? 2

从而 (b ? c) 2 ?

4 x0 2 ? 4 y0 2 ? 8 x0 ,????????????????????11 分 ( x0 ? 2) 2

∵ P(x0,y0)是抛物线上的点, ∴ y02=2x0, ∴ (b ? c) 2 ?

4 x0 2 2 x0 ,即 b ? c ? . 2 x0 ? 2 ( x0 ? 2)

x0 1 4 故 S△PMN= (b ? c) ? x0 ? ? x0 ? ? ( x0 ? 2) ? 4 2 x0 ? 2 x0 ? 2
≥2 4 +4 =8, 当且仅当 ( x0 ? 2)2 ? 4 时,上式取等号,此时 x0=4,y0= ?2 2 , ∴ S△PMN 的最小值为 8.????????????????????????14 分

9


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