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【成才之路】2014高中数学 1-2-2-2 分段函数与映射能力强化提升 新人教A版必修1


【成才之路】 2014 高中数学 1-2-2-2 分段函数与映射能力强化 提升 新人教 A 版必修 1
一、选择题 1.给出下列四个命题: (1)若 A={整数},B={正奇数},则一定不能建立从集合 A 到集合 B 的映射; (2)若 A 是无限集,B 是有限集,则一定不能建立从集合 A 到集合 B 的映射; (3)若 A={a},B={1,2},则从集合 A 到集合

B 只能建立一个映射; (4)若 A={1,2},B={a},则从集合 A 到集合 B 只能建立一个映射. 其中正确命题的个数是( A.0 个 C.2 个 [答案] B [解析] 对于(1)f:A→B 对应法则 f:x→2|x|+1 故(1)错;(2)f:R→{1},对应法则 ) B.1 个 D.3 个

f:x→1,(2)错;(3)可以建立两个映射,(3)错;(4)正确,故选 B.
2.(2012~2013 瓮安一中周测试题)下列从 P 到 Q 的各对应关系 f 中,不是映射的是 ( ) A.P=N,Q=N ,f:x→|x-8| B.P={1,2,3,4,5,6},Q={-4,-3,0,5,12},f:x→x(x-4) C.P=N ,Q={-1,1},f:x→(-1) D.P=Z,Q={有理数},f:x→x [答案] A [解析] 对于选项 A,当 x=8 时,|x-8|=0?N , ∴不是映射,故选 A. 3.已知集合 M={x|0≤x≤6},P={y|0≤y≤3},则下列对应关系中,不能看作从 M 到
* 2 * *

x

P 的映射的是(

) 1 B.f:x→y= x 3 1 D.f:x→y= x 6

1 A.f:x→y= x 2 C.f:x→y=x [答案] C

[解析] 对于选项 C,当 x=6 时,y=6,当 6?P,故选 C. 4.集合 A={a,b,c},B={d,e}则从 A 到 B 可以建立不同的映射个数为( A.5 B.6
1

)

C.8 [答案] C [解析] 用树状图写出所有的映射为:

D.9

?b→d c→e a→d? c→d b→e ? c→e
?c→d ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?b→d c→e a→e? c→d b→e ? c→e
?c→d ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2

共 8 个.

?x +3 ? 5.已知 f(x)=?1 ?x+4 ?
? 则 f(f(f(-4)))=( A.-4 C.3 [答案] B )

x>0? ,
? ?

x=0? , x<0? .

B.4 D.-3

[解析] f(-4)=(-4)+4=0, ∴f(f(-4))=f(0)=1,

f(f(f(-4)))=f(1)=12+3=4.故选 B.
? ?1-x ,x≤1, 6.(2012~2013·潍坊一中月考试题)设函数 f(x)=? 2 ? ?x +x-2,x>1,
2

则 f(

1 ) f? 2?

的值为( A. C. 15 16 8 9

) 27 B.- 16 D.18

[答案] A [解析] f(2)=4, 1

f? 2?

1 1 1 1 2 15 = ,故 f( )=f( )=1-( ) = . 4 f? 2? 4 4 16

7.(河南高中 2012~2013 高一第一次考试)已知映射 f:A→B,其中 A=B=R,对应为

f:x→y=x2-2x+2,若对实数 k∈B,在集合中没有元素对应,则 k 的取值范围是(
A.(-∞,1] C.(1,+∞) [答案] B B.(-∞,1) D.[1,+∞)

)

[解析] 设 k=x -2x+2 即 x -2x+2-k=0, 没有元素对应即上述方程无解 Δ <0, k (-2) -4(2-k)<0,∴k<1 故选 B.
2

2

2

2

8.某市出租车起步价为 5 元(起步价内行驶里程为 3 km),以后每 1 km 价为 1.8 元(不 足 1 km 按 1 km 计价),则乘坐出租车的费用 y(元)与行驶的里程 x(km)之间的函数图象大致 为下列图中的( )

[答案] B
? ?5? 0<x≤3? 由已知得 y=? ? ?5+[x-3]×1.8?

[解析]

x>3?

?5 ? 0<x≤3? ? =?6.8 ? 3<x<4? ?8.6 ? 4≤x<5? ?

.故选 B.

二、填空题 9.已知 M={正整数},N={正奇数},映射 f:a→b=2a-1,(a∈M,b∈N),则在映射

f 下 M 中的元素 11 对应 N 中的元素是________.
[答案] 21 [解析] b=2×11-1=21. 10. (2012~2013 山东泗水一中月考试题)已知函数 f(x)=? =4a,则实数 a=________. [答案] 2 [解析] 由题意得,f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,a=2. 11.函数 f(x)=? [答案] 2
3 ?x-2? ? ? ?x +1?
2

?3x+2,x<1, ? ? ?x +ax,x≥1,
2

若 f(f(0))

x≤-1?
-1<x<2?

,若 f(x)=3,则 x 的值是________.

[解析] 当 x≤-1 时,x-2=3,∴x=5(舍), 当-1<x<2 时,x +1=3,∴x=± 2,∴x= 2. 12.
2

如图, 函数 f(x)的图象是曲线 OAB, 其中点 O, , 的坐标分别为(0,0), A B (1,2), (3,1), 则 f( 1

f? 3?

)的值等于________.

[答案] 2 [解析] f(3)=1,f(1)=2,∴f( 三、解答题 13.作出函数 f(x)=|x-2|-|x+1|的图象,并由图象求函数 f(x)的值域. 1

f? 3?

)=2.

?-3 ? x≥2? ? [解析] f(x)=?1-2x? -1<x<2? ?3 ? x≤-1? ?
{y|-3≤y≤3}.

,图象如下图:由图象知函数 f(x)值域为

?-2x+1? x<1? , ? 14.已知函数 f(x)=? 2 ? ?x -2x? x≥1? .

(1)试比较 f[f(-3)]与 f[f(3)]的大小;

4

(2)求使 f(x)=3 的 x 的值. [解析] (1)∵-3<1,∴f(-3)=7, 又∵7>1,∴f[f(-3)]=f(7)=49-14=35. ∵3>1,∴f(3)=3 -2×3=3,∴f[f(3)]=f(3)=3. ∴f[f(-3)]>f[f(3)].
?-2x+1=3, ? (2)当 f(x)=3 时,有? ? ?x<1 ? ?x -2x=3, 或? ? ?x≥1
2 2

??

?x=-1, ? ? ?x<1

? x=-1.

??

? ?x1=3或x2=-1, ? ?x≥1

? x=3.

∴使 f(x)=3 的 x 的值为-1 或 3. 15.在国内投寄外埠平信,每封信不超过 20 g 重付邮资 80 分,超过 20 g 重而不超过 40 g 重付邮资 160 分.试写出 x(0≤x≤40)克重的信应付的邮资 y(分)与 x(g)的函数关系, 并求函数的定义域,然后作出函数的图象. ? x=0? ?0 ? [解析] y=?80 ? 0<x≤20? , ?160 ? 20<x≤40? ?

定义域为[0,40],图象如下

16.如图所示,二次函数 y=-mx +4m 的顶点坐标为(0,2),矩形 ABCD 的顶点 B,C 在

2

x 轴上,A、D 在抛物线上矩形 ABCD 在抛物线与 x 轴所围成的图形内.

5

(1)求二次函数解析式; (2)设 A(x,y),试求矩形 ABCD 的周长 P 关于 x 的函数关系,并求 x 的取值范围; (3)是否存在这样的矩形 ABCD,使它的周长为 9?试证明你的结论. 1 2 [解析] (1)∵抛物线 y=-mx +4m 的顶点为(0,2),∴4m=2,m= . 2 1 2 ∴二次函数解析式为 y=- x +2. 2 (2)∵AD=BC=2|x|,

∴AD+BC=4|x|. ∵AB=CD=|y|=y(∵y>0), 1 2 2 ∴AB+CD=2y=2(- x +2)=-x +4. 2 ∴P=-x +4|x|+4. 1 2 对于 y=- x +2,令 y=0, 2 1 2 即- x +2=0,得 x=±2. 2 1 2 ∴抛物线 y=- x +2 与 x 轴的两个交点为(-2,0),(2,0). 2 ∴函数 P 的自变量 x 的取值范围是 -2<x<2,且 x≠0. (3)解法一:假设存在矩形 ABCD,它的周长为 9. 当 0<x<2 时,P=-x +4x+4=9, 即-x +4x-5=0.
2 2 2

∵Δ <0,∴方程无实数根. 当-2<x<0 时,P=-x -4x+4=9, 即-x -4x-5=0
6
2 2

∵Δ <0,∴方程无实数根. 综上,不存在周长为 9 的矩形 ABCD. 解法二:P=-x +4|x|+4 =-(|x| -4|x|+4-4)+4 =-(|x|-2) +8, ∵|x|<2,∴P<8.∴P≠9,即周长为 9 的矩形 ABCD 不存在.
2 2 2

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