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周谊老师2013年广一模文科数学精品解答


试卷类型:A

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(文科)
2013.3 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置 上。

2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷 上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。 漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

? ? 参考公式:线性回归方程 ? ? bx ? a 中系数计算公式 y
? b ?
i ?1

? ( xi ? x)( yi ? y )
i ?1

n

? ( xi ? x)

n

? ? , a ? y ? bx ,其中 x, y 表示样本均值.

2

锥体的体积公式是 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,则复数 1 ? 2 i 的虚部为 A. 2 B. 1 C. ?1 D. ?2 这题不讲,没意义,答案为-2.D 2.设全集 U ? 1, 2,3, 4,5,6 ,集合 A ? 1,3,5 , B ? A. U ? A ? B C. U ? A ? ? B U

?

?

?

?

?2,4? ,则
? ? ?

B. U ? ? A ? B U

?

?

?

D. U ? ? A ? ? B U U

?

?

也没有意义,答案很明显,选 D 3.直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 与圆 x ? 1

?

?

2

? y 2 ? 1的位置关系是

1

A.相离 C.直线与圆相交且过圆心

B.相切 D.直线与圆相交但不过圆心

d ?|

3?9 |? 1, 相离,答案为A 5

4.若函数 y ? f A. 4

? x ? 是函数 y
B. 2

? 2x 的反函数,则 f ? 2 ? 的值是
C. 1 D. 0

2x ? 2, x ? 1, 答案为C
5.已知平面向量 a ? A. ?2 3

? ?2,m ? , b ?
B. 2 3

?1, 3 ? ,且 ? a ? b ? ? b ,则实数 m 的值为
C. 4 3 D. 6 3

ab ? b2 , ?2 ? 3m ? 4, m ? 2 3,答案为B
? x ? 2 y ? 1, ? 6.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ? 1 ? 0. ?
略,当我不会做吧 A. ?3 B. 0 C. 1 7. 某空间几何体的三视图及尺寸如图 1,则该几何体的体积是 A. 2 B. 1 C. D. 3
2 2 1 正视图 1 侧视图

2 3

D.

1 3

2 俯视图 图1

这是一个横放着的三棱柱 1 V ? ? 2 ?1? 2 ? 2, 答案为A 2
8. 已知函数 f

? x?

?

2 sin 2 x ,为了得到函数 g ? x ? ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象,

只要将 y ? f

? x ? 的图象
B.向左平移

A.向右平移

? 个单位长度 4 ? 个单位长度 8

? 个单位长度 4 ? 个单位长度 8

C.向右平移

D.向左平移

g ? x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 数轴,向左平移

2 sin(2 x ?

?
4

)

?
8

即可,答案为D

2 9. m ? 2 ”是“一元二次不等式 x ? mx ? 1 ? 0 的解集为 R”的 “

2

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? ? m2 ? 4 ? 0,?2 ? m ? 2 必要非充分,答案为B
10.设函数 f

? x ? 的定义域为 D ,如果 ?x ? D,?y ? D ,使

f ? x? ? f ? y ? 2

? C(C

为常数 )成立,则称函数 f
x

? x ? 在 D 上的均值为 C . 给出下列四个函数:① y

? x3 ;

?1? ② y ? ? ? ;③ y ? ln x ;④ y ? 2 sin x ? 1, 则满足在其定义域上均值为 1 的函 ?2?
数的个数是 A. 1
3

B. 2

C. 3

D. 4

y ? x ,满足。反正至于都是R,随便取得到 y= 1 1 ,不满足。很明显,我第一个,使得 x ? 2,第二个咋办? x 2 2 y ? ln x,与第一个一样,都满足 y ? 2 sin x ? 1.[?1,3]嘛,找2个数,使得和为2,还是做得到的 故答案为3个,选C
11. ?1,2? 12. 12.38 13. 8 , n ? n ? 2
2

14. ?1,

? 11? ? ? ? 6 ?

15. 4

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.函数 f

? x?

?

2 ? x ? ln ? x ? 1? 的定义域是

?2 ? x ? 0 ? 1 ? x ? 2,答案为 1,2] ( ? ?x ? 1 ? 0
12.某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元)有下表的统计资 料:

x
y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

? ? 根据上表可得回归方程 y ? 1.23x ? a ,据此模型估计,该型号机器使用年限为 10 年的维
修费用约 万元(结果保留两位小数) 麻烦,略 .
3

* ( 13. 已知经过同一点的 n n ? N ,n ? 3)个平面, 任意三个平面不经过同一条直线.若这 n 个

平 面 将 空 间 分 成

f ?n? 个 部 分 , 则

f ? 3? ? 8



f ?n? ?

找规律即可。 f (3 ) ? 8 ,f ( ) n ? f (?1 ) 2 (?1 ) n ? n 这么理解,通过3根来看,只看射线的话,加一根线进来, 这一端多了3个平面,而这是直线,另外一侧,肯定也有 3个,故加了6个平面。那么,原来是n-1根线呢?
2 用叠加法,f ( n ? n ? n ?2 )

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)
? 3 ? 在极坐标系中,定点 A ? 2, ? ? ,点 B 在直线 ? cos ? ? 3? sin ? ? 0 上运动,当线段 AB 最 ? 2 ? B

短时,点 B 的极坐标为


D O

C

A 0,?2),l : x ? (

3 y ? 0. B( x, y ) 设

?x ? 3y ? 0 ? ? y ? 2 ? 3 y ? 0, ?y ? 2 ? 3 ? ? x ? 3 ?x ? ? 2 . 极坐标为 1,11? ) B ( ? 6 1 ?y ? ? ? ? 2
15. (几何证明选讲选做题) 如图 2, AB 是 ? O 的直径, BC 是 ? O 的切线, AC 与 ? O 交于点 D , 若 BC ? 3 , AD ?

A 图2

16 ,则 AB 的长为 5

.想都不用想,不到迫不得已,绝对不选

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? 正周期为 8 . (1)求函数 f ( x ) 的解析式; A ? 2,

?
4

) (其中 x ? R , A ? 0 , ? ? 0 )的最大值为 2,最小

2? ? ? ? ? 8, w ? , f ( x) ? 2 sin( x ? ) w 4 4 4

(2) 若函数 f ( x ) 图象上的两点 P, Q 的横坐标依次为 2, 4 ,O 为坐标原点, cos ? POQ 求 的值.
4

2? ? ? ? ? 8, w ? , f ( x) ? 2 sin( x ? ) w 4 4 4 3? 5? f (2) ? 2 sin ? 2 , f (4) ? 2 sin ? ? 2 4 4 ??? ? ???? OP(2, 2 ),OQ(4, ? 2 ) ??? ???? ? OP ? OQ 8?2 3 ? ???? ? cos ?POQ ? ??? ? 3 | OP || OQ | 6 18 A ? 2,
17. (本小题满分 12 分) 沙糖桔是柑桔类的名优品种,因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔,收 获时,该果农随机选取果树 20 株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位:kg) ,获得 的所有数据按照区间 40, 45 ? , 45, 50 ? , 50, 55? , 55, 60 ? 进行分组, 得到频率分布直 ? ? ? ? 方图如图 3.已知样本中产量在区间 45, 50 ? 上的果树株数是产量在区间 50, 60 ? 上的果 ? ? 树株数的

?

?

?

?

?

?

4 倍. 3

(1)求 a , b 的值; (2)从样本中产量在区间 50,60 ? 上的果树随机抽取两株,求产量在区间 55,60 ? ? ?
频率 组距
a

?

?

上的果树至少有一株被抽中的概率.

?(a ? b ? 0.06 ? 0.02)5 ? 1 ?a ? 0.08 ? ? ? ? a 4 ?b ? 0.04 ? b ? 0.02 ? 3 ? (50,55]有20 ? 5 ? 0.04=4株,55,60]有20 ? 5 ? 0.02=2株 ( 至少有一株被抽中的概率为: ? 1
18. (本小题满分 14 分)
2 C4

0.06 b 0.02 O 40 45 图3
?

C62

6 3 ? 1? ? 15 5

50

55

60

产量/kg

如图 4,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, ?BCD ? 60 ,

AB ? 2 AD , PD ? 平面 ABCD ,点 M 为 PC 的中点.
(1) 求证: PA // 平面 BMD ;

P

M

做BD中点E. 连接EM ,证明EM / /PA,即可(中位线)
D C

(2)求证: AD ? PB ;
A 图4 B

5

? AD ? BD ? AD ? PBD ? AD ? PB ? ? AD ? PD
(3)若 AB ? PD ? 2 ,求点 A 到平面 BMD 的距离.

d A ? BMD ? dC ? BMD ,用等体积法 1 1 PD S?MBD ? dC ? BMD ? S?BCD ? 3 3 2 计算略
19. (本小题满分 14 分) 设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 2 , a2 ? 8 , S n ?1 ? 4 S n ?1 ? 5S n n ? 2 ,

? ?

?

?

Tn 是数列 ?log 2 an ? 的前 n 项和.
(1) 求数列 an 的通项公式;

? ?

基础题,直接写都行,答案an ? 2 ? 4n ?1=22 n ?1 (Sn ?1 ? 4Sn ?1 ? 5Sn ? Sn ?1 ? Sn ? 4(Sn ? S n ?1 ),an ?1 ? 4an)
(2)求 Tn ;

log2 an ? 2n ? 1,Tn ?
(3)求满足 ?1 ?

1 ? 2n ? 1 n ? n2 2

? ?

1 ?? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? T2 ? ? T3 ? ? ?

? 1? 1010 的最大正整数 n 的值. ?1 ? ? ? ? ? Tn ? 2013 ?

1 ? 2n ? 1 n ? n2 2 1 1 n 2 ? 1 (n ? 1)(n ? 1) 1? ? 1? 2 ? ? A Tn n n2 n2 log 2 an ? 2n ? 1,Tn ? ? 1 ?? 1? ?1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? T2 ? ? T3 ? ? ? 1? 1?3 2 ? 4 3?5 (n ? 1)(n ? 1) n ?1 1010 ? ? ?1 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ... 2 Tn ? 2n 2013 2 3 4 n ? 2013 2013n ? 2013 ? 2020n,n ? ? 287.6,n最大值为287 7

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两个焦点分别为 F1 (?2,0) , F2 2,0 ,点 A(2, 3) 在椭圆

?

?

C1 上,过点 A 的直线 L 与抛物线 C2 : x2 ? 4 y 交于 B,C 两点,抛物线 C2 在点 B,C 处的
切线分别为 l1,l2 , 且 l1 与 l2 交于点 P .
6

2a ? 3 ? 5 ? 8,a ? 4,b 2 ? 16 ? 4 ? 12,
(1) 求椭圆 C1 的方程;

C1方程 :

x2 y2 ? ?1 16 12

(2) 是否存在满足 PF ? PF2 ? AF1 ? AF2 的点 P ? 若存在, 指出这样的点 P 有几个 (不 1 必求出点 P 的坐标); 若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知 n ?N ,设函数 f n ( x) ? 1 ? x ?
*

x 2 x3 x 2 n ?1 ? ??? , x ? R. 2 3 2n ? 1

(1)求函数 y ? f 2 ( x) ?kx(k ? R )的单调区间;

7

y ? f 2 ( x) ? kx ? 1 ? x ?

x 2 x3 ? ? kx 2 3

y? ? ?1 ? x ? x 2 ? k ? ?( x 2 ? x ? k ? 1) ? ? ? ?1? ? 4 ? k ? 1? ? ?3 ? 4k
2

3 k ? ? 时,? ? 0,y ' ? 0恒成立,即y ? f 2 ( x) ? kx在R单调递减 4 3 1 ? ?3 ? 4k 1 ? ?3 ? 4k k ? ? 时,y ' ? 0 ? x1 ? , x2 ? 4 2 2 故...略
* (2)是否存在整数 t ,对于任意 n ?N ,关于 x 的方程 f n ( x) ? 0 在区间 ?t ,t ? 1? 上有唯 ? ?

一实数解,若存在,求 t 的值;若不存在,说明理由.

f (1) ? 1 ? x ? 0 ?? x ? 1; n ? 2时, x f n? ( x) ? ?1 ? x ? x 2 ? ? ? x 2 n ?3 ? x 2 n ? 2 ? ?
2 n ?1

?1 x ?1

x ? ?1时,x ? 1 ? 0, x 2 n ?1 ? 1 ? 0, f n? ( x) ? 0; x ? ?1时,f n? ( x) ? ?1 ? 1... ? 1 ? ?(2n ? 1) ? 0 x ? ?1时,x ? 1 ? 0, x 2 n ?1 ? 1 ? 0, f n? ( x) ? 0. 即f n ( x)在R上单调递减 1 1 1 1 1 1 f n (1) ? (1 ? 1) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?0 2 3 4 5 2n ? 2 2n ? 1 2 2 23 2 4 25 22 n ?2 22 n ?1 f n (2) ? (1 ? 2) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 3 4 5 2n ? 2 2n ? 1 22 n ? 2 22 n ?1 1 2 3 ? 2n n ? 2时, ? ?( ? )22 n ? 2 ? 22 n?2 ? 0 2n ? 2 2n ? 1 2n ? 2 2n ? 1 (2n ? 1)(2 n ? 1) 故f n (2) ? (1 ? 2) ? ( 2 2 23 2 4 25 22 n ?2 22 n ?1 ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )?0 2 3 4 5 2n ? 2 2n ? 1 f n ( x)=0在[1, 2]必有唯一实数解,t=1

8


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