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【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 6.1数列的概念及简单表示法课件 理 新人教A版


数学

川(理)

§6.1 数列的概念及简单表示法
第六章 数 列

基础知识·自主学习
要点梳理
1.数列的定义
难点正本 疑点清源

1.对数列概念的理解 按照 一定顺序 排列的一列数称为 (1)数列是按一定“次序” 数列,数列中的每一个数叫做这个 排列的一列数,一个数列
数列的 项 .
不仅与构成它的“数”有 关,而且还与这些“数” 的排列顺序有关.

2.数列的分类
分类 原则 按项数 分类 类型 满足条件

(2)数列的项与项数:数列 的项与项数是两个不同的 概念,数列的项是指数列中 某一确定的数,而项数是指 数列的项对应的位置序号.

有穷数列 项数 有限 无穷数列 项数 无限

基础知识·自主学习
要点梳理
按项与 递增数列 项间的 递减数列 大小关 系分类 常数列 有界数列 按其他 标准分 类 摆动数列
难点正本 疑点清源

> an an+1___
an+1___ < an an+1=an

2.数列的函数特征
其中 n∈ N*
数列是一个定义域为正 整数集 N*( 或它的有限 子集 {1,2,3 , ? , n}) 的 特殊函数,数列的通项 公式也就是相应的函数 解 析 式 , 即 f(n) = an (n∈N*).

存在正数 M,使 |an|≤M 从第二项起,有些项 大于它的前一项,有 些项小于它的前一 项的数列

基础知识·自主学习
要点梳理
3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是
难点正本 疑点清源

2.数列的函数特征
数列是一个定义域为正 整数集 N*(或它的有限 子集 {1,2,3 , ? , n}) 的 特殊函数,数列的通项 公式也就是相应的函数 解 析 式 , 即 f(n) = an (n∈N*).

列表法 、 图象法 和 解析法 .
4.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与 序号n 之 间的关系可以用一个公式 an = f(n) 来表示,那么这个公式叫做这个数 列的通项公式. 5. 已知 Sn, 则
? ? an=? ? ?

S1 ? ?n=1? Sn-Sn-1 ?n≥2? .

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
an=2n-1 (n∈N*)

解析

n(n-1)

2n-11 3

A

A

题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 写出下面各数列的一个通 项公式: (1)3,5,7,9,?; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,?; 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)-1, , - ,, - ,, ?; 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333,?.

题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 写出下面各数列的一个通 项公式: (1)3,5,7,9,?; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,?; 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)-1, , - ,, - ,, ?; 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333,?.

先观察各项的特点, 然后归纳出其 通项公式, 要注意项与项数之间的 关系,项与前后项之间的关系.

题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 探究提高 解析 【例 1】 写出下面各数列的一个通 解 (1)各项减去 1 后为正偶数,所以 an=2n+1.1 2 3 4 项公式: (2) 每一项的分子比分母少 1,而分母组成数列 2 ,2 ,2 ,2 ,?,所以 2n-1 an(1)3,5,7,9 = n . ,?; 2 n 1 3 7 15 31 (3) 奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子 ( - 1) ;各项绝对值的 (2) , , , , ,?; 2 4 8 1,2,3,4 16 32 分母组成数列 ,?;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为 3 1 3 1 3 n 2 + ? - 1 ? (3)-1, , - ,, - ,, ?; 2 3, 3 4 5 62-1, 1, 偶数项为 即奇数项为 偶数项为 2+1, 所以 an=(-1)n· n . ? 1 -n,? ,n为正奇数, (4)3,33,333,3?333 . 也可写为 an=? ?3,n为正偶数. ?n 9 99 999 9 999 (4)将数列各项改写为 , , , ,?,分母都是 3,而分子分别 3 3 3 3
1 是 10-1,102-1,103-1,104-1,?,所以 an= (10n-1). 3

题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 探究提高
(1) 据所给数列的前几项求其通项 公式时,需仔细观察分析,抓住以 下几方面的特征: ①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③拆项后的特征; ④各项符号特征等,并对此进行归 纳、联想. (2)根据数列的前几项写出数列的一个 通项公式是不完全归纳法,它蕴含着 “从特殊到一般”的思想,由不完全归 纳得出的结果是不可靠的,要注意代 值检验,对于正负符号变化,可用 + (-1)n 或(-1)n 1 来调整.

【例 1】 写出下面各数列的一个通 项公式: (1)3,5,7,9,?; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,?; 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)-1, , - ,, - ,, ?; 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333,?.

题型分类·深度剖析
变式训练 1 根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式: 1 1 5 13 29 61 3 7 9 (1) , ,- , ,- , ,?;(2) ,1, , ,?;(3)0,1,0,1,?. 2 4 8 16 32 64 2 10 17

(1)各项的分母分别为 21,22,23,24,?,易看出第 2,3,4 项 2-3 的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为- 2 ,原数列可化为 n 21-3 22-3 23-3 24-3 2 -3 n - 1 , 2 ,- 3 , 4 ,?,因此 an=(-1) · n . 2 2 2 2 2 3 5 7 9 (2)将数列统一为 , , , ,?,对于分子 3,5,7,9,?,是序 2 5 10 17 号的 2 倍加 1 ,可得分子的通项公式为 bn = 2n + 1 ,对于分母 2,5,10,17,?,联想到数列 1,4,9,16,?,即数列{n2},可得分母 的通项公式为 cn=n2+1, 解
? ?0 (3)an=? ? ?1

?n为奇数? 1+?-1?n 1+cos nπ 或 an= 或 an= . 2 2 ?n为偶数?

题型分类·深度剖析
题型二 由数列的递推关系求通项公式
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 (1)已知 a1=1,an+1=2an +1,求 an; (2)已知 a1=2,an+1=an+n,求 an.

题型分类·深度剖析
题型二 由数列的递推关系求通项公式
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 (1)已知 a1=1,an+1=2an +1,求 an; (2)已知 a1=2,an+1=an+n,求 an.

(1)可构造等比数列求解; (2)可使用累加法.

题型分类·深度剖析
题型二


由数列的递推关系求通项公式
思维启迪 解析

【例 2】 (1)已知 a1=1,an+1=2an

探究提高

(1)∵an+1=2an+1,令 an+1+a=2(an+a), +1,求 an; 与 an+1=2an+1 比较可知 a=1, (2)已知 a1=2,an+1=an+n,求 an. 又 a1=1,∴a1+a=2.

故{an+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, ∴an+1=2· 2n 1=2n,故 an=2n-1.


(2)当 n 取 1,2,3,?,n-1 时,可得 n-1 个等式.
即 an-an-1=n-1,an-1-an-2=n-2,?,a2-a1=1,将其两边分别相 加,得 an-a1=1+2+3+?+(n-1),
?1+n-1??n-1? n?n-1? ∴an=a1+ =2+ . 2 2

题型分类·深度剖析
题型二 由数列的递推关系求通项公式
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 (1)已知 a1=1,an+1=2an +1,求 an;

已知数列的递推关系,求数列的通项

(2)已知 a1=2,an+1=an+n,求 an. 时,通常用累加、累乘、构造法求解.
当出现 an=an-1+m 时,构造等差数 列;当出现 an=xan-1+y 时,构造等 比数列; 当出现 an=an-1+f(n)时, 用 an 累加法求解;当出现 =f(n)时,用 an-1 累乘法求解.

题型分类·深度剖析
变式训练 2 根据下列条件,确定数列{an}的通项公式: n- 1 (1)a1=1,an+1=3an+2;(2)a1=1,an= n an-1 (n≥2); (3)已知数列{an}满足 an+1=an+3n+2,且 a1=2,求 an.
解 (1)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1), an+1+1 ∴ =3,∴数列{an+1}为等比数列,公比 q=3, an+1
又 a1+1=2,∴an+1=2· 3n-1,

∴an=2· 3n-1-1.

n-1 (2)∵an= n an-1 (n≥2),
n-2 1 ∴an-1= a - ,?,a2=2a1. n-1 n 2

1 2 n-1 a1 1 以上(n-1)个式子相乘得 an=a1· ?· n = n =n. 2· 3·

题型分类·深度剖析
变式训练 2 根据下列条件,确定数列{an}的通项公式: n- 1 (1)a1=1,an+1=3an+2;(2)a1=1,an= n an-1 (n≥2); (3)已知数列{an}满足 an+1=an+3n+2,且 a1=2,求 an.
(3)∵an+1-an=3n+2,∴an-an-1=3n-1 (n≥2),

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1

n?3n+1? = (n≥2). 2
1 当 n=1 时,a1=2×(3×1+1)=2 符合公式, 3 2 n ∴an=2n +2.

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的前n项和求通项公式
思维启迪
【例 3】 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn,求{an}的通项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n+b.

解析

探究提高

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的前n项和求通项公式
思维启迪
【例 3】 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn,求{an}的通项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n+b.

解析

探究提高

当 n=1 时,由 a1=S1,求 a1; 当 n≥2 时,由 an=Sn-Sn-1 消去 Sn, 得 an+1 与 an 的关系. 转化成由 递推关系求通项.

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的前n项和求通项公式
思维启迪 解析 探究提高 解 (1)a1=S1=2-3=-1,

【例 3】 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn,求{an}的通项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n+b.

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1
=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)] =4n-5,

由于 a1 也适合此等式,∴an=4n-5.

(2)a1=S1=3+b,
当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1
=(3n+b)-(3n-1+b)=2· 3n-1.

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的前n项和求通项公式
思维启迪
【例 3】 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn,求{an}的通项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n+b.
当 b=-1 时,a1 适合此等式.

解析

探究提高

当 b≠-1 时,a1 不适合此等式.
∴当 b=-1 时,an=2· 3n 1;


当 b≠-1 时,
? ?3+b, an=? n-1 ? 3 , ?2·

n=1, n≥2.

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的前n项和求通项公式
思维启迪
【例 3】 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn,求{an}的通项公式: (1)Sn=2n -3n; (2)Sn=3n+b.
2

解析

探究提高

数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关 系是
? ?S1,n=1, an=? ? ?Sn-Sn-1,n≥2.

当 n=

1 时,a1 若适合 Sn-Sn-1,则 n=1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,a1 若不适合 Sn-Sn-1,则 用分段函数的形式表示.

题型分类·深度剖析
变式训练 3 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2-2n+1,则其通项公
? ?2,n=1 an=? ? ?6n-5,n≥2 式为_______________________ .

解析

当 n=1 时,a1=S1=3×12-2×1+1=2;

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1] =6n-5,显然当 n=1 时,不满足上式.
故数列的通项公式为
? ?2,n=1, an=? ? ?6n-5,n≥2.

题型分类·深度剖析
思想与方法 10.用函数的观点解决数列问题
典例:(12 分)已知数列{an}. (1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N*, 都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
思想与方法 10.用函数的观点解决数列问题
典例:(12 分)已知数列{an}. (1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N*, 都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)求使 an<0 的 n 值;从二次函数看 an 的最小值.(2)数列是一类特殊函数, 通项公式可以看作相应的解析式 f(n)=n2+kn+4.f(n)在 N*上单调递增,但 自变量不连续.从二次函数的对称轴研究单调性.

题型分类·深度剖析
思想与方法 10.用函数的观点解决数列问题
典例:(12 分)已知数列{an}. (1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N*, 都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.


规 范 解 答 审 题 视 角 (1)①由 n2-5n+4<0,解得 1<n<4.

温 馨 提 醒

∵n∈N*,∴n=2,3.

∴数列中有两项是负数,即为 a2,a3. ? 5?2 9 5 2 ? ? ②∵an=n -5n+4= n-2 - 的对称轴方程为 n= .又 n∈N*, 4 2 ? ?
∴当 n=2 或 n=3 时,an 有最小值,其最小值为 a2=a3=-2.

4分

8分

题型分类·深度剖析
思想与方法 10.用函数的观点解决数列问题
典例:(12 分)已知数列{an}. (1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N*, 都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(2)由 an+1>an 知该数列是一个递增数列,又因为通项公式 an=n2+kn+4,可以看作是关于 n 的二次函数,考虑到 k 3 n∈N*,所以- < ,即得 k>-3. 2 2

12分

题型分类·深度剖析
思想与方法 10.用函数的观点解决数列问题
典例:(12 分)已知数列{an}. (1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N*, 都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集 N*上的二次函 数,因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性,得到实数 k 的取值 范围,使问题得到解决. (2)在利用二次函数的观点解决该题时,一定要注意二次函数对称轴位置的选取. (3)易错分析: 本题易错答案为 k>-2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性, 即自变量是正整数.

思想方法·感悟提高
1.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数列一般 用(-1)n 或(-1)n+1 来区分奇偶项的符号); 已知数列中的 递推关系,一般只要求写出数列的前几项,若求通项可 用归纳、猜想和转化的方法.

方 法 与 技 巧

2.强调 an 与

? ?S1 Sn 的关系:an=? ? ?Sn-Sn-1

?n=1? . ?n≥2?

3.已知递推关系求通项:对这类问题的要求不高,但试题 难度较难把握.一般有三种常见思路: (1)算出前几项,再归纳、猜想; (2)“an+1=pan+q”这种形式通常转化为 an+1+λ=p(an +λ),由待定系数法求出 λ,再化为等比数列; (3)利用累加或累乘法可求数列的通项公式.

思想方法·感悟提高

失 误 与 防 范

1.数列是一种特殊的函数,在利用函数观点研究数列 时,一定要注意自变量的取值,如数列 an=f(n)和函 数 y=f(x)的单调性是不同的.

2.数列的通项公式不一定唯一.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.已知数列 1, 3, 5, 7,?, 2n-1,则 3 5是它的 ( A.第 22 项 C.第 24 项 B.第 23 项 D.第 28 项

)

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.已知数列 1, 3, 5, 7,?, 2n-1,则 3 5是它的 ( B ) A.第 22 项 C.第 24 项 B.第 23 项 D.第 28 项

解 析
观察知已知数列的通项公式是 an= 2n-1,
令 an= 2n-1=3 5= 45,得 n=23.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2. (2011· 四川)数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1=1, an+1=3Sn(n≥1), 则 a6 等于 A.3×44 B.3×44+1 C.45 ( D.45+1 )

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2. (2011· 四川)数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1=1, an+1=3Sn(n≥1), 则 a6 等于 A.3×44 B.3×44+1 C.45 ( A ) D.45+1

解 析
当 n≥1 时,an+1=3Sn,则 an+2=3Sn+1, ∴an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即 an+2=4an+1,

∴该数列从第二项开始是以 4 为公比的等比数列.

? ?1?n=1?, a2=3S1=3a1=3,∴an=? n-2 ? 3 × 4 ?n≥2?. ?


∴当 n=6 时,a6=3×46 2=3×44.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.对于数列{an},“an+1>|an| (n=1,2,?)”是“{an}为递增数列”的 ( A.必要不充分条件 C.必要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.对于数列{an},“an+1>|an| (n=1,2,?)”是“{an}为递增数列”的 ( B ) A.必要不充分条件 C.必要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解 析
当 an+1>|an| (n=1,2,?)时,∵|an|≥an,∴an+1>an,∴{an}为 递增数列.当{an}为递增数列时,若该数列为-2, 0,1, ,则 a2>|a1|不成立,即知:an+1>|an| (n=1,2,?)不一定成立.故 综上知,“an+1>|an| (n=1,2,?)”是“{an}为递增数列”的 充分不必要条件.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3 4.如果数列{an}的前 n 项和 Sn= an-3,那么这个数列的通项公式 2 是 A.an=2(n2+n+1) C.an=3n+1 B.an=3· 2n D.an=2· 3n ( )

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3 4.如果数列{an}的前 n 项和 Sn= an-3,那么这个数列的通项公式 2 是 A.an=2(n2+n+1) C.an=3n+1 B.an=3· 2n D.an=2· 3n ( D )

解 析
由已知可得:a1=6,a2=18,由此可排除 A、B、C.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
*

6

7

8

9

1 5.已知数列{an}对于任意 p,q∈N ,有 ap+aq=ap+q,若 a1= , 9 a36=________.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
*

6

7

8

9

1 5.已知数列{an}对于任意 p,q∈N ,有 ap+aq=ap+q,若 a1= , 9 4 a36=________.

解 析
∵ap+q=ap+aq, ∴a36=a32+a4=2a16+a4=4a8+a4 =8a4+a4=18a2=36a1=4.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6
*

7

8

9

2 1 6.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N 都有 Sn= an- , 3 3 且 1<Sk<9 (k∈N*),则 a1 的值为________,k 的值为________.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6
*

7

8

9

2 1 6.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N 都有 Sn= an- , 3 3

4 -1 ,k 的值为________ 且 1<Sk<9 (k∈N*),则 a1 的值为________ .
2 1 当 n=1 时,a1= a1- ,∴a1=-1. 3 3 1? 2 1 ?2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3an-3-?3an-1-3? ? ? 2 2 an =3an-3an-1,∴ =-2, an-1
∴数列{an}是首项为-1,公比为-2 的等比数列, 2 1 n-1 n-1 ∴an=-(-2) ,Sn=-3×(-2) -3. 2 1 由 1<-3×(-2)k-1-3<9,得-14<(-2)k-1<-2, 又 k∈N*,∴k=4.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.已知 a1=2,an+1-an=2n+1 (n∈N*),则 an=________.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

n2+1 7.已知 a1=2,an+1-an=2n+1 (n∈N*),则 an=________. 解 析
由 an+1-an=2n+1 (n∈N*),得 an-an-1=2n-1,an-1 -an-2=2n-3,?,a3-a2=5,a2-a1=3,将以上各式 相加,得 an-a1=3+5+?+(2n-3)+(2n-1),即 an=1 ?1+2n-1?n +1+3+5+?+(2n-1)=1+ =n2+1. 2

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)数列{an}的通项公式是 an=n2-7n+6. (1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数?

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)数列{an}的通项公式是 an=n2-7n+6. (1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数?

解 析
解 (1)当 n=4 时,a4=42-4×7+6=-6. (2)令 an=150,即 n2-7n+6=150,

解得 n=16 或 n=-9(舍去), 即 150 是这个数列的第 16 项. (3)令 an=n2-7n+6>0,解得 n>6 或 n<1(舍). 故数列从第 7 项起各项都是正数.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5


6

7

8

9

9.(12 分)已知函数 f(x)=2x-2 x,数列{an}满足 f(log2an)=-2n. (1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:数列{an}是递减数列.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5


6

7

8

9

9.(12 分)已知函数 f(x)=2x-2 x,数列{an}满足 f(log2an)=-2n. (1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:数列{an}是递减数列.

解 析
∵f(x)=2x-2 x,f(log2an)=-2n, 1 ∴ 2log 2 an - 2?log 2 an =-2n,∴an-a =-2n, n 2 ∴a2 n+2nan-1=0,解得 an=-n± n +1. (1)解


∵an>0,∴an= n2+1-n.
an+1 ?n+1?2+1-?n+1? n2+1+n (2)证明 a = = <1. 2 2 n n +1-n ?n+1? +1+?n+1? ∵an>0,∴an+1<an,

∴数列{an}是递减数列.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升

7 4 6 5 1+an 1.已知数列{an}满足 a1=2,an+1= (n∈N*),则 a1· a2· ?· a2 013 1-an

的值为 A.-3 B. 1 C.2 D.3

(

)

解 析

B组
1 2 3

专项能力提升

7 4 6 5 1+an 1.已知数列{an}满足 a1=2,an+1= (n∈N*),则 a1· a2· ?· a2 013 1-an

的值为 A.-3 B. 1 C.2 D.3

( C )

解 析
1+a1 1-3 1 a1=2,a2= =-3,a3= =- , 2 1-a1 1+3 1 1 1-2 1+3 1 a4= 1=3,a5= 1=2,?, 1+2 1-3
故 4 是数列{an}的周期,a1· a2· a3· ?· a2 013

=(a1a2a3a4)503· a2 013=(a1a2a3a4)· a1=2.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1 2.数列{an}满足 an+an+1= (n∈N*),a2=2,Sn 是数列{an}的前 n 2 项和,则 S21 为 A.5 7 B. 2 9 C. 2 13 D. 2 ( )

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1 2.数列{an}满足 an+an+1= (n∈N*),a2=2,Sn 是数列{an}的前 n 2 项和,则 S21 为 A.5 7 B. 2 9 C. 2 13 D. 2 ( B )

解 析
1 ∵an+an+1= (n∈N*), 2 1 1 1 ∴a1=2-a2=2-2,a2=2,a3=2-2,a4=2,?, 1 故 a2n=2,a2n-1= -2. 2
1 1 7 ∴S21=10× +a1=5+ -2= . 2 2 2

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3. 在数列{an}中, an=-2n2+29n+3, 则此数列最大项的值是( 865 825 A.103 B. C. D.108 8 8

)

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3. 在数列{an}中, an=-2n2+29n+3, 则此数列最大项的值是( D ) 865 825 A.103 B. C. D.108 8 8

解 析
? 29?2 292 ∵an=-2?n- 4 ? +2× +3, 16 ? ?

∴n=7 时,an 最大.a7=-2×72+29×7+3=108.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1 1 4.已知数列{an}中,a1= ,an+1=1-a (n≥2),则 a16=________. 2 n

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1 1 1 2 4.已知数列{an}中,a1= ,an+1=1-a (n≥2),则 a16=________. 2 n

解 析
1 1 1 1 由题意知 a2=1- =-1,a3=1- =2,a4=1- = , a1 a2 a3 2 1 ∴此数列是以 3 为周期的周期数列,a16=a3×5+1=a1= . 2

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

a-b 5 10 17 5.数列 , , , ,?中,有序数对(a,b)是 3 8 24 a+b __________________.

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

a-b 5 10 17 5.数列 , , , ,?中,有序数对(a,b)是 3 8 24 a+b ?41 11? ? ,- ? 2? ?2 __________________ .

解 析
根号里的数比分母大 2,
41 ? ? ?a= 2 ?a+b=15 可得? ,解得? ? ?a-b=26 ?b=-11 2 ?

.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

? ?2? ? ? n? ? ? ? 6.(2011· 浙江)若数列?n?n+4? 3 ? 中的最大项是第 ? ? ? ? ?

k 项,则 k=____.

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

? ?2? ? ? n? ? ? ? 6.(2011· 浙江)若数列?n?n+4? 3 ? 中的最大项是第 ? ? ? ? ?

k 项,则 k=____. 4

解 析
?2? ?2? - ? k k 1 ? ? ? ? k ? k + 4 ? ≥ ? k - 1 ?? k + 3 ? , ? ?3? ?3? 由题意知? ? ? ? ? ?k?k+4??2?k≥?k+1??k+5??2?k+1, ? ?3? ?3?

解得 10≤k≤1+ 10.∵k∈N*,∴k=4.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7. (13 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a, an+1=Sn+3n, n∈N*. (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式; (2)若 an+1≥an,n∈N*,求 a 的取值范围.

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7. (13 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a, an+1=Sn+3n, n∈N*. (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式; (2)若 an+1≥an,n∈N*,求 a 的取值范围.

解 析
解 (1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n, 即 Sn+1=2Sn+3n,由此得 Sn+1-3n+1=2(Sn-3n), ∴{Sn-3n}是等比数列, - 因此,所求通项公式为 bn=Sn-3n=(a-3)2n 1,n∈N* (2)由①知 Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*,
于是,当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2



=2×3n-1+(a-3)2n-2,

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7. (13 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a, an+1=Sn+3n, n∈N*. (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式; (2)若 an+1≥an,n∈N*,求 a 的取值范围.

解 析
an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2 ? ?3? - ? n-2 n 2 ? ? ?, =2 ?12· + a - 3 ? ?2? ? ?3? - ? ?n 2+a-3≥0?a≥-9, 当 n≥2 时,an+1≥an?12· ?2? 又 a2=a1+3>a1.
综上,所求的 a 的取值范围是[-9,+∞).


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