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2012届江苏省高考数学理二轮总复习专题导练课件:专题30 数形结合的思想方法


数形结合的思想方法

1

著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形 少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休”.事 实上,数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象,是 数学大厦深处的两块基石.数形结合就是通过这两者之间 的对应和转化来解决问题的.“数”与“形”在一定的条 件下可以相互转化.在一维空间,实数与数轴上的点建立 了一

一对应关系;在二维空间,实数对与坐标平面上的点 建立了一一对应关系,进而使函数的解析式与函数的图象 ,方程与曲线建立了一一对应关系;在三维空间,空间向 量的引入又为用代数方法研究空间点线面关系提供了可能 .这种用代数方法研究图形性质,借助图形性质研究数量 关系的思想方法就是数形结合思想.
2

数形结合是一种重要的数学思想方法,它包含 “以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可 以分为两种情形:一是借助形的直观性来阐明数之间的 联系,即以形为手段,数为目的,如应用函数的图象来 直观说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严 密性来阐明形的某些属性,即以数为手段,形为目的, 如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三 点:一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线 的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何 意义又分析其代数意义;二是恰当设参、合理用参,建 立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;三是正 确确定参数的取值范围.

3

1.构造途径 (1)利用“两点间的距离
例1 求函数f 的最小值.
-

?x? ?

x ? 4 x ? 13 ?
2

x ? 12 x ? 37
2

4

解析:将函数式变形,得 f ?

?x? ?

x ? 4 x ? 13 ?
2 2 2

x ? 12 x ? 37
2

? x ? 2 ? ? ?0 ? 3? ?
-

? x ? 6 ? ? ? 0 ? 1? ,
2 2

设 A ? 2, 3 ? , B ? 6,1 ? , P ? x , 0 ? , 则 上 述 问 题 转 化 为 求 P A ? P B 的 最 小 值 , 如 图 点 A关 于 x轴 的 对 称 点 为 C ( 2 , 3), 因 为 P A ? P B ? P C ? P B ? B C ? 4 2, ? 所以f

? x ?的 最 小 值 为 4

2.

5

点评:本题如果直接对原式进行变形,是有一定运算 量的,效率也不高,但将式子转化为这种点与点距 离公式之后,它的几何意义就凸现出来了,利用数 形结合的方法,把代数问题转化为几何问题.

6

(2)利用“直线的斜率” 例2 实系数方程f(x)=x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内, 另一个根在(1,2)内,求
b ? 2 a ?1

的取值范围.

解析: 由根的分布,可写出a、b所满足的条件,并 作出示意图;另外,由
b ? 2

式,利用解析几何的办法加以求解

a ?1

的形式,可联想斜率公

7

解析:因方程x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个 根在(1,2)内,故函数f(x)=x2+ax+2b的图象与x轴的交点的 横坐标分别在区间(0,1)及(1,2)内,于是
? f ?0? ? 0 ? ? f ?1 ? ? 0 ? f ?2? ? 0 ?
.

,即

?b ? 0 ? ? a ? 2b ? 1 ? 0 ?a ? b ? 2 ? 0 ?

点(a,b)所表示的平面区域为如图的△ABC的内 部,其中,A(-3,1)为直线a+2b+1=0与直线a+b+2=0的 交点,B(-2,0)为直线a+b+2=0与直线b=0的交点, C(-1,0)为直线a+2b+1=0与直线b=0的交点.
8

由于

b?2

a ?1

表示连结点(a,b)和点D(1,2)的斜 率,
k
AD

由图易知,
因k
AD

?
1 4 ?

b?2 a ?1
b?2 a ?1

? k
CD

?

1 4

,k
CD

? 1, 故

? 1.

点评:对于方程根的分布问题,常利用数形结合法, 从对称轴的方程、最值、开口方向、特殊点的函数值 等方面进行考虑;对于求比例形式的问题,常常可联 想直线的斜率利用数形结合的方法进行求解.

9

(3)利用“点到直线的距离”
例3 求函数 y ? x ? 2 - 1- x 的最小值
2

解析:将函数表达式变形得
y 2

y 2

?

|x?2? 2

1? x

2

|

的几何意义表示半圆
.

x2+y2=1(0≤y≤1)上的点P到直线x - y+2=0的距离. y 从而由图易得 2 的最小值为 2 - 1 从而所求函数的最小值为 2- 2
10

(4)利用“函数图象”
例 4 设 f ( x )、 g ( x ) 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 , 当 x< 0时 , f ? ? x ? g ? x ? ? f

? x ? g ? ? x ? >0 且 g ? 3 ? ?

0.

则 不 等 式 f ( x ) g ( x )< 0的 解 集 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
解 析 : 因 f ( x )、 g ( x ) 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 , 故 函 数 F ( x ) ? f ( x ) g ( x )是 R上 的 奇 函 数 . 由 奇 函 数 的 图 象 特 征 : 奇 函 数 的 图 象 关 于 原 点 对 称 知 , F ( x )在 原 点 两 侧 的 单 调 性 相 同 . 又 注 意 到 , F ?( x ) ? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x ) 依 据 条 件 知 , F ( x ) 在 x< 0 时 为 增 函 数 , 于 是 F ( x ) 在 x> 0 时 亦为增函数.
11

因为g(x)为偶函数且g(3)=0,故g(-3)=0, 从而F(-3)=F(3)=0. 作出满足条件F(x)的示意图如图所示, 由图易知,F(x)<0的解集为 (-∞,-3)∪(0,3).

点评:为什么奇函数的图象在原点两侧的单调性相 同,这就是我们成竹在胸,“胸”中有图:对奇函 数的图象特征烂熟于心;为什么在图中标了三个特 殊点:两个非F(x)图象中的点,一个F(x)图象中的点 即原点:这就是我们对奇函数性质了如指掌:
12

奇函数若在原点处有定义,则奇函数的图象一 定过原点.当我们作出了满足全部条件的函数F(x)的 图象后,不等式F(x)<0的解集已经跃然图上了.这 就是图形的直观作用!借助于图形,省却了繁琐的 推理与计算,取而代之的是一幅赏心悦目的优美图 案与简洁明快的解答!

13

(5)利用“单位圆”
例 5 已 知 a co s ? ? b sin ? ? c, a co s ? ? b sin ? ? c ( a b ? 0,

? ? ? ? k ? , k ? Z ), 求 证 : co s ?
2

? ??
2

?

c
2

2 2

a ?b

.

证明:在平面直角坐标系中,点 A(cos?,sin ? )与点B(cos ? ,sin? )是直 线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个 交点,如图
从 而 , A B ? (co s ? ? co s ? ) ? (sin ? ? sin ? )
2 2 2

? 2 ? 2 co s (? ? ? ).
14

又因单位圆的圆心到直线l的距离 d ?
a

|c|
2

?b

,
2

由平面几何知识知, A O
即1 ? 2 ? 2 c o s ?? ? ? ? 4

2

?(

1 2

AB ) ? d ,
2 2

? d

2

?

c
2

2 2

a ?b
? c
2



所以

co s

2

? ??
2

?

1 ? co s ? ? ? ? ? 2

2 2

a ?b



命题得证.
15

(6)利用“正余弦定理”构图
例 6 求 sin 20 ? ? cos 50 ? ? sin20 ? cos50 ?的 值 .
2 2

解 析 :将 原 式 变 形 为 sin 2 0 ? ? sin 4 0 ? ? 2 sin 2 0 ? ? sin 4 0 ? co s1 2 0 ?,
2 2

于是我们可联想构造一个三角形:其三个内角分 别 为 2 0 ?、 0 ?、2 0 ?, 并 设 此 三 角 形 外 接 圆 直 径 为 1 , 4 1 则 此 三 角 形 三 边 长 分 别 为 sin 2 0 ?、 sin 4 0 ?、 sin 1 2 0 ?, 由余弦定理可得 sin 2 0 ? ? sin 4 0 ? ? 2 sin 2 0 ? sin 4 0 ? co s1 2 0 ? ? sin 1 2 0 ? ?
2 2 2

3 4

.

16

点评:本题中,根据数形结合思想,实现了由 三角式向三角形边角关系式的转换,使运算大 为简捷.

17

例 7 设 正 数 x, y, z 满 足 方 程 组

? 2 x ? xy ? ? ? ?1 2 2 y ? z ? ?3 2 ? x ? xz ? ? ?

1 3

y ?5
2 2

2

?3
2



z ? 42

试 求 xy ? 2 yz ? 3 xz的 值 .

分析 原题中只须求出xy+2yz+3xz的整体值,无须 求出想x,y,z的单个值,可联想利用余弦定理构造 三角形,利用三角形的面积及余弦定理直接求值.
18

解析:将

1 3

y 视作为(

2

1 3

y) , 依 余 弦 定 理 可 将 原 方 程 组

2

? 1 1 2 2 2 x ? 2 ? x? y ? co s1 5 0 ? ? ? y? ? 5 ? 3 3 ? ? 1 ? 2 2 2 变 形 为 ?? y? ? z ? 3 ? 3 ? ? 2 2 2 x ? 2 xzco s1 2 0 ? ? z ? 4 ? ? 三个式子可分别联想到三个三角形.

19

第 一 个 : 两 边 x, 第二个:两边 1

1 3

y, 夹 角1 50 ?; y, z, 夹 角 9 0 ?;

3 第 三 个 : 两 边 x, z, 夹 角 为1 2 0 ? .

如 图 构 造 ? A B C, 使 A B ? 5, A C ? 4, B C ? 3, ? A O B ? 1 50 ?, ? A O C ? 1 2 0 ?, ? B O C ? 9 0 ?, 并 设 A O ? x, B O ? 1 3
20

y, C O ? z, 且 ? A C B ? 9 0 ? .

因 S ? AO B ? S ? C O A ? S ? BO C ? S ? ABC, 故 1 2 x? 1 3 y sin 1 50 ? ? 1 2 xz sin 1 2 0 ? ? 1 2 ? 1 3 yz ? 1 2 ? 3 ? 4,

化 简 即 得 xy ? 2 yz ? 3 xz ? 2 4 3 .

点评:视x、 y、z为三条边,进而将所求值
3

1

xy+2yz+3xz转化为三角形的面积,并联用正弦 定理、余弦定理及三角形的面积公式,实现快 速解题.
21

(7)利用“平行线间的距离”

例 8 已 知 a, b, x, y ? R , 且 a ? 2 b ? 4 ? 0, x ? 2 y ? 1 , 求 证 :a ? x ? ? ? b ? y ? ? 5. ?
2 2

22

证 明 : 待 证 式 的 左 边 可 视 为 点 ( a, b ) 与 ( x, y )间 的 距 离 的 平 方 . 已 知 条 件 说 明 点 ( a, b ) 在 直 线 l1: x ? 2 y ? 4 ? 0 上 , 点 ( x, y ) 在 直 线 l 2: x ? 2 y-1 ? 0 上 , 且 l1 / / l 2 .显 然 , 平行直线上任意两点间的距离不小于这两平行线间的 距离,而两平行线间的距离d ? 所 以 ?a - x ? ? ?b - y ? ? 5
2 2

| c1 - c 2 | A ? B
2 2

?

4 ?1 1? 2
2

?

5,

23

点评:对形如等式ab+cd=k,可以视为点(a,c)在 直线bx+dy=k上,或根据证题需要视为点(a,d)在 直线bx+cy=k上.

24

2.应用方面列举 (1)函数的图象与性质 例9 方程x3-4x2+4x-log2x=0的实根个数为___.

分析:解方程求根是不切实际的,画图是一条重 要的途径.

25

解 析 : 令 y1 ? x ? 4 x ? 4 x, y 2 ? log 2 x, 则 y 1 ? ? 3 x ? 8 x ? 4 ? 0,1?
3 2 2

? ? 3 x ? 2 ?? x ? 2 ? . 令 y1 ? ? 0 得 x1 ? 2, x 2 ? , 在 x1 ? 2 处 符 3 合 其 导 函 数 的 值 左 负 右 正 , 故 x ? 2 时 , y1取 得 极 小 值 0, ( 2,0) 是 函 数 图 象 的 极 小 值 点 ; x 2 ? 处 符 合 其 导 函 数 在 3 的 值 左 正 右 负 , 故 x ? 时 , y 1取 得 极 大 值 . 3
26

2

2

2

所示.

? 2 32 ? ? , ? ? 3 27 ?

是函数图象的极大值点,其函数图象如图

又在图中作出函数y2=log2x的图象,显然两图象有2 个不同交点,故原方程有2个不同的实根.
27

点评:这是一道典型的应用数形结合来解决问题的 综合型小题,将三次函数图象模型与对数函数图象 糅合在一起,要求学生掌握三次函数的极值,极值 点,最值,单调区间的求法及函数图象的画法,更 要注意在同一坐标系中两图象的位置关系.

28

(2)三角函数的图象与性质
例10 在 (0, 2 ? )内 使 sin x ? cos x 成 立 的 x 取 值 范 围 为 _____ .

分析:有些学生不加分析地盲目利用同角三角函数间 的关系与公式,进行运算与推理,往往造成较高的错 误率,而如果借助三角函数图象,以形助数,则不仅 会正确得出答案,而且过程简洁直观.
解 析 : 在 同 一 坐 标 系 中 作 出 y ? sin x, y ? co s x 在 (0, 2 ? ) 上 的 图 象 如 图 所 示 . 由图可知,答案为(

? 5?

, ). 4 4
29

(3)与解方程、解不等式有关的问题
例1 已知f

?x? ?

2x ? a x ?2
2

( x ? R ) 在 区 间 ? ? 1,1 ? 上 是 增

函 数 .1 ? 求 实 数 a的 值 组 成 的 集 合 A; ?

? 2 ? 设 关 于 x的 方 程 f ? x ? ?

1 x

的 两 个 非 零 实 根 为 x1、 x 2 .
2

试 问 : 是 否 存 在 实 数 m, 使 得 不 等 式 m ? tm ? 1 ? x1 ? x 2 对 任 意 a ? A 及 t ? ? ? 1,1 ? 恒 成 立 ? 若 存 在 , 求 m的 取 值 范 围 ; 若 不 存 在 , 试 说 明 理 由 .

30

分析: (1)函数f(x)是区间[-1,1]上的增函数,这个条件 怎样使用?有两条思路可走:一是利用函数单调性的 定义,二是利用导数的性质.这里我们不妨用第二种 方法.
2? x ? 2 ? ? ? 2 x ? a ? ? 2 x
2

解 析 : f ?? x ? ?

? x ? 2?
2

2

?

? 2? x ? ax ? 2 ?
2

? x ? 2?
2

2

.

条 件 等 价 于 f ? ? x ? ? 0 对 x ? ? ? 1,1 ? 恒 成 立 , 即 x ? a x ? 2 ? 0 对 x ? ? ? 1,1 ? 恒 成 立 .
2

31

令g

?x?

? x

2

? a x ? 2 , x ? ? ? 1,1 ? , 并 作 出 它 在

直 角 坐 标 系 x O y内 的 示 意 草 图 (图 略 , 因 其 形 状 已 经 深 深 地 烙 在 了 自 己 的 脑 海 中 ), 由 图 易 知 , 若 对 称 轴 方 程 x ? 所 在 直 线 在 y轴 的 右 侧 , 则 g ? ? 1? 为 函 数 g

? x ?的 最 大 值 ,

?a ? 0 ? 从而 ?2 ? 0< a ? 1 ; ? g ?? 1 ? ? a ? 1 ? 0 ? 若 对 称 轴 方 程 x ? 所 在 直 线 不 在 y轴 的 右 侧 , 则 g ?1 ? 为 函 数 g

? x ?的 最 大 值 ,

?a ? 0 ? 从而 ?2 ? ?1 ? a ? 0. ? g ?1 ? ? ? a ? 1 ? 0 ?

32

综合上面两种情形的讨论可知, A ? { a | 0< a ? 1} ? { a | ? 1 ? a ? 0}, 即 A ? { a | ? 1 ? a ? 1}.
2x ? a x ?2
2

? 2 ?由

?
2

1 x

, 得 x ? ax ? 2 ? 0.
2

依 题 意 方 程 x ? a x ? 2 ? 0的 两 实 根 与方程 2x ? a x ?2
2

?

1 x

的根等价,

从而利用根与系数的关系,可求得 x1 ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? ? 4 x1 x 2 ?
2

a ? 8.
2
33

注 意 到 不 等 式 m ? tm ? 1 ? x1 ? x 2 对 任 意 a ? A 及 t ? ? ? 1,1 ?
2

恒 成 立 , 从 而 m ? tm ? 1 ? ? | x1 ? x 2 | ? m ax ? ( a ? 8 ) m ax ? 3
2 2

( 其 中 ? 1 ? a ? 1), 即 不 等 式 m ? tm ? 2 ? 0 对 任 意 t ? ? ? 1,1 ?
2

恒成立.

34

令 h ?t ? ? mt ? ?m

2

? 2 ? , t ? ? ? 1,1 ? , 则 函 数 y ? h ? t ? 的
2

图 象 为 一 条 线 段 . 于 是 , 当 h ?t ? ? mt ? ?m

? 2? ? 0

对 任 意 t ? ? ? 1,1 ? 恒 成 立 时 , 其 线 段 应 在 t 轴 的 上 方 , ? h ?1 ? ? m ? m 2 ? 2 ? 0 ? 故 ? ? ? m ? 2 或 m ? ? 2. 2 ? h ?? 1 ? ? ? m ? m ? 2 ? 0 ? 从 而 存 在 满 足 条 件 的 实 数 m, 且 m的 取 值 范 围 为 m ? 2 或 m ? ? 2.

35

点评: 本题是一道较难的解不等式问题,但两问的求 解都借助了图形的直观,进而很简捷地得到了问题的 解答与结论.其中,第(1)问,用的是二次函数的图象

的对称轴的位置与函数的单调区间的关系而得到的;
第(2)问,先是利用了主元思想,视m2+tm-2中t为变量,

m为常量,进而得出函数h(t)=mt+(m2-2),t∈[-1,1]的图
象为一条线段的直观结论,后利用它写出了m所满足的 条件组,并最终求得了m的取值范围.

36

(4)解析几何中的有关问题
例 1 2 实 数 x、 y 满 足 2 x ? 4 xy ? 2 y ? x y ? 2 0,
2 2 2 2

求 z ? 2 2 ( x ? y ) ? xy的 取 值 范 围 .

分析:本题具有明显的几何意义,那数形结合法便 是一个常规的方法了.

37

解 析 : 将 条 件 化 为 2 ? x ? y ? ? x y ? 20.
2 2 2

令m ?

2 ? x ? y ? , n ? xy, 则 m ? 2 ? x ? y ? ? 8 xy ? 8 n .
2 2

? m 2 ? n 2 ? 20 ? 于是,问题等价于在约束条件: 2 ? ?下 , ? m ? 8n ? 求 目 标 函 数 z ? 2 m ? n的 取 值 范 围 .

38

画出约束条件所表示的区域,如图

阴影部分所示.易知当动直线l过P点
时,即l为l1时,z的取值最大. 联立m2+n2=20与m2=8n,解得P(4,2),此时z=10;当l 为l2 时,z的取值最小,联立m2+n2=20及z=2m+n,消 去m,并注意到△=0,可解得z=-10. 于是z的取值范围为[-10,10].

39


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