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重庆市西南师大附中2010届高三下学期3月月考数学(文)试题


西南师大附中高 2010 级月考 数 学 试 题 (文)
2010 年 3 月
本试题分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ 卷(选择题,共 50 分)
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把

答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案, 不能答在试题卷上. 3.考试结束,监考人员将答题卡收回.

一、选择题 : (本大题 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分)各题答案必须答在答题卡上.
1) 处的切线的斜率为( 1.函数 y ? x 3 在点 (1,

) C.3 D. ? 3
2 2
3 2

A.1 B. ? 1 2. cos 27? sin 33? ? sin 27? cos33? ? ( A.1 B.

) C. D.

1 2

3) ,向量 a ? (2k ? 1 3.已知点 A(?1,0),B(1, , 2) ,若 AB ? a ,则实数 k 的值为(



A. ? 2
b

B. ? 1

C.1

D.2

?1? 4. 若 log 2 a ? 0 , ? ? ? 1 ,则( ) ?2? A. a ? 1, b ? 0 B. a ? 1, b ? 0

C. 0 ? a ? 1,b ? 0 )

D. 0 ? a ? 1,b ? 0

5.函数 y ? cos(4 x ? ) 的图象的两条相邻对称轴间的距离为( 3 A.

?

? 8

B.

? 4

C.

? 2

D. ? )

6.设 a, b 是两条直线, ?,? 是两个平面,则 a ? b 的一个充分条件是( A. a ? ?,b ∥ ?,? ? ? C. a ? ?,b ? ?,? ∥ ? 7.已知实数 a,b ? 0 , a,b 的等差中项为 A.3
x

B. a ? ?,b ? ?,? ∥ ? D. a ? ?,b ∥ ?,? ? ?

B.4

1 1 1 ,设 m ? a ? ,n ? b ? ,则 m ? n 的最小值为( 2 a b C.5 D.6




8.函数 y=

xa ? a ? 1? 的图象的大致形状是( |x|

9.设椭圆

5 x2 y 2 1) ,则 PA ? PF 的最小值为( ? ? 1 的右焦点为 F,P 为椭圆上一动点, A (1, 3 25 16 22 20 19 A. B.7 C. D. 3 3 3



10.已知函数 f ( x) ? log2 | x ? 1| , 且关于 x 的方程 [ f ( x)] 2 ? af ( x) ? b ? 0 有 6 个不同的实数解, 若最小实数 解为 – 3,则 a + b 的值为( A.– 3 B.– 2 ) C.0 D.不能确定

第Ⅱ 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题: (本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)各题答案必须填写在答题卡上(只填结果,不要 过程)
? x ?1 ? ? 0 ? ,则 A 11.设集合 A ? ? x | x ? 3?,B ? ? x | ? x?4 ?
B=



, 2) 12.已 知 f ( x) 在 R 上 是 奇 函 数 , 且 满 足 f ( x ? 4) ? f ( x) , 当 x ? ( 0 时 , f ( x)? 22 x,则 f(7? )

. .

13.已知等差数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ? an ?1 , a1 , a 2 , a 4 成等比数列,则 an ?

? f ( x) ? f ( y ) ? 0 y 14.设 函 数 f ( x)? 2x ? 6 x? , ,则 的最大值是 5 若 实 数 x,y 满 足 条 件 ? x ?1 ? x ? 5

___________________.

x2 y 2 15.已知非零实数 a,b,c 成等差数列, 直线 ax ? by ? c ? 0 与曲线 C: 2 ? 则实 ? 1(m ? 0) 恒有公共点, m 9 数 m 的取值范围为 .
三、解答题: (本大题 6 个小题,共 75 分)各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明、演算 步骤或推理过程) 16.(本小题满分 13 分) 已知向量 a ? (2cos ? x, 1), b ? (sin ? x ? cos ? x, ? 1) , (? ? R,? ? 0) , 设函数 f ( x) ? a (1) 求 ? 的值;

b ( x ? R) ,若 f ( x) 的最小正周期为

? . 2

(2) 求 f ( x) 的单调区间.

17.(本小题满分 13 分) 正数数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 4Sn ? (an ? 1)2 , n ? N * . (1) 试求数列 {an } 的通项公式; (2) 设 bn ?
1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an ?1

18.(本小题满分 13 分) 如图,SD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,AB = 1, SB ? 3 . (1) 求证: ;

(2) 设棱 SA 的中点为 M,求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小.

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 4 x ? x3 ? x2 ? a (0 ? x ? 6) . 4

(1) 求函数的单调区间及最值; (2) a 为何值时,方程 f ( x) ? 0 有三个不同的实根.

20.(本小题满分 12 分)

如图,斜率为 1 的直线过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点,与抛物线交于两点 A、B,M 为抛物线弧 AB 上的动点. (1) 若 AB ? 8 ,求抛物线的方程; (2) 求 S?ABM 的最大值.

21.(本小题满分 12 分)

?1 ? a ? n,n 为奇数 已知数列{an}满足:a1 = 1, an ?1 ? ? 2 n ,且 bn ? a2 n ? 2 , n ? N* . ?a ? 2n,n 为偶数 ? n
(1) 求 a2,a3,a4; (2) 求证:数列{bn}是等比数列,并求其通项公式;

3 (3) 求 (2) 的情形下,设 ( )n 4

Cn ? ?nbn ,设 Sn ? C1 ? C2 ?

? Cn ,求证:Sn < 6.

西南师大附中高 2010 级月考 数学试题参考答案 (文)
2010 年 3 月 一、选择题: (本大题 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.C 2.D 3.B 4.D 5.B 6.C 7.C 8.C 9.A 10.B

二、填空题: (本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (3,4) 12.– 2 13.2n 14.5 15. [
3 5 , ? ?) 5

三、解答题: (本大题 6 个小题,共 75 分) 16.解: f ( x) ? a b ? 2cos ? x (sin ? x ? cos ? x) ? 1
? sin 2? x ? 1 ? cos 2? x ? 1 ? 2 sin(2? x ?

?
4

)

(1) 由 T ?

2? ? ? ?? ? 2 2? 2

(2) 以下均有 k ? Z 令? 令

?
2

? 2k? ? 4 x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ? x ?[

k? 3? k? ? ? , ? ] 2 16 2 16

?
2

? 2k? ? 4x ?

?
4

?

3? k? ? k? 5? ? 2k? ? x ?[ ? , ? ] 2 2 16 2 16 k? 3? k? ? ? , ? ], 2 16 2 16 k? ? k? 5? ? , ? ] 2 16 2 16
当 n ? 1 时, a1 ?
a12 ? 2a1 ? 1 ? a1 ? 1 ; 4

所以函数的单调递增区间为 [ 单调递减区间为 [ 17.解:(1) 由题, Sn ?

2 an ? 2an ? 1 1 ----------○ 4

当 n ? 2 时, Sn ?1 ?
1 、○ 2 式相减得: ○

2 an ?1 ? 2 an ?1 ? 1 2 ----------○ 4

4an ? (an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? 2(an ? an ?1 ) ? 2(an ? an?1 ) ? (an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? an ? an ?1 ? 2 ,综上得 an ? 2n ? 1 。 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), (2) bn ? an an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

?Tn ? b1 ? b2 ?
18.(1) 证明:由题意得:

1 1 1 1 ? bn ? (1 ? ? ? ? 2 3 3 5

?

1 1 n 。 ? )? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

SD ? BC ? ? ? BC ? 平面 SDC ? BC ? SC BC ? CD ?

(2) 取 AB 中点 N,连接 MN,DB,DN ,则 MN // BS ,所以 ?DMN 即为所求的角。 由 AB ? 1 ,ABCD 为正方形,知 DB ? 2 ,又 SD ? 面 ABCD , SB ? 3 ,有 SD ? 1
? SDA 为等腰直角三角形, 所以, 那么 DM ?

2 5 3 MN ? N , 结合 DN ? , , 有D 2 2 2

2

D ? M

2 M N?

2



即 ?DMN ? 90? ,所以 DM 与 SB 所成的角为 90 ? 。 19. 解:(1) f '( x) ? x3 ? 3x2 ? 2x ? 0 ? x ? 0,, 1 2

x
f '( x) f ( x)

(0, 1)

1 0 极大值

(1,2)

2 0 极小值 a

(2,6)

?0


?0
1 ?a 4


?0


1) 上单增,在 (1,2) 单减,在 (2,6) 上单增; 所以, f ( x) 在 (0,

另外, f (6) ? 72 ? a ,所以,最大值为 f (6) ? 72 ? a ,最小值为 f (2) ? a ;
? f (0) ? 0 ? f (1) ? 0 1 ? ? ? ? a ? 0。 (2) 由题可知, ? 4 ? f (2) ? 0 ? ? f (6) ? 0
p ? p ?y ? x ? ,则 ? 2 ,消去 y 得: 2 ? y 2 ? 2 px ?

20.解:(1) 由条件知 l AB : y ? x ?

x2 ? 3 px ?

1 2 p ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 3 p ,由抛物线定义得 AB ? x1 ? x2 ? p ? 4 p 4

又因为 AB ? 8 ,即 p ? 2 ,则抛物线的方程为 y 2 ? 4 x (2) 由 (1) 知 AB ? 4 p 和 l AB : y ? x ?
y2 p ,设 M ( 0 ,y0 ) ,则 M 到 AB 的距离为: 2p 2
1 2 p y0 ? y0 ? ? 0 2p 2

? d?

1 2 p y0 ? y0 ? 2p 2

2 2 1 2 p 2 1 (? y0 ? y0 ? ) ? [? ( y0 ? p)2 ? p] 则d ? 2 2p 2 2 2p
2 由 x ? 3 px ?

,因点 M 在直线 AB 的上方,所以 ?

1 2 3?2 2 3? 2 2 p,(1 ? 2) p ),B( p, (1 ? 2) p) p ? 0 知 A( 2 2 4 2 所以 (1 ? 2) p ? y0 ? (1 ? 2) p ,则当 y 0 ? p 时, d max ? p 2

1 2 4p p ? 2 p2 2 2 1 3 3 5 1 5 7 21.解:(1) a2 ? a1 ? 1 ? , a3 ? a2 ? 4 ? ? 4 ? ? , a4 ? a3 ? 3 ? ? ? 3 ? 2 2 2 2 2 4 4 (2) ∵ bn ? a2 n ? 2

则 ( S?ABM ) max ?

1 1 1 a ? 2n ? 1 ? 2 (a2 n ? 4n) ? 2n ? 1 a2 n ? 1 bn ?1 a2 n ? 2 ? 2 2 2 n ?1 1 2 ∴ ? ? ? ?2 ? bn a2 n ? 2 a2 n ? 2 a2 n ? 2 a2 n ? 2 2

3 1 ?2?? 2 2 1 1 ∴ 数列{bn}是首项为 ? ,公比为 的等比数列 2 2 1 1 n?1 1 n ∴ bn ? ? ( ) ? ?( ) 2 2 2 3 n 1 (3) 由 (2) 得 ( ) Cn ? (?n)[?( )n ] 4 2 1 n 4 n 2 n 2 2 ∴ Cn ? n( ) ( ) ? n( ) ∴ Sn ? C1 ? C2 ? ? Cn ? ? 2 ( )2 ? 2 3 3 3 3 2 2 2 23 2 n 2 n?1 Sn ? ( ) ? 2( ) ? ? (n ? 1)( ) ? n( ) 3 3 3 3 3 1 2 2 2 2 n 2 n?1 相减得 Sn ? ? ( ) ? ? ( ) ? n( ) 3 3 3 3 3 2 2 n [1 ? ( ) ] 3 ? n( 2 )n ?1 ? 2[1 ? ( 2 )n ] ? n( 2 )n ?1 ?3 2 3 3 3 1? 3 2 2 2 ∴ Sn ? 6[1 ? ( )n ] ? 3n( )n?1 ? 6 ? (6 ? 2n)( )n ? 6 3 3 3 ∴Sn < 6 成立
又 b1 = a2 – 2 =

2 ? n ( )n 3


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