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南通市2014届高三数学最后一卷


南通市 2014 届高三数学临门一脚

数学 I
参考公式:

1 棱锥的体积公式: V ? Sh ,其中 S 为锥体的底面积,h 为高. 3

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置 ........ 上 . . 1.已知集合 A={1,k-1},B={

2,3},且 A∩B={2},则实数 k 的值为 2.若复数 z 满足 iz=2(i 为虚数单位),则 z= ▲ . ▲ .

? x ≥ 0, ? 3.不等式组 ? y ≥ 0, 所表示的平面区域的面积为 ?x ? y ≤ 2 ?





4.函数 y=sin2x 的最小正周期为



. ▲ .

5.若正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,则三棱锥 A-BDA1 的体积为
? x ? 3, x ? 0, 6.已知函数 f ( x) ? ? 2 若 f(x)=5,则 x= ? x ? 1, x ≤ 0,

▲ ▲

. .

7.设函数 f(x)=log2x(0<x<5),则 f(x)<1 的概率为

8.某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位:支)进行统计,统 计时间是 4 月 1 日至 4 月 30 日,5 天一组分组统计,绘制 了如图的鲜花销售数量频率分布直方图.已知从左到右各 长方形的高的比为 2∶3∶4∶6∶4∶1,且第二组的频数为 180,那么该月共销售出的鲜花数(单位:支)为 ▲ .

频率 组距

1 5 10 15 20 25 30 日期 (第 8 题图)

1

9.如图是一个算法流程图.若输入 A=3,B=5,则输出 A,B 的值分别为 输入 A,B A?A+B B?A-B A?A-B 输出 A,B
(第 9 题图)





b

c

a
(第 10 题图)

10.已知向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.若 c ? ? a ? ? b(? , ? ? R) ,则 ? ? ? = ▲ .
x2 ? 4 y 2 的最小值为 x ? 2y

11.已知实数 x,y,满足 xy=1,且 x>2y>0,则





12.设 t∈R,[t]表示不超过 t 的最大整数.则在平面直角坐标系 xOy 中,满足[x]2+[y]2=13 的点 P(x,y)所围成的图形的面积为 ▲ .

13.设函数 f(x)满足 f(x)=f(3x),且当 x∈ [1,3) 时,f(x)=lnx.若在区间 [1,9) 内,存在 3 个不同 的实数 x1,x2,x3,使得
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) ? ? =t,则实数 t 的取值范围为 x1 x2 x3





14.设各项均为正整数的无穷等差数列{an},满足 a54=2014,且存在正整数 k,使 a1,a54, ak 成等比数列,则公差 d 的所有可能取值之和为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡 指定区域内作答 .解答时应写出文 ... ....... 字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如图,在△ABC 中,| AB ? AC |=3,| BC ? BA |=5,| CA ? CB |=7. (1)求 C 的大小; (2)设 D 为 AB 的中点,求 CD 的长. A D
(第 15 题图)

C B

2

16. (本小题满分 14 分) 如图, AB 为圆 O 的直径, 点 E, F 在圆上, 四边形 ABCD 为矩形, AB∥EF, ∠BAF= M 为 BD 的中点,平面 ABCD⊥平面 ABEF.求证: (1)BF ? 平面 DAF; (2)ME∥平面 DAF. D C

? , 3

M B O E F
(第 16 题图)

A

17. (本小题满分 14 分) 图 1 是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图,图 2 是凹槽的横截面(阴影部分)示意 图,其中四边形 ABCD 是矩形,弧 CmD 是半圆,凹槽的横截面的周长为 4.若凹槽的 强度 T 等于横截面的面积 S 与边 AB 的乘积,设 AB=2x,BC=y. (1)写出 y 关于 x 函数表达式,并指出 x 的取值范围; (2)求当 x 取何值时,凹槽的强度 T 最大. D m A
图1 (第 17 题图) 图2

C B

18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 (1)若椭圆的离心率为

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)过点(1,1). a 2 b2

2 ,求椭圆的方程; 2

(2)若椭圆上两动点 P,Q,满足 OP⊥OQ. ①已知命题: “直线 PQ 恒与定圆 C 相切”是真命题,试直接写出圆 C 的方程;
(不需要解答过程)

②设①中的圆 C 交 y 轴的负半轴于 M 点,二次函数 y=x2-m 的图象过点 M.点 A,B 在该图象上,当 A,O,B 三点共线时,求△MAB 的面积 S 的最小值.

3

19. (本小题满分 16 分) 设数列{an}, a1=1, an ?1 ?

an 1 1 1 2 dn ?1? 2 ? 2 . 数列{bn}, 正数数列{dn}, bn ? 3n?1 an . ? n. bn bn ?1 3 3

(1)求证:数列{bn}为等差数列; (2)设数列{bn},{dn}的前 n 项和分别为 Bn,Dn,求数列{bnDn+dnBn-bndn}的前 n 项和 Sn.

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f(x)=ax2+ex(a∈R)有且仅有两个极值点 x1,x2(x1<x2). (1)求实数 a 的取值范围;
2

(2)是否存在实数 a 满足 f(x1)= e 3 x1 ?如存在,求 f(x)的极大值;如不存在,请说明理由.

4

数学Ⅱ(附加题)

21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 共 4 小题,请 选定其中两小题 ,并在相应的答题区域 . ....... ......... 内作答 .若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明 ... 过程或演算步骤. A.[选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,⊙O 是等腰三角形 ABC 的外接圆,AB=AC,延长 BC 到点 D,使得 CD=AC,连 结 AD 交⊙O 于点 E,连结 BE 与 AC 交于点 F,求证 BE 平分∠ABC. A E O B.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) B F C
(第 21A 图)

D

? a b? 已知矩阵 A ? ? ? ,A 的两个特征值为 ?1 ? 2 , ? 2 =3. ? ?1 4?

(1)求 a,b 的值; (2)求属于 ? 2 的一个特征向量 ? .

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
? ? x ? 1 ? 2cos ? , 圆 C 的参数方程为 ? (?为参数),设 P 是圆 C 与 x 轴正半轴的交点.以原 ? ? y ? 3 ? 2sin ?

点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设过点 P 的圆 C 的切线为 l,求直线 l 的极坐标方程.

D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知 a、b、c 均为正实数,且 a+b+c=1,求 a ? 1 ? b ? 1 ? c ? 1 的最大值.

5

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答 ,解答 .......... 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分)
3 (1)计算: C2013 2014 ? A5 ;

0 2 1 3 2 (2)观察下面一组组合数等式: C1 n ? nCn ?1 ; 2Cn ? nCn ?1 ; 3Cn ? nCn ?1 ;?

由以上规律,请写出第 k(k∈N*)个等式并证明.

23. (本小题满分 10 分) 设数列{an},{bn}满足 a1=b1,且对任意正整数 n,{an}中小于等于 n 的项数恰为 bn; {bn}中小于等于 n 的项数恰为 an. (1)求 a1; (2)求数列{an}的通项公式.

6


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