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2014届高考数学一轮复习 第3章 第3节《三角函数的图象与性质》名师首选练习题 新人教A版


第三章

第三节

三角函数的图象与性质

一、选择题 1.函数 y=sin x+cos x 的最小值和最小正周期分别是( A.- 2,2π C.- 2,π B.-2,2π D.-2,π )

)

cos x 2.函数 y=sin x| |(0<x<π )的图象大致是( sin x

3.若动直线 x=a 与函数 f(x)=sin x 和 g(x)=cos x 的图象分别交于 M、N 两点,则|MN| 的最大值为( ) A.1 C. 3 B. 2 D.2 )

1 4.已知函数 y=sin x 的定义域为[a,b],值域为[-1, ],则 b-a 的值不可能是( 2 π A. 3 C.π 2π B. 3 4π D. 3

π π 5.已知函数 f(x)=2sin ω x(ω >0)在区间[- , ]上的最小值是-2,则 ω 的最小值为 3 4 ( 2 A. 3 C.2 6.设函数 f(x)=sin(2x+ ) 3 B. 2 D.3 π π )+cos(2x+ ),则( 4 4 )

π π A.y=f(x)在(0, )单调递增,其图象关于直线 x= 对称 2 4 π π B.y=f(x)在(0, )单调递增,其图象关于直线 x= 对称 2 2 π π C.y=f(x)在(0, )单调递减,其图象关于直线 x= 对称 2 4 π π D.y=f(x)在(0, )单调递减,其图象关于直线 x= 对称 2 2 二、填空题 7.如果函数 y=3cos(2x+φ )的图象关于点( ________. 4π , 0)中心对称,那么|φ |的最小值为 3

1

π π 8.设函数 y=sin( x+ ),若对任意 x∈R,存在 x1,x2 使 f(x1)≤f(x)≤f(x2) 恒成立, 2 3 则|x1-x2|的最小值是________. π π 9.设函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0,φ ∈(- , ))的最小正周期为 π ,且其图象关于直 2 2 π π π 线 x= 对称,则在下面四个结论:①图象关于 点( ,0)对称;②图象关于点( ,0)对称; 12 4 3 π π ③在[0, ]上是增函数;④在[- ,0]上是增函数中,所有正确结论的编号为________. 6 6 三、解答题 π 10.已知函数 f(x)=4cos xsin(x+ )-1. 6 (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在区间[- , ]上的最大值和最小值. 6 4

π +2x 11.设 a=(sin2 ,cos x+sin x),b=(4sin x,cos x-sin x),f(x)=a·b. 4 (1)求函数 f(x)的解析式; π 2π (2)已知常数 ω >0,若 y=f(ω x)在区间[- , ]上是增函数,求 ω 的取值范围; 2 3

12.已知 a=(5 3cos x,cos x),b=(sin x,2cos x),函数 f(x)=a·b+|b|2. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的单调减区间; π π (3)当 ≤x≤ 时,求函数 f(x)的值域. 6 2

详解答案:

2

π π π 1.解析:∵y= 2sin(x+ ),∴当 x+ =2kπ - (k∈Z)时,ymin=- 2.T=2π . 4 4 2 答案:A

? ? π cos x 2.解析:y=sin x| |= 0,x= 2 sin x ? ?-cos x,π2 <x<π ?
π cos x,0<x< 2 答案:B π 3.解析:|MN|=|sin a-cos A|=| 2sin(a- )|, 4 ∴|MN|max= 2. 答案:B 2π 4π 4.解析:画出函数 y=sin x 的草图分析知 b-a 的取值范围为[ , ]. 3 3

答案:A π π 5.解析:∵f(x)=2sin ω x(ω >0)在区间[- , ]上的最小值为-2 3 4 T π π π 3 3 ∴ ≤ ,即 ≤ ,∴ω ≥ ,即 ω 的最小值为 . 4 3 2ω 3 2 2 答案:B π π π 6. 解析: 因为 y=sin(2x+ )+cos(2x+ )= 2sin(2x+ )= 2cos 2x, 所以 y= 2cos 4 4 2 π kπ 2x 在(0, )单调递减,对称轴为 2x=kπ ,即 x= (k∈Z). 2 2 答案 :D 4π π 7.解析:由题意知,2× +φ =kπ + ,k∈Z. 3 2 13π π 解得 φ =kπ - ,k∈Z.当 k=2 时,|φ |min= . 6 6 π 答案: 6 8.解析:由 f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,可得 f(x1)为最小值,f(x2 )为最大值,|x1-x2| 的最小值为半个周期. 答案:2 9.解析:∵T=π ,∴ω =2. π π π 又 2× +φ =kπ + ,∴φ =kπ + . 12 2 3

3

π π π π ∵φ ∈(- , ),∴φ = ,∴y=sin(2x+ ). 2 2 3 3 由图象及性质可知②④正确. 答案:②④ π 10.解:(1)因为 f(x)=4cos xsin(x+ )-1 6 =4cos x( 3 1 sin x+ cos x)-1 2 2

= 3sin 2x+2cos2x-1 = 3sin 2x+cos 2x π =2sin(2x+ ), 6 所以 f(x)的最小正周期为 π . π π π π 2π (2)因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ . 6 4 6 6 3 π π π 于是,当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 2 6 π π π 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 6 π +2x 11.解:(1)f(x)=sin2 ·4sin x+(cos x+sin x)·( cos x-sin x) 4 1-cos? =4sin x· π +x? 2 +cos2x 2

=2sin x(1+sin x)+1-2sin2x=2sin x+1, ∴f(x)=2sin x +1. (2)∵f(ω x)=2sin ω x+1,ω >0. π π 由 2kπ - ≤ω x≤2kπ + , 2 2 2kπ π 2kπ π 得 f(ω x)的增区间是[ - , + ],k∈Z. ω 2ω ω 2ω π 2π ∵f(ω x)在[- , ]上是增函数, 2 3 π 2π π π ∴[- , ]? [- , ]. 2 3 2ω 2ω π π 2π π ∴- ≥- 且 ≤ , 2 2ω 3 2ω 3 ∴ ω ∈(0, ]. 4 12.解: f(x)=a·b+|b|2 =5 3cos x·sin x+cos x·2cos x+sin2x+4cos2x =5 3sin xcos x+sin2x+6cos2x 5 3 1-cos2x = sin2x+ +3(1+cos2x) 2 2

4

5 3 5 7 = sin2x+ cos2x+ 2 2 2 π 7 =5sin(2x+ )+ 6 2 2π (1)f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π π 3π π 2π (2)由 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + 得 kπ + ≤x≤kπ + ,k∈Z. 2 6 2 6 3 π 2π ∴f(x)的单调减区间为[kπ + ,kπ + ](k∈Z). 6 3 π π (3)∵ ≤x≤ , 6 2 π π 7π ∴ ≤2x+ ≤ . 2 6 6 1 π ∴- ≤sin(2x+ )≤1. 2 6 17 ∴1≤f(x)≤ 2 17 即 f(x)的值域为[1, ]. 2

5


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