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正方体11种折叠方法


若 a,b,c 分别是三角形的三边,化简|a—b—c|+|b-c-a|+|c-a+b|= 解:由题意得: b + c > a, a + c > b, b + c > a

∴ a ?b ?c + b?c ? a + c ? a +b = b+c ?a+ a +c ?b+b+c ?a = 3c + b ? a

有一无盖立方体纸箱,若将其沿棱剪成展开图,问有多少种不同形式的展开图? 解因总面数是 5,不会出现 5 个面全部排成一行(列)的情形. (1) 当 一 行 ( 列 ) 面 数 最 多 是 4 时 , 有 两 种 情 形 ( 注 意 对 称 性 ) 如 图 ) ,

(2) 当一行(列)面数最多是 3 时,剩下的两个面位于这一行(列)的同一侧有两种不

同情形,如图 15-2(b) (3) 剩 下 的 两 个 面 位 于 这 一 行 ( 列 ) 的 异 侧 有 三 种 不 同 情 形 , 如 图

(4) 当一行(列)的面数最多是 2 时,仅一种情形,如图所示. 总数为 2+2+3+1=8 种,即有 8 种不同的展开形式.

探究正方体的展开图
将一个正方体的表面沿某些棱剪开,展成一个平面,共有哪些不同的图形呢? 要搞清这个问题,最好是动手实践,比如找一些正方体纸盒,沿着棱按不同方式将其剪 开(但不要剪断,六个面要通过边连在一起 ,展成平面,再观察、对比一下不同形状的图 但不要剪断, 但不要剪断 六个面要通过边连在一起) 形有哪些。 如果不容易找到足够的正方体纸盒,还可以找一些不太厚、易折叠的正方体纸板,利用 逆向思维,先猜测正方体展开图会有哪些不同形状,并将它们画在纸板上,再将周围多余部 分剪去,然后沿所画直线直行折叠,看看哪些图形纸板可以折叠成正方体。这种探究方法虽 然有点麻烦,但操作简便易行,快速有效。事先可多画一些纸板(六个正方形边与边对齐, 六个正方形边与边对齐, 六个正方形边与边对齐 任意连接成不同的平面图形) 任意连接成不同的平面图形 ,经过逐个验证,记录下所有可以折叠成正方体的图形,再将 这些图形分类,总结并寻找出其中的规律。 那么, 沿棱剪开展开一个正方体, 究竟有哪些不同的形状呢?如果不考虑由于旋转或翻 折等造成相对位置的不同,只从本质上讲,有以下三类共 11 种。 一、 141 型” 共 6 种) “ ( 特点:这类展开图中,最长的一行(或一列)有 4 个正方形(图 1~图 6) 。 特点

理解:有 4 个面直线相连,其余 2 个面分别在“直线”两旁,位置任意。 理解 二、 231 型”与“33 型” 共 4 种) “ ( 特点:这类展开图中,最长的一行(或一列)有 3 个正方形(如图 7~图 10) 。 特点

理解:在“231 型”中, “3”所在的行(列)必须在中间, 、 “2”“1”所在行(列)分 理解 属两边(前后不分) ,且“2”与“3”同向, “1”可以放在“3”的任意一个正方形格旁边, 这种情况共有 3 种,而“33 型”只有 1 种。 三、 222 型” 只有 1 种) “ ( 特点:展开图中,最多只有 2 个面直线相连(图 11) 。 特点

评注:⑴将上面 11 个图中的任意一个,旋转一定角度或翻过来,看上去都与原图似有 评注 不同,但这只是图形放置的位置或方式不同。实际上,它与原图能够完全重合,不能算作一 个独立的新图,而从上面 11 个图中任取两个,不论怎样操作(旋转、翻折、平移等 ,它们 旋转、 旋转 翻折、平移等) 都不可能完全重合,即彼此是独立的、不同的图形。 ⑵对于由大小一样的六个正方形通过边对齐相连组成的平面图,如果图中含有“一”字 型、 “7”字型、 “田”字型、 “凹”字型,就一定不能折成正方体。概括地说,只要不符合上 述 “141” 、 “231” “33” 和 、 “222” 的特点, 就不能折成正方体。 如图 12, 如果将其看作 “231” 型,那么,无论怎么看, “2”和“3”都不是同向,故不能折成正方体。其实,它属于“123” (或“321” )型。


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