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2007年浙江省高中数学竞赛B卷(参考答案)4.15


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浙江省瓯海中学 徐进光

参考答案) 2007 年浙江省高中数学竞赛 B 卷(参考答案)4.15
一,选择题 1.已知集合 A = x x x 2 < 0, x ∈ R , B = x x 1 ≥ 0, x ∈ R ,则 A ∩ B =(
2 2

{

}

{

}

)

A.

{ x 1 < x < 2}
2

B.

{ x x ≤ 1, or

1 ≤ x < 2}

C.

{ x 1 < x < 2}

D.

{ x 1 ≤ x < 2}

解: x x 2 < 0 ( x 2)( x + 1) < 0 1 < x < 2

x 2 1 ≥ 0 | x |≥ 1 x ≥ 1, or x ≤ 1 .
从而可得 当 x ∈ 0,

A ∩ B = { x 1 ≤ x < 2} .
).

应选 D.

2.

π 时,下面四个函数中最大的是( 4
B. sin(sin x ) C. cos(sin x )

A. sin(cos x ) 解:因为 x ∈ 0,

D. cos(cos x )

2 π < cos x < 1 .于是有 ,所以 0 < sin x < 2 4

cos(sin x) > cos(cos x) ,

sin(sin x) < sin(cos x) .又因为 sin x + cos x = 2 sin( x + ) < 2 < ,即 cos x < sin x , 4 2 2
所以有

π

π

π

sin(cos x) < sin( sin x) = cos(sin x) .因此, cos(sin x) 最大. 2

π

应选 C.

3. (

已知椭圆 )

x2 4 3 + y 2 = 1 上一点A到左焦点的距离为 3 ,则点A到直线 x = 的距离为 4 3

A. 2 解:

B.

2(2 3 3) 3

C.

2(4 3 3) 3

D.

4 3 3 3

设左右焦点为 F1 , F2 ,则 AF1 + AF2 = 4 , AF1 = 3, AF2 = 4 3 .椭圆的离心率

为 e=

c 3 4 3 4 3 = .而 x = 即为右准线,由定义得,A到直线 x = 的距离等于 a 2 3 3
应选 C.

4 3 2(4 3 3) = . 3 3 2

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4.设非常值函数 f ( x ) ( x ∈ R ) 是一个偶函数,它的函数图像 y = f ( x) 关于直线 x = 该函数是 ( )

2 对称,则 2

A. 非周期函数

B.周期为

2 的周期函数 2

C. 周期为 2 的周期函数

D. 周期为 2 的周期函数

解:因为偶函数关于y轴对称,而函数图像 y = f ( x) 关于直线 x =

2 对称,则 2

f(

2 2 x) = f ( + x) , 2 2

即 f ( x + 2) = f (

2 2 +( + x)) = f ( x) = f ( x) .故该函数是周期为 2 的周期函数. 2 2
应选 C. )

5.

如果 f ( x ) = 1 log x 2 + log x2 9 log x3 64 ,则使 f ( x ) < 0 的 x 的取值范围为( A. 0 < x < 1 B. 1 < x <

8 3

C. 1 < x < +∞

D.

8 < x < +∞ 3

解:显然 x > 0 ,且 x ≠ 1 .

f ( x) = 1 log x 2 + log x2 9 log x3 64 = 1 log x 2 + log x 3 log x 4 = log x
要使 f ( x ) < 0 .当 x > 1 时,

3 x. 8

3 8 3 x < 1 ,即 1 < x < ;当 0 < x < 1 时, x > 1 ,此时无解. 8 3 8 8 由此可得, 使 f ( x ) < 0 的 x 的取值范围为 1 < x < . 应选 B . 3
设 f ( x ) = min 2 x + 4, x 2 + 1, 5 3 x ,则 max f ( x ) = ( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 应选 B .

6.

{

}

)

解: 作图比较容易得到 二,填空题 7.

max f ( x) = 2 .

已知平面上不共线的四点 O,A,B,C.若 OA 3OB + 2OC = 0 ,则

AB BC

=

.

解:因为 3OB = OA + 2OC ,所以 OB OA = 2(OC OB ) .于是有

AB = 2 BC .因此

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AB BC
8.

= 2.

答案为:

2.

已知数列 {an } ,a1 = 1 , 前n项部分和 Sn 满足 S n S n 1 S n 1 S n = 2 S n S n 1 , an = 则

.

解: S n S n 1 S n 1 S n = 2 S n S n 1

S n S n 1 ( S n S n 1 2) = 0

S n S n 1 = 2 S n = 2(n 1) + 1 = 2n 1 S n = (2n 1) 2 .
于是

an = S n S n 1 = (2n 1) 2 (2n 3) 2 = 8(n 1) ,( n > 1 ).
答案为:

n =1 1 an = . 8(n 1) n > 1

9.方程 16 sin π x cos π x = 16 x +

1 的解集合为 . x 1 1 解: 当 x > 0 时, 16 x + ≥ 8 ,( x = 取到等号). x 4 1 而 16 sin π x cos π x = 8sin 2π x ≤ 8 ,( x = + k , k ∈ Z 取到等号).于是有 当 x > 0 时, 4 1 1 方程只有一个解 x = .由于奇函数的性质,可知 x = 是方程的另一解. 4 4
故方程的解集合为 , .

1 4

1 4

10.今天是星期天,再过 2007 解: 2007
2007

2007

天后是星期

.

= (7 × 286 + 5)2007 = 7 M 1 + 52007 = 7 M 1 + 53669 = 7 M 1 + (7 × 17 + 6)669 = 7 M 2 + (7 1)669 = 7M 3 1 = 7M 4 + 6

其中 M 1 , M 2 , M 3 , M 4 均为正整数. 11.

因此答案为

星期六.

从1至 169 的自然数中任意取出3个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有

种. 解:若取出的3个数构成递增等比数列

a, aq, aq 2 ,则有 1 ≤ a < aq < aq 2 ≤ 169 .由此有

2 ≤ q ≤ 13 .当 q 固定时,使三个数 a, aq, aq 2 为整数的 a 的个数记作 N ( q) .由 aq 2 ≤ 169 ,

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知 N (q) 应 是

169 169 169 的 整 数 部 分 . N (2) = 2 = 42 , N (3) = 2 = 18 , N (4) = 10 , 2 q 2 3

N (5) = 6 , N (6) = 4 , N (7) = 3 , N (8) = 2 , N (9) = 2 , N (10) = N (11) = N (12) = N (13) = 1 .
因此,取法共有

N (1) + N (2) + + N (13) = 91 .
x y z

答案为 .

91 .

12. 整数 x > y > z ,且 2 + 2 + 2 = 4.625 ,则 x, y , z 分别为 解:方程两边同乘以8,得 2
x+3

+ 2 y +3 + 2 z +3 = 37 . 因为 x > y > z ,所以要使左边为奇
x+3

数,只有 2 z+3 = 1 ,即 z = 3 .则 2

+ 2 y +3 = 36 2 x +1 + 2 y +1 = 9 .要使左边为奇数,只有
答案为

2 y+1 = 1 ,即 y = 1 .从而有 2, 1, 3 .
三,解答题 13.

2 x+1 = 8 ,即 x = 2 .故有 x = 2, y = 1, z = 3 .

设P, Q为圆周 x 2 + y 2 = 1 上的两动点, 且满足与圆内一定点 A(0, ) , ∠PAQ = 使 求过P和Q的两条切线的交点 M 的轨迹.

1 2

π
2

,

解法一:连接 PQ,OM,由圆的切线性质知 OM ⊥ PQ ,且 PQ 与 OM 交点 E 为 PQ 的中 解法一 点. …………5 分 设 M ( x, y ) ,则 OM
2 2

= x + y , OE =
2 2

OP

OM

=

1
x + y2
2

.从而得到 E 点的坐标为

x y , 2 . 2 2 2 x +y x +y
分 由于 ∠PAQ =
2 2

…………10

π
2

,所以 EA = EP .又 EP = 1 OE

2

,于是有

1 OE = EA ,即有 1 1 x y 1 =( 2 )2 + ( 2 )2 2 2 2 x +y x +y x +y 2
2

………… 15

分 化简得

x2 + y2 +

4 8 y= . 3 3

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上述为以 0,



2 7 2 为半径的圆周. 为圆心, 3 3

…………20 分

解法二: 解法二 设P,Q的坐标为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) .由题意知,过P,Q的切线方程分别为

x1 x + y1 y = 1 x2 x + y2 y = 1
x12 + y12 = 1
2 2 x2 + y2 = 1

………… ① ………… ② ………… ③ ………… ④ ………… 5

分 由 PA ⊥ AQ ,得

1 1 x1 x2 + ( y1 )( y2 ) = 0 2 2
若①和②的交点仍记为 ( x, y ) ,由此得到

………… ⑤

y1 =
代入③和④,得

1 x1 x 1 x2 x , y2 = (y ≠0) y y

………… 10 分

1 x1 x x + =1 y
2 1

2

( x 2 + y 2 ) x12 + 2 x1 x = y 2 1

1 x2 x x + =1 y
2 2

2

2 ( x 2 + y 2 ) x2 + 2 x2 x = y 2 1

联立上述两式,即得
2 ( x 2 + y 2 ) x12 ( x 2 + y 2 ) x2 = 2 x( x1 x2 )

………… 15 分

因为 x1 ≠ x2 ,所以 ( x + y )( x1 + x2 ) = 2 x ,即 x1 + x2 =
2 2

2x . x + y2
2

同理可得 y1 + y2 =

2y .于是有 x + y2
2

( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 )
2

2

=

4 x + y2
2

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x1 x2 + y1 y2 + 1 =
再由⑤式,推出 x1 x2 + y1 y2 由上可得,

2 x + y2
2

1 1 ( y1 + y2 ) + = 0 . 2 4 2 y 3 2 = . 2 2 x +y x +y 4
2

即有

x2 + y2 +
上述为以 0,

4 8 y= . 3 3
…………20 分



2 7 2 为半径的圆周. 为圆心, 3 3

当 y = 0, x = ±

8 时,也符合题设所求的轨迹. 3

14. 设 f ( x, y , z ) = sin 2 ( x y ) + sin 2 ( y z ) + sin 2 ( z x ) ,x, y , z ∈ R , f ( x, y , z ) 的最大值. 求 解: f ( x, y , z ) = sin 2 ( x y ) + sin 2 ( y z ) + sin 2 ( z x )

1 = [1 cos 2( x y ) + 1 cos 2( y z ) + 1 cos 2( z x)] 2


…………5

=

3 1 [(cos 2 x cos 2 y + sin 2 x sin 2 y ) + (cos 2 y cos 2 z + sin 2 y sin 2 z )] 2 2 1 (cos 2 z cos 2 x + sin 2 z sin 2 x) …………10 2


=

3 1 [(cos 2 x + cos 2 y + cos 2 z ) 2 + (sin 2 x + sin 2 y + sin 2 z ) 2 3] 2 4

3 3 9 + = , …………15 分 2 4 4 π 2π 3π 9 当x= ,y= ,z = 时,上式可以取到等号.故函数 f ( x, y , z ) 的最大值是 . 3 3 3 4 ≤
…………20 分 15. 设

∑ xi = 1, xi > 0 ,求证: n∑ xi2 ∑
i =1

n

n

( xi x j )2 xi + x j

≤1.

i =1

i< j

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n

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证明:因为

∑ xi = 1 ,所以有 ∑ xi2 + 2∑ xi x j = 1 .又 xi > 0 ,故有 xi + x j < 1 .
i =1

n

i =1

i< j

…………10 分 于是有

n∑ xi2 ∑
i =1 i< j

n

( xi x j ) 2 xi + x j

≤ n ∑ xi2 ∑ ( xi x j )2
i =1 n i< j

n

= n∑ xi2 (n 1)∑ xi2 + 2∑ xi x j
i =1 i =1 i< j

n

= ∑ xi2 + 2∑ xi x j = 1.
i =1 i< j

n

得证.

…………20 分

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