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1.3.2 函数的极值与导数 课件(人教A版选修2-2)


1.3.2 函数的极值与导数

1.求函数 f(x)= x3 +3x2 - 24x - 20 的单调区间. 2 ? 解:f (x)= 3x +6x - 24 = 3(x +4)(x - 2),
有没有搞错, 令 f?(x)= 0, 得临界点 x1 = -4, x你记住了 2 = 2. 吗? 怎么这里没有填上?
区间 f ’(x) f(x) (-∞,-4) -4 0 (-4,2) 2 0 (2,+∞)

+

-

+

f(x)在(-∞,-4), (2,+∞)内单调递增, ff(x) ′(x)>0 在(-4,(x+4)(x-2)>0 2)内单调递减. x<-4或x>2 f′(x)<0 (x+4)(x-2)<0 -4<x<2 求导数—求临界点—列表—写出单调性

还记得高台跳水的例子吗?

h

最高点

h(t)=-4.9t2+6.5t+10

o

a

t

2.跳水运动员在最高处附近的情况:

在 t=a 附近, h(t) 先增后减, h ′(t)先正后负, (1) 当 t=a 时运动员距水面高度最大, 那么下面图象的最高点 h(a)代表什么意义呢? (2) 当 t<a 时 h(t) 的单调性是怎样的呢? 导数的符号有什么变化规律? (3) 当连续变化,于是有 t>a时h(t)的单调性是怎样的呢? h这就是本节课研究的重点——函数的极值 ′ (t) h ′(a)=0,f(a)最大. h(t)在此点的导数是多少呢?

h

最高点

h?(a)=0 单调递增 h ?(t)>0 单调递减 h ?(t)<0

h(t)=-4.9t2+6.5t+10 o a t + t<a - t=a

t>a

1.探索并应用函数极值与导数的关系求函数

极值.(重点)
2.利用导数信息判断函数极值的情况.(难点)

探究点 函数的极值与导数 如图 3.3 -10 和图 3.3 -11,函数 y = f ? x ? 在
a ,b ,c ,d ,e ,f ,g ,h等点的函数值与这些点附近 的函数值有什么关系?y = f ? x ? 在这些点的导数 值是多少?在这些点附近,y = f ? x ?的导数的符号 有什么规律?
y

y ? f ?x ?

y

y ? f ?x ?

a o b
x

c d

e f

o

g

h

x

图3.3 -10

图3.3 -11

以a,b两点为例,我们可以发现, 函数 y = f ? x ? 在 点x = a的函数值f ? a ?比它在点 x = a 附近其他 点的函数值都小 ,f? ? a ? = 0;而且在点 x = a 附 近的左侧f? ? x ? < 0,右侧f? ? x ? > 0.

类似地, 函数 y = f ? x ? 在点x = b的函数值f ? b ?比它 在点 x = b 附近 其他点的函数 值都大 ,f? ? b ? = 0; 而且在点 x = b 附近的左侧f? ? x ? > 0,右侧f? ? x ? < 0.

我们把点a叫做函数y = f ? x ?的极小值点 , f ? a ? 叫做函数y = f ? x ?的极 小 值 ;

点b叫做函数y = f ? x ?的极大值点 ,f ? b ? 叫做 函数y = f ? x ?的极 大 值 ;

极小值点、极大值点统称为极 值 点 .极大值和 极小值统称为 极 值 ? extreme value ? .
极值反映了函数在某一点附近的大小情况,刻画 的是函数的局部性质.

1 3 例 求函数 f ? x ? = x - 4x + 4 的极值. 3
1 3 解 因 为 f ? x ? = x - 4x + 4,所以 3 ' 2 f ? x ? = x - 4 = ? x - 2 ?? x + 2 ? .

令 f ? x ? = 0,得 x = 2,或 x = -2 .
'

下面分两 种情况讨论 :

? 1 ? 当 f ? x ? > 0,即 x > 2,或 x < -2 时 ;
'

? 2 ? 当 f ? x ? < 0,即 - 2 < x < 2 时 .
'

当 x 变 化 时 ,f ? x ? ,f ? x ? 的 变 化 情 况 如 下 表 :
'

x f' ? x ?

? -∞,-2?
+

-2 0 28 3

? -2,2?
单调递减

2 0 4 3

?2,+∞?
+ 单调递增

f ? x ? 单调递增

因此,当x = -2时,f ? x ? 有极大 28 值,并且极大值为f ? -2? = ; 3 当x = 2时,f ? x ? 有极小值,并且

y

1 3 f ? x ? ? x ? 4x ? 4 3

o
?2

2

x

4 极小值为f ?2? = - . 图3.3 ? 12 3 1 3 函数f ? x ? = x - 4x + 4的图象如图3.3 - 12所示. 3

注意 :极大值 不一定大于极小值 .

思考

导 数 值 为 0的 点 一 定 是 函 数 的 极 值 点 吗 ?

导数值为 0 的点不一定是函数的极值点 .例如, 对于函数 f ? x ? = x 3 ,我们有 f? ? x ? = 3x 2 .虽然 f ' ? 0 ? = 0, 但由于无论 x > 0 ,还是 x < 0 ,恒有 f? ? x ? > 0 ,即函数 f ? x ? = x 3是单调递增的,所以x = 0不是函数f ? x ? = x 3 极值点.一般地,函数 y = f ? x ? 在一点的导数值为 0是 函数 y = f ? x ? 在这点取极值的必要条件,而非充分条件.

总结提升 求可导函数f(x)极值的步骤:

(1) 确定函数的定义域; (2)求导数f′(x);
(3)求方程f′(x) =0的根; (4)把定义域划分为部分区间,并列成表格

检查f′(x)在方程根左右的符号—— ?如果左正右负(+ ~ -), 那么f(x)在这个根处取得极大值;
?如果左负右正(- ~ +), 那么f(x)在这个根处取得极小值;

一般地,求函数y = f ? x ?的极值的方法是:
解方程f? ? x ? = 0.当f? ? x 0 ? = 0 时 : (1 ) 如果在x 0附近的左侧f? ? x ? > 0,右侧f? ? x ? < 0, 那么f ? x 0 ? 是极大值;

(2)如果在x0附近的左侧f? ? x ? < 0,右侧f? ? x ? > 0, 那么f ? x0 ? 是极小值 .

1.下面说法正确的是 B . A.可导函数必有极值 B.可导函数在极值点的导数一定等于零 C.函数的极小值一定小于极大值 (设极小值、极大值都存在) D.函数的极小值(或极大值)不会多于一个

注意: 函数极值是在某一点附近的小区间内定义的, 是局部性质.因此一个函数在其整个定义区间上可能 有多个极大值或极小值,并对同一个函数来说,在 某一点的极大值也可能小于另一点的极小值.

2.函数y=f(x)的导数y′与函数值和极值之间的关系 为 ( D ) A.导数y′由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值

B.导数y′由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值
C.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值

3 2 2 在 函数 x ? 1 时有极值10,则 f ( x ) ? x ? ax ? bx ? a 3.

a,b的值为( C ) A. a ? 3, b ? ?3 或 a ? ?4, b ? 11 B. a ? ?4, b ? 1 或 a ? ?4, b ? 11 C. a ? ?4, b ? 11 D. 以上都不对

? f (1) ? 10 解:由题设条件得: ? / ? f (1) ? 0

?1 ? a ? b ? a 2 ? 10 ?? ? 3 ? 2a ? b ? 0

解之得

?a?3 ? a ? ?4 或? ? ? b ? ? 3 ? b ? 11

注意代 入检验

通过验证,a=3,b=3时,不合题意. 注意:f′(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件.

4.已知函数f(x)= ax 3 + bx 2 + cx在点x 0处取得 极大值5,其导函数y = f '(x)的图象(如图)过点 (1,0)( , 2,0), 求:(1) x 0的值;(2)a,b,c的值;
解:(1)由图象可知:x 0 ? 1

( a ? 0) (2) f '( x)=3ax 2 ? 2bx ? c    f (1) ? a ? b ? c ? 5
? 2b ' - ? 3 f ( 1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ? ? 3a 或 ' ? f ( 2 ) ? 12a ? 4b ? c=0 ? c ?2 ? ? 3a

.

解 得 a ? 2, b ? ? 9, c ? 12

注意数 形结合

极值定义
2个关键

①可导函数y=f(x)在极值点处的f′(x)=0 .
②极值点左右两边的导数必须异号.

3个步骤
①确定定义域

②求f′(x)=0的根 ③并列成表格 用方程f′(x)=0的根,顺次将函数的定义域 分成若干个开区间,并列成表格由f′(x)在方程 根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况.

我以为挫折、磨难是锻炼意志、增强能力 的好机会. ——邹韬奋


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