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【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题1 高考客观题常考知识 第4讲 算法、推理及创新性问题 理


第4讲

算法、推理及创新性问题

以命题的推广给出的归纳、类比创新问题 【教师备用】 (2015 福建省泉州五校高三联考)双曲线 - =1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1,F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围 为(1,3].若将其中的条件“|PF1|=2|PF2|”更换为“|PF

1|=k|PF2|,k>0 且 k≠1”,试经过合情 推理,得出双曲线离心率的取值范围是 . 解析 : 若 |PF1|=2|PF2|, 则双曲线离心率的取值范围为 (1,3], 区间前端点为 1, 后端点为 3= = .若将其中的条件“|PF1|=2|PF2|”更换为“|PF1|=k|PF2|,k>0 且 k≠1”,经过合情推

理,得出双曲线离心率的取值范围是(1,

].

答案:(1,

]

1.当 x∈R,|x|<1 时,有如下表达式: 1+x+x +?+x +?=
2 n

.

两边同时积分得: 从而得到如下等式:

1dx+

xdx+

x dx+?+

2

x dx+?=

n

dx,

1× + ×( ) + ×( ) +?+

2

3

×( ) +?=ln 2.

n+1

请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算: × + ×( ) +
2

×( ) +?+

3

×( ) =

n+1

.

解析:设 f(x)= x+

x+

2

x +?+

3

x ,

n+1

所以 f′(x)= +

x+ x +?+ x =(1+x) ,

2

n

n

1

所以 f( )=

(1+x) dx

n

=

·(1+x)

n+1

=

(1+ ) -

n+1

(1+0)

n+1

=

[( ) -1].

n+1

即 × +

×( ) +

2

×( ) +?+

3

×( ) =

n+1

[( ) -1].

n+1

答案:

[( ) -1]

n+1

以新定义给出的创新问题 2.(2015 安徽省“江淮十校协作体”第一次联考)设函数 f(x)的定义域为 D,若? x∈D,? y∈ D,使得 f(y)=-f(x)成立,则称函数 f(x)为“美丽函数”.下列所给出的五个函数: ①y=x ;②y=
2

;③f(x)=ln(2x+3);④y=2x+3;

⑤y=2sin x-1. 其中是“美丽函数”的序号有 . 解析:由题意知“美丽函数”即为值域关于原点对称的函数,容易判断仅有②③④符合题意. 答案: ②③④ 3.(2014 安徽卷)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件: (ⅰ)直线 l 在点 P(x0,y0)处与曲线 C 相切;(ⅱ)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,则称直 线 l 在点 P 处“切过”曲线 C. 下列命题正确的是 .(写出所有正确命题的编号) 3 ①直线 l:y=0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=x 2 ②直线 l:x=-1 在点 P(-1,0)处“切过”曲线 C:y=(x+1) ③直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=sin x ④直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=tan x ⑤直线 l:y=x-1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C:y=ln x 3 2 3 解析:①y=x ,y′=3x ,因此曲线 C 在点 P(0,0)处的切线为 y=0,结合函数 y=x 的图象知,满足 (ⅱ),故①正确. 2 ②直线 x=-1 为曲线 C:y=(x+1) 的对称轴,不是切线,故②不正确. ③y=sin x,y′=(sin x)′=cos x,因此,直线 l:y=x 在点 P(0,0)处与曲线 C 相切,结合图象 知满足(ⅱ),故③正确.

2

④y=tan x,y′=(tan x)′=(

)′=

,y′|x=0=1,曲线 C 在(0,0)处的切线为 y=x,由正切

函数图象知满足(ⅱ),故④正确. ⑤y=ln x,y′=(ln x)′= ,故曲线 C:y=ln x 在 P(1,0)处的切线为 y=x-1,但曲线 y=ln x 在 直线 y=x-1 的同侧,故⑤不正确. 综上知命题正确的是①③④. 答案:①③④ 【教师备用】 (2014 湖北卷)设 f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且 f(x)>0.对任意 a>0,b>0, 若经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线与 x 轴的交点为(c,0),则称 c 为 a,b 关于函数 f(x)的 平均数,记为 Mf(a,b).例如,当 f(x)=1(x>0)时,可得 Mf(a,b)=c= 平均数. (1)当 f(x)= (2)当 f(x)= ,即 Mf(a,b)为 a,b 的算术

(x>0)时,Mf(a,b)为 a,b 的几何平均数; (x>0)时,Mf(a,b)为 a,b 的调和平均数 .

(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 解 析 : 过 点 (a,f(a)),(b,-f(b)) 的 直 线 的 方 程 为 y-f(a)= (x-a), 令 y=0 得

c=

.

(1)令几何平均数

=

?

f(a)+

f(b)=bf(a)+af(b),可取 f(x)=

(x>0);

(2)令调和平均数

=

?

=

,可取 f(x)=x(x>0).

答案:(1)

(2)x(或(1)k1 程序框图

(2)k2x 其中 k1,k2 为正常数均可)

4.(2015 广州市一模)一算法的程序框图如图,若输出的 y= ,则输入的 x 的值可能为( C )

3

(A)-1

(B)0

(C)1

(D)5 的函数值求相

解析:该算法的程序框图是一条件结构,功能是已知分段函数 y=

应的自变量 x 的值.当 x>2 时 y=2 >4,若输出的 y= ,则 sin x= ,可得 x=1 时符合.故选 C. 【教师备用】 (2015 天津卷)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为 ( B )

x

(A)-10 (B)6 (C)14 (D)18 解析:执行程序:S=20,i=1,i=2,S=20-2=18;i=4,S=18-4=14;i=8,S=14-8=6,满足 i>5 的条件, 结束循环,输出 S 的值为 6,故选 B. 5.(2015 山西省高三名校联盟考试)利用如图所示的程序框图在平面直角坐标系上打印一系 2 列点,则打印的点落在函数 f(x)=x -x+2 的图象上的点的个数为( B )

4

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2 解析:运行该程序,第一次打印点为(-3,6),不在抛物线 y=x -x+2 上,x=-2,y=5,i=5,第二次打 2 印点为(-2,5),不在抛物线 y=x -x+2 上;x=-1,y=4,i=4,第三次打印点为 (-1,4), 在抛物线 2 2 y=x -x+2 上;x=0,y=3,i=3,第四次打印点为(0,3),不在抛物线 y=x -x+2 上;x=1,y=2,i=2,第 2 2 五次打印点为(1,2),在抛物线 y =x -x+2 上;x=2,y=1,i=1,第六次打印点为(2,1),不在抛物 2 2 线 y=x -x+2 上;x=3,y=0,i=0,程序停止运行,故打印的点落在抛物线 y=x -x+2 上的点的个数 为 2.故选 B. 6.(2014 重庆卷)执行如图所示的程序框图,若输出 k 的值为 6,则判断框内可填入的条件是 ( C )

(A)s>

(B)s>

(C)s>

(D)s>

解析:执行程序框图依次得 s= ,k=8;

s= × = ,k=7;

s= × = ,k=6,

此时不满足条件,结合选项知条件应为 s> .故选 C.

一、选择题 1.(2015 湖南衡阳市五校联考 )对于任意的两个实数对 (a,b)和(c,d)规定(a,b)=(c,d)当且 仅 当 a=c,b=d; 运 算 “ ? ” 为 :(a,b) ? (c,d)=(ac-bd,bc+ad), 运 算 “ ⊕ ” 为 :(a,b) ⊕ (c,d)=(a+c,b+d),设 p,q∈R,若(1,2)?(p,q)=(5,0),则(1,2)⊕(p,q)等于( A ) (A)(2,0) (B)(4,0) (C)(0,2) (D)(0,-4)

5

解析:由(1,2)?(p,q)=(5,0)得

?

所以(1,2)⊕(p,q)=(1,2)⊕(1,-2)=(2,0),故选 A. 【教师备用】 (2015 湖南卷 )执行如图所示的程序框图 .如果输入 n=3,则输出的 S 等于 ( B )

(A) (B) (C) (D)

解析:第一次循环,S=

,此时 i=2,不满足条件,继续第二次循环,S=

+

,此时 i=3,不满

足条件,继续第三次循环,S=

+

+

= [(1- )+( - )+( - )]= ,此时 i=4>3,退出循环,输

出 S 的值为 .故选 B. 2.(2014 福建卷 ) 在平面直角坐标系中 , 两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2) 间的“ L 距离”定义为 ||P1P2 =|x1-x2|+|y1-y2|,则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1,F2 的“L 距离”之和等于定值 (大于||F1F2 )的点的轨迹可以是( A )

解析:设 P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),c>0,则||F1F2|=2c,依题意,得||PF1|+||PF2|=2d(d 为常数 且 d>c),所以|x+c|+|y-0|+|x-c|+ |y-0|=2d,即|x+c|+|x-c|+2|y|=2d. ①当-c≤x≤c 时,x+c+c-x+2|y|=2d, 即 y=±(d-c); ②当 x<-c 时,-(x+c)+c-x+2|y|=2d,

6

即 x±y+d=0; ③当 x>c 时,(x+c)+x-c+2|y|=2d,即 x±y-d=0. 画出以上三种情形的图象,即可知选项 A 正确.故选 A. 3.(2015 福建卷)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为( C

)

(A)2

(B)1

(C)0

(D)-1

解析:执行程序:i=1,S=0;S=cos =0,i=2;S=0+cos π =-1,i=3;

S=-1+cos

=-1,i=4;S=-1+cos

=0,i=5;S=0+cos

=0,i=6,满足 i>5,退出循环,输出的结

果为 0,故选 C. 【教师备用】 (2014 广东卷)设集合 A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么 集合 A 中满足条件“1≤|x1|+|x2| +|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( D ) (A)60 (B)90 (C)120 (D)130 解析:由题意可知符合条件的元素中至少含有两个 0.按照 0 的个数分类计算. 当含有两个 0 时,先把 0 在五个位置中排好,有 种排法,剩下的三个数可以是 3 个-1;两个-1, 一个 1;一个-1 两个 1;3 个 1,共有 (1+ + +1)=80 个元素.当含有 3 个 0,先排 0 的位置,有 种排法,再对于剩下的两个数按照

两个-1;一个 1,一个-1;两个 1 来分类,共有 (1+ +1)=40 个.当含有 4 个 0 时,排好 0 的位 置之后,剩下的一个位置有两个选择,共有 · =10 个.根据分类加法计数原理,满足条件

的元素共有 130 个.故选 D. 【教师备用】 (2015 资阳市一诊)若执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为 3,则判断框中 应填入的条件是( C )

7

(A) k<6? (B) k<7? (C) k<8? (D) k<9? 解析:由程序框图可知,第一次循环,S=log23,k=3;第二次循环,S=log23·log34=log24,k=4;第 三次循环,S=log24·log45=log25,k=5;??;第六次循环,S=log28=3,k=8,结束循环,输出 S=3. 故选 C. 4.(2015 广东茂名市一模)设函数 y=f(x)在 R 上有定义,对于任一给定的正数 p,定义函数 fp(x)= 则称函数 fp(x)为 f(x)的 “p 界函数” .若给定函数 f(x)=x -2x-2,p=1,
2

则下列结论成立的是( C ) (A)fp[f(0)]=f[fp(0)] (B)fp[f(1)]=f[fp(1)] (C)fp [f(2)]=fp[fp(2)] (D)f[f(-2)]=fp[fp(-2)] 2 解析:由 f(x)≤1,即 x -2x-2≤1,解得-1≤x≤3, 当 p=1 时,f1(x)= f1(2)=2 -2×2-2=-2,f1(-2)=1, 2 f(2)=2 -2×2-2=-2,则 f1[f(2)]=f1(-2)=1, f1 [f1(2)]=f1(-2)=1,故选 C. 5.(2015 宝鸡二模 ) 已知函数 f(x)=[x[x]], 其中 [x] 表示不超过实数 x 的最大整数 , 如 [-1.01]=-2,[1.99]=1,若- ≤x< ,则 f(x)的值域为( B (A){0,1,2} (C){-2,-1,0} (B){0,1,2,3} (D){-1,0,1,2} )
2

解析:- ≤x<-1 时,[x]=-2,2<x[x]≤3, 所以 f(x)可取 2,3; -1≤x<0 时,[x]=-1,0<x[x]≤1, 所以 f(x)可取 0,1; 0≤x<1 时,[x]=0,x[x]=0, 所以 f(x)=0; 1≤x< 时,[x]=1,1≤x[x]< ,

8

所以 f(x)=1. 所以 f(x)的值域为{0,1,2,3}. 故选 B. 6.(2015 漳州二模)对于定义域为 D 的函数 y=f(x)和常数 C,若对任意正实数ξ ,存在 x∈D, 使得 0<|f(x)-C|<ξ 恒成立,则称函数 y=f(x)为“敛 C 函数”.现给出如下函数: ①f(x)=x(x∈Z); ②f(x)=( ) +1(x∈Z);③f(x)=log2x; ④f(x)= 其中为“敛 1 函数”的有( C ) (A)①② (B)③④ (C)②③④ (D)①②③ 解析:对于函数①,取ξ = ,因为 x∈Z,找不到 x,使得 0<|x-1|< 成立,所以函数①不是“敛 1 函数”; 对于函数②,当 x→+∞时,( ) →0,所以( ) +1→1,所以对任意的正数ξ ,总能找到一个足够 大的正整数 x,使得 0<|f(x)-1|<ξ 成立,故函数②是“敛 1 函数”; 对于函数③,当 x→2 时,log2x→log22=1,所以对于无论多大或多小的正数ξ ,总会找到一个 x,使得 0<|f(x)-1|<ξ 成立,故函数③是“敛 1 函数”; 对于函数④,函数式可化为 y=1- ,所以当 x→+∞时, →0,即 1- →1,所以对于无论多小的正 数ξ ,总会找到一个足够大的正数 x,使得 0<|f(x)-1|<ξ 成立,故函数④是“敛 1 函数”. 故选 C. 二、填空题 7.(2014 福建卷)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系: ①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的 个数是 . 解析:因为①正确时,②也正确,所以只有①正确是不可能的;若只有②正确,①③④都不正确, 则符合条件的有序数组为(2,3,1,4),(3,2,1,4);若只有③正确,①②④都不正确 ,则符合条 件的有序数组为 (3,1,2,4); 若只有④正确 , ①②③都不正确 , 则符合条件的有序数组为 (2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上,符合条件的有序数组的个数是 6. 答案:6 【教师备用】 (2015 安徽皖北协作区一模)已知集合 A={(x,y)| |x|+2|y| ≤ 4}, 集 合 B={(x,y)|(x-m) +y ≤ }, 若 B ? A, 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 . 解析:由题意,集合 A 中元素构成一个菱形及其内部,集合 B 中元素构成一个圆及圆的内部, 如图,因为 B? A,
2 2 x x x

.

9

所以圆在菱形内部,故只需圆心到菱形边所在的直线的距离大于或等于半径即可, 即 ≥ ,解得 m≥-2 或 m≤-6(舍去).

由对称性可知 m≤2,所以实数 m∈[-2,2]. 答案:[-2,2] 【教师备用】 (2015 河南三市第二次调研)集合 A={(x,y)|x-y+4≥0},B={(x,y)|y≥x(x-2)}, 则集合 A∩B 的所有元素组成的图形的面积为 . 解析:

如图,集合 A∩B 的所有元素组成的图形的面积为

[(x+4)-x(x-2)]dx=

(-x +3x+4)dx=(- x + x +4x)| =

2

3

2

.

答案: 8.观察下列等式: 2 1 =1, 2 2 1 -2 =-3, 2 2 2 1 -2 +3 =6, 2 2 2 2 1 -2 +3 -4 =-10, ? 照此规律,第 n 个等式可为

.
2 2 2 2 n+1 2 n+1

解析:观察规律可知,第 n 个式子为 1 -2 +3 -4 +?+(-1) n =(-1)

.

答案:1 -2 +3 -4 +?+(-1) n =(-1)

2

2

2

2

n+1 2

n+1

10

【教师备用】 (2015 福建卷)一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 x1x2?xn(n∈N ),其中 xk(k=1,2,?,n)称为第 k 位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元 错误(即码元由 0 变为 1,或者由 1 变为 0). 已知某种二元码 x1x2?x7 的码元满足如下校验方程组: 其中运算⊕定义为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0. 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101,那么利用 上述校验方程组可判定 k 等于 . 解析:因为 x4⊕x5⊕x6⊕x7=1⊕1⊕0⊕1=0⊕0⊕1=0⊕1=1≠0,所以二元码 1101101 的前 3 位码 元都是对的;因为 x2⊕x3⊕x6⊕x7=1⊕0⊕0⊕1=1⊕0⊕1=1⊕1=0,所以二元码 1101101 的第 6,7 位码元也是对的;因为 x1⊕x3⊕x5⊕x7=1⊕0⊕1⊕1=1⊕1⊕1=0⊕1=1≠0,所以二元码 1101101 的第 5 位码元是错的,所以 k=5. 答案:5 3 2 【教师备用】 (2015 济宁市二模)对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0),定义 f″(x)是 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的导函数,若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0))为函数 y=f(x)的“拐点”.可以证明,任何三次函数 都有“拐点”,任何三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.请你根据这一结论判 断下列命题: ①存在有两个及两个以上对称中心的三次函数; ②函数 f(x)=x -3x -3x+5 的对称中心也是函数 y=tan x 的一个对称中心; ③存在三次函数 h(x),使方程 h′(x)=0 有实数解 x0,且点(x0,h(x0))为函数 y=h(x)的对称中 心; ④若函数 g(x)= x - x - ,则 g(
3 2 3 2

*

)+g(

)+g(

)+?+ g(

)=-1006.5.

其中正确命题的序号为 (把所有正确命题的序号都填上). 2 解析:①f′(x)=3ax +2bx+c(a≠0),f″(x)=6ax+2b(a≠0),则方程 f″(x)=0 只有一个实数解,即不存在有两个及两个以上对称中心的三次函数; 2 ②f′(x)=3x -6x-3,f″(x)=6x-6,方程 f″(x)=0 只有一个实数解 x0=1,f(x0)=0,则函数 f(x) 的对称中心是(1,0),而(1,0) 也是函数 y=tan x 的一个对称中心; ③设三次函数 h(x)=x ,h′(x)=3x ,方程 h′(x)=0 有实数解 x0=0,h(x0) =0,则(0,0) 也是函 3 数 h(x)=x 的对称中心; ④g′(x)=x -x,g″(x)=2x-1,方程 g″(x)=0 只有一个实数解 x0= ,g(x0)=- ,则函数 g(x)的
2 3 2

对称中心是( ,- ),g(x)+g(1-x)=2g(x0)=-1,

11

则 g(

)+g(

)+g(

)+?+g(



=g(

)+g(

)+g(

)+g(

)+g(

)+g(

)+?+g(

)+g(



+g(



=-1006.5. 故正确命题的序号为②③④. 答案:②③④

12


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