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选修2-3 2.3.1离散型随机变量的均值和方差


2.3.1 离散型 随机变量的均值

问题情景

18元/kg

24元/kg

36元/kg

按3:2:1的比例混合,混合糖果 中每一粒糖果的质量都相等. 定价为混合糖果的平均价格才合理

情景探究

按3:2:1混合以下糖果

X

18 18元/kg 24 36
3 6

24元/kg

36元/kg

P

2 6

1 平均价格为 m千克混合糖果的总价格为 6 3 2 1

1 8 ? 3 m ? 2 4 ? 2 m ? 33 6?? 1m ? 24 ? m ? 6 m 6 6 66 6 6 m 3 ? 18 ? ? 24 ? 2 ? 36 ? 1 ? 23元 / kg . 6 6 6

E ? X ? ? 18 ? P ? X ? 18 ? ? 24 ? P ? X ? 24 ? ? 36 ? P ? X ? 36 ?

均值(数学期望)定义 一般地,若离散型随机变量 X 的概率分布为 X
P
x1

x2

x3 ? ? ?

xn

p1

p2

p3 ? ? ? pn

则 称 E ? X ? ? x 1 ? p1 ? x 2 ? p 2 ? ? ? x n ? p n 为 随 机 变 量 X 的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量 取值的平均水平.

随机变量均值的线性性质 已知随机变量X,其均值为E(X). 若Y=aX+b,其 中a,b为常数,则Y也是随机变量.并且随机变量 Y的均值为:E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 例如 随机抛掷一个骰子,求所得骰子的点数X的 均值. X 1 2 3 4 5 6 P
1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6

定义随机变量Y=2X+1,求E(Y). Y P 3
1 6

5
1 6

7
1 6

9
1 6

11
1 6

13
1 6

随机变量X的分布列为: X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … p k … pn 随机变量Y=aX+b的分布列为:

X ax1+b P p1

ax2+b p2

… …

axk+b pk

… …

axn+b pn

随机变量Y的数学期望是:
E ( Y ) ? ( a x 1 ? b ) p 1 ? ( a x 2 ? b ) p 2 ? ... ? ( a x n ? b ) p n ? a ( x 1 p 1 ? x 2 p 2 ? ... ? x n p n ) ? b ( p 1 ? p 2 ? ... ? p n ) ? aE ( X ) ? b.

温故知新 X=1或X=0 在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他罚球1 次的得分X的均值是多少?

X 1 0 P 0.7 0.3
E ( X ) ? 1 ? 0.7 ? 0 ? 0.3 ? 0.7 .

P(X=1)=0.7

那么他罚球100次的得分X的均值是多少?

深入探究 一般地,如果随机 变量X服从两点分 布,那么E(X)=? X P 0 1- p 1 p

E ( X ) ? 1 ? p ? 0 ? (1 ? p ) ? p .

若X服从两点分布,则E(X)=p.

深入探究 如果X~B(n,p),那么 E(X)=?
P ( X ? k ) ? Cn p ?1 ? p ?
k k n? k
n

( k ? 0,,, n) 1 2 …,
n pC n?1 p
k ?1 k ?1

E(X ) ?

?

n

kC n p q
n?1 k

k

k

n?k

?

k?0
k

?

q

n ?1? ( k ?1)

k ?1

? n p ? C n?1 p q
k?0

n ?1? k

? np.

这 里 用 到 kC n ? n C n ? 1 , 请 自 己 证 明 .
k

k ?1

若X~B(n,p),则E(X)=np.

各种不同概率模型下的数学期望 若X~B(1,p) 若X~B(n,p) 若X~H(N ,M , n) 则E(X) =p 则E(X)=np
nM 则E(X)= N

例题讲解 例1 甲、乙两名射手射击的环数为两个相互独立 的随机变量X与Y,且X ,Y的分布列为: X 1 2 3 P 0.3 0.1 0.6

Y P

1 2 3 0.3 0.4 0.3

问:甲、乙两名射手谁的射击水平高?
解: E ( X ) ? 1 ? 0.3 ? 2 ? 0.1 ? 3 ? 0.6 ? 2.3 ;
E (Y ) ? 1 ? 0.3 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.3 ? 2.0 .

所以,甲射手比乙射手的射击水平高.

离散型随机变量的方差定义 设在一组数据x1,x2 ,…, xn中,各数据与它们的 平均数的差的平方的平均值是:
1 ? ( x ? x )2 ? ( x ? x )2 ? ? ? ( x ? x ) 2 ? S ? ? 1 2 n ? n
2

叫做这组数据的方差.

方差说明了这组数据的波动情况.

离散型随机变量的方差定义 对于离散型随机变量X的概率分布如下表:
X x1 x2 … xn

P

p1

p2



pn

(xi- E(X))2 描述了xi (i=1,2,…,n)相对于均值 E(X)的偏离程度,故 (x1-E(X))2 p1+ (x2-E(X))2 p2+...+ (xn-E(X))2pn (其中pi≥0,i=1,2,…,n;p1+p2+…+pn=1) 称为离散型随机变量X的方差,记为D(X). 其算术平方根为X的标准差: D( X ) 记为? ( X ).

随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值 的稳定与波动,集中与分散的程度.

定义深析 随机变量的方差和样本的方差有何联系和区别? 例1 甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天 加工的零件相等,所得次品数分别是? 、? ,分布 列如下: 甲工人: 乙工人:

?
P

0 0.4

1 0.2

2 0.4

?
P

0 0.1

1 0.8

2 0.1

试求随机变量? 、? 的期望和方差.

例题讲解 例2 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击, 分布列如下表: 射手甲 射手乙 击中环数?1 8 9 10 击中环数?2 8 9 10 0.2 0.6 0.2 0.4 0.2 0.4 概率p 概率p 用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射 击水平. 解: E ( ? 1 ) ? 9 , ( ? 1 ) ? 0.4 ; E ( ? 2 ) ? 9 , ( ? 2 ) ? 0.8 . D D 从上可知, (?1 ) ? E (? 2 ) , (?1 ) ? D(? 2 ) . 所以,在射 E D 击之前,可以预测甲、乙两名射手所得环数的平 均值很接近,均在9环左右,但射手甲所得的环数 比较集中,得9环较多,而射手乙所得环数比较分 散,得8环和10环的次数要多些.

公式推广
D( X ) ? ? ( xi ? E ( X )) pi
2 i ?1 n

重要结论:

? ( x1 ? E ( X )) p1 ? ( x2 ? E ( X )) p2 ? ? ? ( xn ? E ( X )) pn
2 2 2

(1) 对 于 X 取 各 个 值 的 概 率 相 同 时 , 2 1 x 2 ? x 2 ? ? ? x 2 ? x2; D?x? ? s ? ? 1 ? 2 n ? ? n

( 2 ) D ( aX ? b ) ? a D ( X ) ;
2

(3)若X ~ B ? 1 , ?,则 D( X ) ? p(1 ? p); p (4) 若X ~ B ? n , ?,则 D( X ) ? np(1 ? p) . p

例题讲解 例2 一次单元测验由20个选择题构成,每个选择 题有4个选项,其中仅有一个选项正确. 每题选对 得5分,不选或选错不得分,满分100分. 学生甲 选对任意一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对 每题都从各选项中随机地选择一个. 分别求学生 甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.

可设甲、乙两学生做对题的个数分别为X1 、 X2.

例2 一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个 选项,其中仅有一个选项正确. 每题选对得5分,不选或 选错不得分,满分100分. 学生甲选对任意一题的概率为 0.9,学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择 一个. 分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.

解:设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了 正确答案的选择题个数分别是X1 和 X2, 则X1~B(20,0.9), X2 ~B(20,0.25), 所以E (X1)=20×0.9=18, E(X2 ) =20×0.25=5. 由于答对每题得5分,学生甲和学生乙在这次英语 测验中的成绩分别是5 X1和5 X2.所以,他们在测 验中的成绩的期望分别是E(5 X1)=5E(X1)=5×18 =90, E(5 X2)=5E(X2)=5×5=25. 答: 甲、乙同学得分的期望分别是90分和25分.

方法与步骤 求离散型随机变量均值的步骤:

① 确定离散型随机变量可能的取值;
② 写出分布列,并检查分布列的正确与否; ③ 求出均值.

例题讲解 例3 一年中一辆车受损的概率为0.03. 现保险公司 拟开设一年期租车保险,假定一辆车一年的保费 为1000元,若在一年内该车受损, 则保险公司需 赔偿3000元. 一年内,一辆车保险公司平均收益 多少?

分析:设保险公司平均收益为X. 则X的分布列为:
X P ?2000 1000 0.03 0.97

E ( X ) ? ? 2000 ? 0.03 ? 1000 ? 0.97 ? 910.

答:一辆车保险公司平均收益910元.

小试身手 1. 现要发行10000张彩票,其中中奖金额为2元的 彩票1000张,10元的彩票300张,50元的彩票100 张,100元的彩票50张,1000元的彩票5张. 问1张 彩票可能中奖的均值是多少元?

2. 在只需回答“是”与“不是”的知识竞赛时, 每个选手回答两个不同问题,都回答失败,输1分, 否则赢0.3分. 用 X表示甲的得分,如果甲随机猜 测“是”与“不是”,计算X 的数学均值.

能力展现

遇大洪水损失60000元 遇小洪水损失10000元 有大洪水的概率为0.01 有小洪水的概率为0.25

大型设备

方案1:运走设备运费为3800;
方案2:建保护围墙,建设费2000元,但围墙只能 防小洪水; 方案3:不采取措施.

试比较哪一种方案好?

2.3.2 离散型随机变量 的 方 差

情景引例 例1 甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天 加工的零件相等,所得次品数分别是? 、? ,分布 列如下: 甲工人: 乙工人:

?
P

0 0.4

1 0.2

2 0.4

?
P

0 0.1

1 0.8

2 0.1

E(? ? = E (?? =1 那么甲、乙两人的技术水平相同吗?

离散型随机变量的方差定义 设在一组数据x1,x2 ,…, xn中,各数据与它们的 平均数的差的平方的平均值是:
1 ? ( x ? x )2 ? ( x ? x )2 ? ? ? ( x ? x ) 2 ? S ? ? 1 2 n ? n
2

叫做这组数据的方差.

方差说明了这组数据的波动情况.

离散型随机变量的方差定义 对于离散型随机变量X的概率分布如下表:
X x1 x2 … xn

P

p1

p2



pn

(xi- E(X))2 描述了xi (i=1,2,…,n)相对于均值 E(X)的偏离程度,故 (x1-E(X))2 p1+ (x2-E(X))2 p2+...+ (xn-E(X))2pn (其中pi≥0,i=1,2,…,n;p1+p2+…+pn=1) 称为离散型随机变量X的方差,记为D(X). 其算术平方根为X的标准差: D( X ) 记为? ( X ).

随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值 的稳定与波动,集中与分散的程度.

定义深析 随机变量的方差和样本的方差有何联系和区别? 例1 甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天 加工的零件相等,所得次品数分别是? 、? ,分布 列如下: 甲工人: 乙工人:

?
P

0 0.4

1 0.2

2 0.4

?
P

0 0.1

1 0.8

2 0.1

试求随机变量? 、? 的期望和方差.

公式推广
D( X ) ? ? ( xi ? E ( X )) pi
2 i ?1 n

重要结论:

? ( x1 ? E ( X )) p1 ? ( x2 ? E ( X )) p2 ? ? ? ( xn ? E ( X )) pn
2 2 2

(1) 对 于 X 取 各 个 值 的 概 率 相 同 时 , 2 1 x 2 ? x 2 ? ? ? x 2 ? x2; D?x? ? s ? ? 1 ? 2 n ? ? n

( 2 ) D ( aX ? b ) ? a D ( X ) ;
2

(3)若X ~ B ? 1 , ?,则 D( X ) ? p(1 ? p); p (4) 若X ~ B ? n , ?,则 D( X ) ? np(1 ? p) . p

例题讲解 例2 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击, 分布列如下表: 射手甲 射手乙 击中环数?1 8 9 10 击中环数?2 8 9 10 0.2 0.6 0.2 0.4 0.2 0.4 概率p 概率p 用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射 击水平. 解: E ( ? 1 ) ? 9 , ( ? 1 ) ? 0.4 ; E ( ? 2 ) ? 9 , ( ? 2 ) ? 0.8 . D D 从上可知, (?1 ) ? E (? 2 ) , (?1 ) ? D(? 2 ) . 所以,在射 E D 击之前,可以预测甲、乙两名射手所得环数的平 均值很接近,均在9环左右,但射手甲所得的环数 比较集中,得9环较多,而射手乙所得环数比较分 散,得8环和10环的次数要多些.

例题讲解 例3 袋中有4只红球,3只黑球,今从袋中随机取 出4只球. 设取到一只红球得2分,取到一只黑球 得1分,试求得分? 的分布列,数学期望E(? ?,方 差D (? ?.

例题讲解 例4 每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次,现规 定一旦命中即停止该轮练习,否则一直试投到4次 为止.已知一选手的投篮命中率为0.7,求一轮练习 中该选手的实际投篮次数? 的分布列,并求出? 的 期望E(? ?与方差D(? ?和标准差 ? ?? ?. 例5 将一枚硬币抛掷10次,求正面次数与反面次 数之差 ? 的概率分布,并求出 ? 的期望E(? ? 与方 差D (? ? .


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