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2013届北京市石景山高三统一测试理科数学


北京市石景山区 2013 届高三统一测试

数学(理)试题
本试卷共 150 分, 考试时长 120 分钟, 请务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效. 考 试结束后上交答题卡.

第Ⅰ卷 (选择题共 40 分)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项

. 1.设集合 M= {x|x2≤4) ,N={x|log2 x≥1},则 M ? N 等于( ) A. [-2,2] B.{2} C.[2,+ ? ) D. [-2,+ ? ) 2 2.若复数(a-i) 在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上,则实数 a 的值是( ) A. 1 B.-1 C. 2 D.- 2

3.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 m,第二次出现的点数 为 n,向量 p =(m,n) q =(3,6) , ,则向量 p 与 q 共线的 概率为( )

??

?

??

?

1 3 1 C. 6
A.

1 4 1 D. 12
B. )

4.执行右面的框图,输出的结果 s 的值为( A.-3 B.2 C. ?

1 2

D.

1 3

5. 如图,直线 AM 与圆相切于点 M, ABC 与 ADE 是圆的两条割 线,且 BD⊥AD,连接 MD、EC。则下面结论中,错误的结 .. 论是( ) A.∠ECA = 90o B.∠CEM=∠DMA+∠DBA C.AM2 = AD· AE D.AD· = AB· DE BC 6.在(2x2-

1 5 ) 的二项展开式中,x 的系数为( x



A.-10 B.10 C.-40 D.40 7. 对于直线 l: y=k (x+1)与抛物线 C: 2= 4x, 1 是直线 l 与抛物线 C 有唯一交点的( y k=± 条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要

)

8.若直角坐标平面内的两点 p、Q 满足条件:①p、Q 都在函数 y=f(x)的图像上;②p、 Q 关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(注:点对[P, Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”) . 已知函数 f(x)= ? A. 0

?1og 2 x( x ? 0)
2 ?? x ? 4 x( x ? 0)

,则此函数的“友好点对”有( C.2

)对. D. 3

B. 1

第Ⅱ卷 (非选择题共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9 . 直 线 2p sin ? =1 与 圆 ? =2 cos ? 相 交 弦 的 长 度 为 10.在△ABC 中,若∠B= 。

? ,b= 2a ,则∠C= 4



11.在等差数列{an}中,al=-2013,其前 n 项和为 Sn,若 则 S2013 的值等于 。

S12 S10 ? =2, 12 10

12.某四棱锥的三视图如图所示, 则最长的一条侧棱长度是



13.如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2, BC =2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在

AF BF 边 CD 上,若 AB · = 2 ,则 AE · 的值是____

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?



14.对于各数互不相等的整数数组(i1,i2,i3,…,in)(n 是不小于 3 的正整 数) ,若对任意的 p,q∈{1,2,3,…,n},当 p<q 时有 ip>iq,则称 ip, iq 是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,如数 组(2,3,1)的逆序数等于 2.则数组(5,2,4,3,1)的逆序数等于 ;若数 组(i1,i2,i3,…,in)的逆序数为 n,则数组(in,in-l…,i1)的逆序数为 . 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=sin(2x+

? )+cos 2x. 6
? 3 ,a=2,B= , 3 2

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间。 (Ⅱ)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 f(A)= 求△ABC 的面积.

16. (本小题满分 13 分) PM2.5 指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级:在 35 微克/立方米~75 微克/立方 米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超标. 石景山古城地区 2013 年 2 月 6 日至 I5 日每天的 PM2.5 监测数据如茎叶图所示. (Ⅰ)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天 PM2.5 日均监测数据未超标的概 率; (Ⅱ)小王在此期间也有两天经过此地,这两天此地 PM2.5 监测数据均未超标.请计 算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率; (Ⅲ)从所给 10 天的数据中任意抽取三天数据,记 ? 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的 天数,求 ? 的分布列及期望.

17. (本小题满分 14 分) 如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90o,PD⊥平面 ABCD,AD =1,AB= 3 ,BC =4。 (I)求证:BD⊥PC; (II)求直线 AB 与平面 PDC 所成的角; (Ⅲ)设点 E 在棱 PC 上, PE ? ? PC ,若 DE∥平面 PAB,求 ? 的值.

??? ?

??? ?

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=ax-1-1n x,a ? R. (I)讨论函数 f(x)的单调区间: (II)若函数 f(x)在 x=l 处取得极值,对 ? x∈(0,+ ? ) ,f(x)≥bx-2 恒成立,

求实数 b 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 设椭圆 C:

x2 y 2 ? =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,上顶点为 A,在 x 轴负 a 2 b2

半轴上有一点 B,满足 BF ? F F2 ,且 AB⊥AF2. 1 1 (I)求椭圆 C 的离心率; (II)若过 A、B、F2 三点的圆与直线 l:x ? 3 y ? 3 =0 相切,求椭圆 C 的方程; (Ⅲ)在(II)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点, 线段 MN 的中垂线与 x 轴相交于点 P(m,O) ,求实数 m 的取值范围。

????

???? ?

20. (本小题满分 13 分) 给定有限单调递增数列{xn}(n∈N*,n≥2)且 xi≠0(1≤ i ≤n) ,定义集合 A={(xi,xj) * |1≤i,j≤n,且 i,j∈N }.若对任意点 A1∈A,存在点 A2∈A 使得 OA1⊥OA2(O 为坐 标原点) ,则称数列{xn}具有性质 P。 (I)判断数列{xn}:-2,2 和数列{yn}:-2,-l,1,3 是否具有性质 P,简述理由。 (II)若数列{xn}具有性质 P,求证: ①数列{xn}中一定存在两项 xi,xj 使得 xi+xj =0: ②若 x1=-1, xn>0 且 xn>1,则 x2=l。 (Ⅲ)若数列{xn}只有 2013 项且具有性质 P,x1=-1,x3 =2,求{xn}的所有项和 S2013.


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