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高中数学 (1.2集合间的基本关系)示范教案 新人教A版必修1


1.1.2

集合间的基本关系
整体设计

教学分析 课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,通过类比实数间的大小关系 引入集合间的关系,同时,结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时,课本注重体 现逻辑思考的方法,如类比等. 值得注意的问题:在集合间的关系教学中,建议重视使用 Venn 图,这有助于学生通

过体会直 观图示来理解抽象概念;随着学习的深入,集合符号越来越多,建议教学时引导学生区分一些 容易混淆的关系和符号,例如∈与?的区别. 三维目标 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高 利用类比发现新结论的能力. 2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用 Venn 图表达集合的关系,加强学生从具体 到抽象的思维能力,树立数形结合的思想. 重点难点 教学重点:理解集合间包含与相等的含义. 教学难点:理解空集的含义. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.实数有相等、 大小关系,如 5=5,5<7,5>3 等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之 间有什么关系呢?(让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生) 欲知谁正确,让我们一起来观察、研探. 思路 2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填空:(1)0N;(2)2Q;(3)-1.5R. 类比实数的大小关系 , 如 5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢? ( 答案: (1)∈;(2)?;(3)∈) 推进新课 新知探究 提出问题 (1)观察下面几个例子: ①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}; ②设 A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B 为这个班学生的全体组成的集合; ③设 C={x|x 是两条边相等的三角形},D={x|x 是等腰三角形}; ④E={2,4,6},F={6,4,2}. 你能发现两个集合间有什么关系吗? (2)例子①中集合 A 是集合 B 的子集,例子④中集合 E 是集合 F 的子集,同样是子集,有什么区 别? (3)结合例子④,类比实数中的结论:“若 a≤b,且 b≤a,则 a=b”,在集合中,你发现了什么结 论? (4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内 ,从楼顶向下看,每 位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合 还能用什么表示?

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(5)试用 Venn 图表示例子①中集合 A 和集合 B. (6)已知 A?B,试用 Venn 图表示集合 A 和 B 的关系. 2 (7)任何方程的解都能组成集合,那么 x +1=0 的实数根也能组成集合,你能用 Venn 图表示这 个集合吗? (8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应 该如何命名呢? (9)与实数中的结论“若 a≥b,且 b≥c,则 a≥c”相类比,在集合中,你能得出什么结论? 活动:教师从以下方面引导学生: (1)观察两个集合间元素的特点. (2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果 A ? B,但存在 x∈B,且 x ? A,我们称集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A). (3)实数中的“≤”类比集合中的 ? . (4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合 中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲 线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图. (5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制. (6)分类讨论:当 A ? B 时,A
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B 或 A=B.

(7)方程 x +1=0 没有实数解. (8)空集记为 ? ,并规定:空集是任何集合的子集,即 ? ? A;空集是任何非空集合的真子集, 即 ? A(A≠ ? ). (9)类比子集. 讨论结果: (1)①集合 A 中的元素都在集合 B 中; ②集合 A 中的元素都在集合 B 中; ③集合 C 中的元素都在集合 D 中; ④集合 E 中的元素都在集合 F 中. 可以发现:对于任意两个集合 A,B 有下列关系:集合 A 中的元素都在集合 B 中;或集合 B 中的 元素都在集合 A 中. (2)例子①中 A ? B,但有一个元素 4∈B,且 4 ? A;而例子②中集合 E 和集合 F 中的元素完全相 同. (3)若 A ? B,且 B ? A,则 A=B. (4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合. (5)如图 1121 所示表示集合 A,如图 1122 所示表示集合 B.

图 1-1-2-1 (6)如图 1-1-2-3 和图 1-1-2-4 所示.

图 1-1-2-2

图 1-1-2-3 (7)不能.因为方程 x +1=0 没有实数解.
2

图 1-1-2-4

2

(8)空集. (9)若 A ? B,B ? C,则 A ? C;若 A 应用示例 思路 1 1.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用 A 表示合格产品的集 合,B 表示重量合格的产品的集合,C 表示长度合格的产品的集合.已知集合 A、 B、 C 均不是空 集. (1)则下列包含关系哪些成立? A ? B,B ? A,A ? C,C ? A. (2)试用 Venn 图表示集合 A、B、C 间的关系. 活动:学生思考集合间的关系以及 Venn 图的表示形式.当集合 A 中的元素都属于集合 B 时, 则 A ? B 成立,否则 A ? B 不成立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生以 下两点: (1)重量合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定重量合格; 长度合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定长度合格. (2)根据集合 A、B、C 间的关系来画出 Venn 图. 解:(1)包含关系成立的有:B ? A,C ? A. (2)集合 A、B、C 间的关系用 Venn 图表示,如图 1-1-2-5 所示. B,B C,则 A C.

图 1-1-2-5 变式训练 课本 P7 练习 3. 点评:本题主要考查集合间的包含关系.其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么. 判断两个集合 A、 B 之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合 A、 B 中的元素,再分析集合 A、 B 中的元素之间的关系,得:当集合 A 中的元素都属于集合 B 时,有 A ? B;当集合 A 中的元素 都属于集合 B,当集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A 时,有 A B;当集合 A 中的元素都属 于集合 B,并且集合 B 中的元素也都属于集合 A 时,有 A=B;当集合 A 中至少有一个元素不属于 集合 B,并且集合 B 中至少有一个元素也不属于集合 A 时,有 A B,且 B A,即集合 A、 B 互不 包含. 2.写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集. 活动: 学生思考子集和真子集的定义,教师提示学生空集是任何集合的子集,一个集合不是其 本身的真子集.按集合{a,b}的子集所含元素的个数分类讨论. 解:集合{a,b}的所有子集为 ? ,{a},{b},{a,b}.真子集为 ? ,{a},{b}. 变式训练 2007 山东济宁一模,1 已知集合 P={1,2},那么满足 Q ? P 的集合 Q 的个数是( ) A.4 B.3 C.2 2 分析:集合 P={1,2}含有 2 个元素,其子集有 2 =4 个, 又集合 Q ? P,所以集合 Q 有 4 个. D.1

答案:A 点评: 本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个

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数来写出一个集合的所有子集,这样可以避免重复和遗漏. 思考:集合 A 中含有 n 个元素,那么集合 A 有多少个子集?多少个真子集? 0 解:当 n=0 时,即空集的子集为 ? ,即子集的个数是 1=2 ; 1 当 n=1 时,即含有一个元素的集合如{a}的子集为 ? ,{a},即子集的个数是 2=2 ; 当 n=2 时 , 即含有一个元素的集合如 {a,b} 的子集为 ? ,{a},{b},{a,b}, 即子集的个数是 2 4=2 . ?? n 集合 A 中含有 n 个元素,那么集合 A 有 2 个子集,由于一个集合不是其本身的真子集,所以集 n 合 A 有(2 -1)个真子集. 思路 2 2 1.2006 上海高考,理 1 已知集合 A={-1,3,2m-1},集合 B={3,m }.若 B ? A,则实数 m=_______. 活动:先让学生思考 B ? A 的含义,根据 B ? A,知集合 B 中的元素都属于集合 A,集合元素的 2 2 互异性,列出方程求实数 m 的值.因为 B ? A,所以 3∈A,m ∈A.对 m 的值分类讨论. 2 2 2 解:∵B ? A,∴3∈A,m ∈A.∴m =-1(舍去)或 m =2m-1.解得 m=1.∴m=1. 答案:1 2 点评:本题主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互异性.本题容易出现 m =3,其原因 是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得 m 的值后,再代入验证. 讨论两集合之间关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或 解不等式. 变式训练 已知集合 M={x|2-x<0},集合 N={x|ax=1},若 N M,求实数 a 的取值范围. 分析:集合 N 是关于 x 的方程 ax=1 的解集,集合 M={x|x>2}≠ ? ,由于 N M,则 N= ? 或 N≠ ? , 要对集合 N 是否为空集分类讨论. 解:由题意得 M={x|x>2}≠ ? ,则 N= ? 或 N≠ ? . 当 N= ? 时,关于 x 的方程 ax=1 中无解,则有 a=0;

1 1 1 ,又∵N M,∴ ∈M.∴ >2. a a a 1 1 ∴0<a< . 综上所得 , 实数 a 的取值范围是 a=0 或 0<a< , 即实数 a 的取值范围是 2 2 1 {a|0≤a< } 2 2.(1)分别写出下列集合的子集及其个数: ? ,{a},{a,b},{a,b,c}.
当 N≠ ? 时,关于 x 的方程 ax=1 中有解,则 a≠0,此时 x= (2)由(1)你发现集合 M 中含有 n 个元素,则集合 M 有多少个子集? 活动: 学生思考子集的含义,并试着写出子集.(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集;(2) 由(1)总结当 n=0,n=1,n=2,n=3 时子集的个数规律,归纳猜想出结论. 答案:(1) ? 的子集有: ? ,即?有 1 个子集; {a}的子集有: ? 、{a},即{a}有 2 个子集; {a,b}的子集有: ? 、{a}、{b}、{a,b},即{a,b}有 4 个子集; {a,b,c}的子集有: ? 、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}、{a,b,c},即{a,b,c}有 8 个 子集. 0 (2)由(1)可得:当 n=0 时,有 1=2 个子集; 1 当 n=1 时,集合 M 有 2=2 个子集; 2 当 n=2 时,集合 M 有 4=2 个子集; 3 当 n=3 时,集合 M 有 8=2 个子集;

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因此含有 n 个元素的集合 M 有 2 个子集. 变式训练 已知集合 A {2,3,7},且 A 中至多有一个奇数,则这样的集合 A 有??( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 分析:对集合 A 所含元素的个数分类讨论. A= ? 或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有 6 个. 答案:D 点评:本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力.集合 M 中含有 n 个元素, n n 则集合 M 有 2 个子集,有 2 -1 个真子集,记住这个结论,可以提高解题速度.写一个集合的子 集时,按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象. 知能训练 课本 P7 练习 1、2. 【补充练习】 1.判断正误: (1)空集没有子集. ( ) (2)空集是任何一个集合的真子集. ( ) (3)任一集合必有两个或两个以上子集. ( ) (4)若 B ? A,那么凡不属于集合 A 的元素,则必不属于 B. ( ) 分析:关于判断题应确实把握好概念的实质. 解:该题的 5 个命题,只有(4)是正确的,其余全错. 对于(1)、(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集. 对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集. 对于(4)来讲,当 x∈B 时必有 x∈A,则 x ? A 时也必有 x ? B. 2.集合 A={x|-1<x<3,x∈Z},写出 A 的真子集. 分析:区分子集与真子集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有 n 个元素的子集有 n n-1 2 个,真子集有 2 个,则该题先找该集合元素,后找真子集. 解:因-1<x<3,x∈Z,故 x=0,1,2, 即 a={x|-1<x<3,x∈Z}={0,1,2}. 真子集: ? 、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2},共 7 个. 3.(1)下列命题正确的是 ( ) A.无限集的真子集是有限集 B.任何一个集合必定有两个子集 C.自然数集是整数集的真子集 D.{1}是质数集的真子集 (2)以下五个式子中,错误的个数为 ( ) ①{1}∈{0,1,2} ②{1,-3}={-3,1} ③{0,1,2} ? {1,0,2} ④ ? ∈{0,1,2} ⑤ ? ∈{0} A.5 B.2 C.3 (3)M={x|3<x<4},a=π ,则下列关系正确的是 D.4 ( )

n

A.a M B.a ? M C.{a}∈M D.{a} M 分析:(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢,必须对概念把握准确, 无限集的真子集有可能是无限集,如 N 是 R 的真子集,排除 A;由于 ? 只有一个子集,即它本身, 排除 B;由于 1 不是质数,排除 D. (2)该题涉及到的是元素与集合,集合与集合的关系.

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①应是{1} ? {0,1,2},④应是 ? ? {0,1,2},⑤应是 ? ? {0}. 故错误的有①④⑤. (3)M={x|3<x<4},a=π . 因 3<a<4,故 a 是 M 的一个元素. {a}是{x|3<x<4}的子集,那么{a} M. 答案:(1)C (2)C (3)D 4.判断如下集合 A 与 B 之间有怎样的包含或相等关系: (1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z}; (2)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}. 解:(1)因 A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z},故 A、B 都是由奇数构成的,即 A=B. (2)因 A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}, 又 x=4n=2·2n, 在 x=2m 中,m 可以取奇数,也可以取偶数;而在 x=4n 中,2n 只能是偶数. 故集合 A、B 的元素都是偶数.但 B 中元素是由 A 中部分元素构成,则有 B 点评:此题是集合中较抽象的题目.要注意其元素的合理寻求. 5.已知集合 P={x|x +x-6=0},Q={x|ax+1=0}满足 Q 2 解:因 P={x|x +x-6=0}={2,-3}, 当 a=0 时,Q={x|ax+1=0}= ? ,Q 又当 a≠0 时,Q={x|ax+1=0}={ ? 综上所述,a=0 或 a= ? P 成立.
2

A.

P,求 a 所取的一切值.

1 1 1 1 1 },要 Q P 成立,则有 ? =2 或 ? =-3,a= ? 或 a= . 3 a a a 2

1 1 或 a= . 3 2
P.
2

点评:这类题目给的条件中含有字母,一般需分类讨论.本题易漏掉 a=0,ax+1=0 无解,即 Q 为空集的情况,而当 Q= ? 时,满足 Q
2

6.已知集合 A={x∈R|x -3x+4=0},B={x∈R|(x+1)(x +3x-4)=0},要使 A 集合 P. 2 解:由 A={x∈R|x -3x+4=0}= ? , 2 B={x∈R|(x+1)(x +3x-4)=0}={-1,1,-4}, 由 A?P ? B 知集合 P 非空,且其元素全属于 B,即有满足条件的集合 P 为

P ? B,求满足条件的

{1}或{-1}或{-4}或{-1,1}或{-1,-4}或{1,-4}或{-1,1,-4}. 点评:要解决该题,必须确定满足条件的集合 P 的元素,而做到这点,必须明确 A、B,充分把 握子集、真子集的概念,准确化简集合是解决问题的首要条件. 7.设 A={0,1},B={x|x ? A},则 A 与 B 应具有何种关系? 解:因 A={0,1},B={x|x ? A}, 故 x 为 ? ,{0},{1},{0,1},即{0,1}是 B 中一元素.故 A∈B. 点评:注意该题的特殊性,一集合是另一集合的元素. 8.集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}, (1)若 B ? A,求实数 m 的取值范围; (2)当 x∈Z 时,求 A 的非空真子集个数; (3)当 x∈R 时,没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)当 m+1>2m-1 即 m<2 时,B= ? 满足 B ? A. 当 m+1≤2m-1 即 m≥2 时,要使 B ? A 成立,

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需?

?m ? 1 ? 2m ? 1, 可得 2≤m≤3.综上所得实数 m 的取值范围 m≤3. ?m ? 1 ? 5

(2)当 x∈Z 时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}, 所以,A 的非空真子集个数为 2 上标 8-2=254. (3)∵x∈R,且 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成 立. 则①若 B≠ ? 即 m+1>2m-1,得 m<2 时满足条件; ②若 B≠ ? ,则要满足条件有: ?

?m ? 1 ? 2m ? 1, ?m ? 1 ? 2m ? 1, 或? 解之,得 m>4. ?m ? 1 ? 5 ?2m ? 1 ? ?2

综上有 m<2 或 m>4. 点评:此问题解决要注意:不应忽略 ? ;找 A 中的元素;分类讨论思想的运用. 拓展提升 问题:已知 A ? B,且 A ? C,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合 A 共有多少 个? 活动:学生思考 A ? B,且 A ? C 所表达的含义.A ? B 说明集合 A 是集合 B 的子集,即集合 A 中元素属于集合 B,同理有集合 A 中元素属于集合 C.因此集合 A 中的元素是集合 B 和集合 C 的公共元素. 思路 1:写出由集合 B 和集合 C 的公共元素所组成的集合,得满足条件的集合 A; 思路 2:分析题意,仅求满足条件的集合 A 的个数,转化为求集合 B 和集合 C 的公共元素所组 成的集合的子集个数. 解 法 一 : 因 A ? B,A ? C,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8}, 由 此 , 满 足 A ? B, 有: ? ,{0},{1},{2},{3},{4}, {0,1},{0,2},{2,3},{2,4},{0,3},{0,4},{1,2},{1,3},{1,4},{3,4},{0,2,4},{0,1,2},{0, 1,3},{0,1,4},{1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{0,3,4},{0,1,2,3},{1,2,3,4},{0,1,3,4},{0,2 5 ,3},{1,3,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4},{0,1,2,3,4},共 2 =32(个). 又 满 足 A C 的 集 合 A ? 有: ? ,{0},{2},{4},{8},{0,2},{0,4},{0,8},{2,4},{2,8},{4,8},{0,2,4}, 4 {0,2,8},{0,4,8},{2,4,8},{0,2,4,8},共 2 =16(个). 其中同时满足 A ? B,A ? C 的有 8 个: ? ,{0},{2},{4},{0,2},{0,4},{2,4},{0,2,4},实际上 到此就可看出,上述解法太繁. 解法二:题目只求集合 A 的个数,而未让说明 A 的具体元素,故可将问题等价转化为 B、C 的 3 公共元素组成集合的子集数是多少.显然公共元素有 0、2、4,组成集合的子集有 2 =8(个). 点评: 有关集合间关系的问题,常用分类讨论的思想来解决;关于集合的子集个数的结论要熟 练掌握,其应用非常广泛. 课堂小结 本节课学习了: ①子集、真子集、空集、Venn 图等概念; ②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集,进一步确定其是否是真子集; ③清楚两个集合包含关系的确定,主要靠其元素与集合关系来说明. 作业 课本 P11 习题 1.1A 组 5. 设计感想

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本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知,在实际教学中, 要留给学生适当的思考时间,使学生自己通过类比得到正确结论.丰富学生的学习方式、 改进 学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念,学生的数学学习活动不能仅限于对概念、 结论和技能的记忆、模仿和接受,独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学 生学习数学的重要方式.

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