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2015年全国高中数学联赛模拟试题02


2015 全国高中数学联赛模拟试题 02 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.在如下图所示的正方体 ABCD ? A B C D 中,
' ' ' '

二面角 A ? BD ? C 等于
' '

(用反三角函数表示)

2.如果三角形 ?

ABC 的三个内角 A, B, C 满足

cot A, cot B, cot C 依次成等差数列,则角 B 的最大值是
3.实数列 ?an ?满足条件: a1 ? 则通项公式 an ? 4. F1 , F2 是椭圆

2 n ? 1, a2 ? 2 ? 1, an?1 ? an?1 ? ? 2(n ? 2) , 2 an ? an?1 (n ? 1) 。

x2 y2 ? ? (a ? b ? 0) 的两个焦点, P 为椭圆上任意一点,如果 ?PF1 F2 的面积为 1 , a 2 b2

1 , tan ?PF2 F1 ? ?2, 则 a ? 2 5.在同一直角坐标系中, 函数 f ( x) ? ax ? 4 (a ? 0) 与其反函数 f ?1 ( x) 的图像恰有三个不同的交点, 则实数 a 的取值范围是 tan ?PF1 F2 ?
6. 已知正实数 a1 , a2 ,?, an 与非负实数 b1 , b2 ,?, bn 满足(1) a1 ? a2 ? ? ? an ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? n ; (2) a1a2 ? an ? b1b2 ? bn ?

?b b b ? 1 ,则 a1a2 ? an ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 的最大值为__________. an ? 2 ? a1 a2

7. 已知 20 块质量为整数克的砝码可称出 1, 2,?, 2014 克的物品, 砝码只能放在天平一端,则最大砝码质量最小值为________________克. 8.设 g ( x) ?

x(1? x) 是定义在区间 ?0,1? 上的函数,则函数 y ? xg( x) 的图像与 x 轴所围成图形的面积是

二、简答题(本大题共 3 小题,共 56 分) 9.(16 分)设数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 组成的数列满足

Sn ? Sn?1 ? Sn?2 ? 6n2 ? 9n ? 7(n ? 1) ,已知 a1 ? 1, a2 ? 5, 求数列 ?an ?的通项公式。

10.(20 分)设 x1, x2, x3, 是多项式方程 x ? 10x ? 11 ? 0 的三个根。
3

(1)已知 x1, x2, x3, 都落在区间 (?5,5) 之中,求这三个根的整数部分; (2)证明: arctan x1 ? arctan x2 ? arctan x3 ?

?
4

x2 ? y 2 ? 1, A(?2,0), B(0,?1) 是 椭 圆 ? 上 的 两 点 , 直 线 11.( 20 分 ) 如 下 图 , 椭 圆 ? : 4 l1 : x ? ?2, l2 : y ? ?1.P( x0 , y0 )(x0 ? 0, y0 ? 0) 是 ? 上的一个动点,l3 是过点 P 且与 ? 相切的直线,C, D, E
分别是直线 l1 与 l 2 , l 2 与 l3 , l1 与 l3 的交点, 求证:三条直线 AD, BE 和 CP 共点。

2015 全国高中数学联赛模拟试题 02 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.在如下图所示的正方体 ABCD ? A B C D 中,二面角 A ? BD ? C 等于
' ' ' ' ' '

解: arccos

2.如果三角形 ?ABC 的三个内角 A, B, C 满足 cot A, cot B, cot C 依次成等差数列,则角 B 的最大值是

1 3

? .记 x ? cot A, y ? cot B, z ? cot C ,则 2 y ? x ? z .由于 x, y, z 至多一个负数,故 y ? 0 , 3 xy ? 1 且 ? ? z .即 xy ? yz ? zx ? 1 .消去 z 后,得到 x2 ? 2 xy ? (1 ? 2 y 2 ) ? 0 ,方程有实根, x? y
解:

? ? 3 即 B ? 且 A ? B ? C ? 时等号成立 3 3 3 2 n (n ? 1) 3.实数列 ?an ?满足条件: a1 ? ? 1, a2 ? 2 ? 1, an?1 ? an?1 ? ? 2(n ? 2) ,则 an ? 2 an ? an?1 n ? 1 .计算前几项可以猜出结果,再用数学归纳法可以证明. 解: 2 x2 y2 4. F1 , F2 是椭圆 2 ? 2 ? (a ? b ? 0) 的两个焦点, P 为椭圆上任意一点,如果 ?PF 1 F2 的面积为 1 , a b 1 tan ?PF1 F2 ? , tan ?PF2 F1 ? ?2, 则 a ? 2 1 15 解: .不妨假定 F , F2 P 的斜率为 k2 ? 2 , 1 (?c,0), F 2 (c,0)(c ? 0), 设 P( x0 , y0 ) .则 F 1 P 的斜率为 k1 ? 2 2 5 4 4 2 3 因此 x0 ? c ? 2 y0 , y0 ? 2( x0 ? c) 解得 x0 ? c, y0 ? c, 又 S△PF1F2 =cy0 ? c ? 1 ,所以 c ? , 3 3 3 2 5 3 2 3 15 点 P( , ) .从而 2a ? PF1 ? PF2 ? 15 ,所以 a ? 6 3 2 5.设 g ( x) ? x(1 ? x) 是定义在区间 ?0,1? 上的函数,则函数 y ? xg( x) 的图像与 x 轴所围成图形的面积是
所以 △ ? 12 y 2 ? 4 ? 0 ,故 cot B ? y ?

6. 已知正实数 a1 , a2 ,?, an 与非负实数 b1 , b2 ,?, bn 满足(1) a1 ? a2 ? ? ? an ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? n ; (2) a1a2 ? an ? b1b2 ? bn ?

?b b b 1 ,则 a1a2 ? an ? 1 ? 2 ? ? ? n an 2 ? a1 a2

? ? 的最大值为__________. ?

? ? a1 ? b1 ? ? ? a2 ? b2 ? ? ? ? ? an ? bn ? ? 1 解: .由均值不等式知: ? a1 ? b1 ?? a2 ? b2 ?? ? an ? bn ? ? ? ? ? 1, 2 n ? ?
n

于是 a1a2 ?an ? b1b2 ?bn ? ?b1a2a3 ?an ? a1b2a3 ?an ??? a1a2a3 ?bn ? ? 1, 即 a1a2 ? an ?

? b1 b2 b ? 1 ? ? ? ? n ? ? 1 ? ? a1a2 ? an ? b1b2 ?bn ? ? . an ? 2 ? a1 a2 1 取 a1 ? a2 ? ? ? an ? 1, b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? 0, bn ? 满足条件,且取到最大值. 2 7. 已知 20 块质量为整数克的砝码可称出 1, 2,?, 2014 克的物品,砝码只能放在天平一端,则最大砝码质量
最小值为________________克. 解: 147.设这 20 块砝码质量为 a1 ? a2 ? ? ? a20 .首先用归纳法证明: ak ? 2k ?1 (k ? 11) . (1) 当 k ? 1 时,显然, (2) 设结论对 k ? 1, 2,?, n 成立, 若 an?1 ? 2n (n ? 10) , 则由 a1 ? a2 ? ?? an ? 1 ? 2 ? ?? 2n?1 ? 2n ?1知 2 克的物品无法称量,矛盾!于是, a1 ? a2 ? ? ? a8 ? 1 ? 2 ? ?? 27 ? 255 , 所以 a9 ? a10 ? ? ? a20 ? 2014 ? 255 ? 1759 , 所以 a20 ?
n

1759 ? 146 ,即 a20 ? 147 , 又当 ak ? 2k ?1 (k ? 8) , 12
?1

a9 ? a10 ? ? ? a20 ? 147 时,符合条件,故最小值为 147 克.
8.在同一直角坐标系中, 函数 f ( x) ? ax ? 4 (a ? 0) 与其反函数 f a 的取值范围是 则实数 ( x) 的图像恰有三个不同的交点,

二、简答题(本大题共 3 小题,共 56 分) 9.(16 分)设数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 组成的数列满足

Sn ? Sn?1 ? Sn?2 ? 6n2 ? 9n ? 7(n ? 1) ,已知 a1 ? 1, a2 ? 5, 求数列 ?an ?的通项公式。

10.(20 分)设 x1, x2, x3, 是多项式方程 x ? 10x ? 11 ? 0 的三个根。 (1)已知 x1, x2, x3, 都落在区间 (?5,5) 之中,
3

求这三个根的整数部分;(2)证明: arctan x1 ? arctan x2 ? arctan x3 ?

?
4

11. ( 20 分 ) 如 下 图 , 椭 圆 ? :

x2 ? y 2 ? 1, A(?2,0), B(0,?1) 是 椭 圆 ? 上 的 两 点 , 直 线 4 l1 : x ? ?2, l2 : y ? ?1.P( x0 , y0 )(x0 ? 0, y0 ? 0) 是 ? 上的一个动点,l3 是过点 P 且与 ? 相切的直线,C, D, E

分别是直线 l1 与 l 2 , l 2 与 l3 , l1 与 l3 的交点, 求证:三条直线 AD, BE 和 CP 共点。

解答三:利用赛瓦定理

2015 全国高中数学联赛模拟试题 02 一(本题满分 40 分) 对任意实数 a, b ,定义运算“ ? ”为: a ? b 设点集 A = {( x, y) | 0 ? x

[2a + b] .在直角坐标系中,

3, 0 ? y

2, ( 2 排x)

2 y = ( 2 排y)

2x} ,求 A 所对应的平面区域的面积.

二(本题满分 40 分) 如图,在 ?ABC 中, AB ? AC , H 为 ?ABC 的垂心, M 为边 BC 的中点,点 S 在边 BC 上且满足 ?BHM ? ?CHS,点 A 在直线 HS 上的射影为 P .证明: ?MPS 的外接圆与 ?ABC 的外接圆相切.
A P

H

C

S

M

B

三(本题满分 50 分) 2 2 2 2 整数 a, b, c, d 满足 ad ? bc ? 1 .求 a ? b ? c ? d ? ab ? cd ? ac ? bd ? bc 的最小值, 并求出一切达到最小值的四元数组 ? a, b, c, d ?

四(本题满分 50 分)

设整数 n ? 2 , G ? ?0,1,?, n ?1? , A, B ? G ,对 x ? G ,记 f AB ( x) 为满足 a ? b ? x(mod n) , a ? A , 证明:

b ? B 的数组 ( a, b) 的个数,类似定义 f AA ( x) , f BB ( x) .

?f
x?G

2
AB

( x) ? ? f AA ( x) ? f BB ( x) .
x?G

2015 全国高中数学联赛模拟试题 02 一(本题满分 40 分) 对任意实数 a, b ,定义运算“ ? ”为: a ? b 设点集 A = {( x, y) | 0 ? x

[2a + b] .在直角坐标系中,

3, 0 ? y

2, ( 2 排x)

2 y = ( 2 排y)

2x} ,求 A 所对应的平面区域的面积.

解:根据运算“ ? ”的定义, 2 ? x 为整数,进而

( 2 排x)

2 y = [2( 2 ? x)

2 y] = 2( 2 ? x) [2 y] = 2[2 2 + x] + [2 y]
① ②

= 2[ x] + 2[ y] + 2[2 2 + {x}] + [2{ y}] , { x }, { y } 其中 表示 x, y 的小数部分.同理可知 ( 2 排y)
比较①、②可知, ( 2 排x)

2x = 2[ y] + 2[ x] + 2[2 2 + { y}] + [2{x}] . 2 y = ( 2 排y) 2x 当且仅当 2[2 2 + {x}] + [2{y}] = 2[2 2 + { y}] + [2{x}] .

由于 [2{x}], [2{ y}] ? {0, 1} ,而 2[2 2 + {x}] 与 2[2 2 + { y}] 均是偶数,故上式成立的充分必要条件是

2[2 2 + {x}] = 2[2 2 + { y}] ,且 [2{x}] = [2{ y}] .
若 {x}, { y} ? [0, 3



2 2) ,则 [2{x}] = [2{ y}] = 0 , [2 2 + {x}] = [2 2 + { y}] = 2 . 1 若 {x}, { y} ? [3 2 2, ) ,则 [2{x}] = [2{ y}] = 0 , [2 2 + {x}] = [2 2 + { y}] = 3 . 2 1 若 {x}, { y} ? [ , 1) ,则 [2{x}] = [2{ y}] = 1 , [2 2 + {x}] = [2 2 + { y}] = 3 . 2 1 1 当 {x}, { y} 取自 [0, 3 - 2 2) 、 [3 - 2 2, ) 、 [ , 1) 中不同的区间时,③不成立. 2 2 {0, 1, 2}, n {0, 1} , 记 A ( m, n)= {(x , y ) | ( x , y ?) A , [ x ] m ,y [= ] n 对 m挝 ,} 则 根 据 上 述 讨论 知 , A (m, n) 所对应的平面区域面积
骣 骣 1 1 63 S (m, n) = ((3 - 2 2) - 0) + 珑 - (3 - 2 2)鼢 + 1= - 22 2 , 鼢 珑 鼢 珑 桫 桫 2 2 2 2 1 骣 63 22 2 ÷ 因此点集 A 所对应的平面区域面积为 邋 S (m, n) = 6 ?? ÷ ? ÷= 189 - 132 2 . ? 桫 2
2
m= 0 n = 0

2

2

二(本题满分 40 分) 如图,在 ?ABC 中, AB ? AC , H 为 ?ABC 的垂心, M 为边 BC 的中点,点 S 在边 BC 上且满足 ?BHM ? ?CHS,点 A 在直线 HS 上的射影为 P .证明: ?MPS 的外接圆与 ?ABC 的外接圆相切. 证明: 联接 AH 并延长交 ?ABC 的外接圆于点 D , 作 DE / / BC 与 ?ABC 的外接圆交于点 E , 易知 D, H 关于 BC 对称,故 ?HCB ? ?BCD ? ?CBE ,因此 CH / / BE ,由此推出 EB ? AB ,故 AE 为 ?ABC 外接 圆的直径.又由 CH ? CD ? EB , 结合 CH / / BE 知四边形 CHBE 为平行四边形, 所以 EH 过点 M .设 B?, C? 为 B, C 在 AC , BC 上的射影,延长 EH 交 ?ABC 的外接圆于点 Q , 由 ?AQH ? ?AQE ? 90 ? ?APH 得, A, Q, B?, H , C?, P 共圆,
?

以 AH 为直径.由 ?BHM ? ?CHS 有 ?B?HQ ? ?C ?HP , 所以 QB? ? PC ? (相等的圆周角所对弦长相等),故有 PQ / / B?C ? . 由 ?EAB ? ?B?C?A ? 90 ? ?AEB ? ?ACB ? 90 得, AE ? B?C ? , 所以 AE ? PQ ,结合 AQ ? QE 有 ?AQP ? ?AEQ ,由此推出 ?SDH ? ?SHD ? ?AHP ? ?AQP ? ?AEQ ? ?ADQ ? ?QDH , 所以点 Q, S , D 共线,由 ?QPS ? ?QPH ? ?QAH
? ?

? ?QAD ? ?QED ? ?QMS 得, P, Q, S , M 四点共圆 ? . 过点 Q 作 ?ABC 外接圆的切线,由 ?TQS ? ?TQD ? ?QED ? ?QMS 知, TQ 也是圆 ? 的切线,故 ?MPS 的外接圆与 ?ABC 的外接圆相切,证毕.

三(本题满分 50 分) 整数 a, b, c, d 满足 ad ? bc ? 1 .求 a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? ab ? cd ? ac ? bd ? bc 的最小值, 并求出一切达到最小值的四元数组 ? a, b, c, d ?

1? 2 2 2 2 a ? b ? ? ?c ? d ? ? ?a ? c ? ? ?b ? d ? ? ?bc . ? ? 2? (1) bc ? 0 ,则 ad ? 1 ? bc ? 0 ,故 b、c 同号, a、 d 同号.由于 f ? a, b, c, d ? ? f ? ?a, ?b, ?c, ?d ? ,故只须考
解:设原式 ? f ? a, b, c, d ? ,易知: f ? a, b, c, d ? ? 虑如下两种情况:(i) a, b, c, d ? 0 ; (ii) a, d ? 0 ; b, c ? 0 . 对于(i),由 a ? b ? 1 ? b , c ? d ? c ? 1 知:

?b ? c ? ?1 ? b ? c ? 2 . 1 2 2 f ? a, b, c, d ? ? ?? b ? 1? ? ? c ? 1? ? ? bc ? ? ? 2 2 对于(ii),由 a ? c ?? c ? 1, b ? d ? b ? 1 知:
2 2 2 ?b ? c ? ? b ? c ? 1 ? 2 . 1 f ? a, b, c, d ? ? ?? c ? 1? ? ? b ? 1? ? ? bc ? ? 2? 2 bc ? 0 ad ? 1 a ? d ? ? 1 b ? 0 (2) .则 ,所以 .若 ,则 1? 2 1 2 2 2 2 f ? a, b, c, d ? ? a ? ? c ? d ? ? ? a ? c ? ? d 2 ? ? 1 ? ?? c ? 1? ? ? c ? 1? ? ? 2 ,等号成立当且仅当 c ? 0 . ? ? 2? 2? 2

同理,若 c ? 0 ,则 f ? a, b, c, d ? ? 2 ,等号成立当且仅当 b ? 0 .

(3) bc ? 0 . 此 时 , 若 bc ? ?3 , 则 f ? a, b, c, d ? ? 3 . 若 bc ? ?2 , 则 f ? a, b, c, d ? ? 2 , 取 等 号 时 有

a ? ?b ? c ? ?d .但此时 b2 ? 2 ,与 b 为整数矛盾!故等号取不到. 若 bc ? ?1 ,则 ad ? 0 , f ? a, b, c, d ? ? 1,取等号时有 a ? ?b ? c ? ? d .但 ad ? 0 , bc ? ?1 ,这不可能!
故 f ? a, b, c, d ? ? 2 ,取等号时, ? a ? b ? ? ? a ? c ? ? ? c ? d ? ? ? b ? d ? ? 2 .
2 2 2 2

2 2 由 bc ? ?1 知 : b ? c ? 1 . 由 ad ? 0 知 , a, d 中必有 0 . 若 a ? 0 , 则 b ? ?c ? d ,故 ? a, b, c, d ? ? ? 0,1, ?1,1?

或 ? 0, ?1,1, ?1? .同理,若 d ? 0 ,则 a ? ?b ? c , ? a, b, c, d ? ? ?1, ?1,1,0? 或 ? ?1,1, ?1,0? . 综上所述, f ? a, b, c, d ? 最小值为 2 ,取等号当且仅当 ? a, b, c, d ? 为

?0,1, ?1,1? , ?0, ?1,1, ?1? , ?1, ?1,1,0? , ? ?1,1, ?1,0? , ?1,0,0,1?, ? ?1,0,0, ?1? 之一.
四(本题满分 50 分) 设整数 n ? 2 , G ? ?0,1,?, n ?1? , A, B ? G ,对 x ? G ,记 f AB ( x) 为满足 a ? b ? x(mod n) , a ? A , 证明:

b ? B 的数组 ( a, b) 的个数,类似定义 f AA ( x) , f BB ( x) .

?f
x?G

2
AB

( x) ? ? f AA ( x) ? f BB ( x) .
x?G

证明:对 x ? G ,记 Ax ? {(s, t ) | s ? t ? x (mod n), s, t ? A} , Bx ? {(s, t ) | s ? t ? x (mod n), s, t ? B} ,

Cx ? {(s, t ) | s ? t ? x (mod n), s ? A, t ? B} ,
则由 f AA ( x), f BB ( x), f AB ( x) 的定义知, f AA ( x) ? Ax , f BB ( x) ? Bx , f AB ( x) ? Cx . 又记 P x ? {(s, t , u, v) | s ? t ? u ? v ? x (mod n), s, t ? A, u, v ? B} ,

Qx ? {(s, t, u, v) | s ? u ? t ? v ? x (mod n), s, t ? A, u, v ? B} ,
则P x ? Ax ? Bx ? f AA ( x) ? f BB ( x) , Qx ? Cx ? Cx ? f AB ( x) .
2

考虑 S ? {( s, t , u, v) | s ? t ? u ? v (mod n), s, t ? A, u, v ? B}的元素个数 S . 一方面,由于 S ?
x?G

? P ,且其中各个 P 两两不交,故 S ? ? P ? ? f
x

x

x?G

x

x?G

AA

( x) ? f BB ( x) .
x?G



另一方面,注意到 S ? {(s, t , u, v) | s ? u ? t ? v (mod n), s, t ? A, u, v ? B} ? 而其中各个 Qx 亦两两不交,因此 S ? 由①、②得,

?Q

x



?f
x?G

2 AB

( x) ? S

? Q ? ? f ( x) . ? ? f ( x) ? f ( x) .
x?G x x?G BB 2 AB x?G AA




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