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2007年辽宁省沈阳市高中一年级数学竞赛试题


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辽宁省沈阳市高中一年级数学竞赛试题 沈阳市高中一年级 2007 年辽宁省沈阳市高中一年级数学竞赛试题
一.选择题 1.设圆 C 的方程为 x 2 + y 2 2 x 2 y 2 = 0 ,直线 l 的方程为 ( m + 1) x my 1 = 0 ( m ∈ R ), 圆 C 被直线 l 截得的弦长等于 (A) 4 (B) 2 2
2

(C) 2

(D) 与 m 有关

[答] ( A )

2.函数 f ( x ) = sin ( x +

π

(A) 周期为 π 的偶函数 (C) 周期为 2π 的偶函数

) sin 2 ( x ) 是 4 4

π

(B) 周期为 π 的奇函数 (D) 周期为 2π 的奇函数

[答] ( B

)

3.设函数 f ( x ) 的定义域为 ( ∞, a ) ∪ ( a, +∞ ) , f ( x ) ≥ 0 的解集为 M , f ( x ) < 0 的解集 为 N ,则下列结论正确的是 (A) M = CR N (C) M ∪ N = R (B) CR M ∩ CR N = (D) CR M ∪ CR N = R [答] ( D )

4.已知 a, b, c 为三条不同的直线,且 a 平面 M , b 平面 N , M ∩ N = c . (1) 若 a 与 b 是异面直线,则 c 至少与 a , b 中的一条相交; (2) 若 a 不垂直于 c ,则 a 与 b 一定不垂直; (3) 若 a ‖ b ,则必有 a ‖ c ; (4) 若 a ⊥ b , a ⊥ c ,则必有 M ⊥ N . 其中正确的命题的个数是 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
2

[答] ( C

)

5.函数 f ( x ) = log a ( ax + 3 x + 2a 1) 对于任意的 x ∈ (0,1] 恒有意义,则实数 a 的取值范围是 (A) a > 0 且 a ≠ 1 (C) a > (B) a ≥

1 且 a ≠1 2
[答] ( B )

1 且 a ≠1 2

(D) a > 1

6.连掷两次骰子得到的点数分别为 x 和 y ,记向量 a = ( x, y ) 与 b = (1, 1) 的夹角为 θ , 则 θ ∈ (0,

π

2 5 (A) 12

) 的概率是
(B)

1 2

(C)

7 12

(D)

5 6

[答] ( A )

二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 填空题( 7.正三棱锥 P ABC 外接球的球心为 O ,半径为 1 ,且 OA + OB + OC = 0 .则 VP ABC =

3 4

.

8.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ( + x ) + f ( x ) = 2 ,则 f ( ) + f ( ) + + f ( ) = 7 .

1 2

1 2

1 8

2 8

7 8

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9.已知函数 f ( x) = 个数为

cos π x 2 e
.
x2

3 < x < 0 ,若 f (2) + f ( a ) = 2 ,则实数 a 组成的集合的元素 x>0

5

10.已知关于 x 的方程 x 2 + 2 px ( q 2 2) = 0 ( p, q ∈ R )无实根,则 p + q 的取值范围是

(2, 2)

.

11. ABC 中, AB = 2 , AC = 3 , BC = 4 ,O 为 ABC 的内心, AO = λ AB + BC , 在 若 且 则λ+ =

7 9

.(提示:在 ABC 中,角 A 的平分线与 BC 交于 E ,则

AB : AC = BE : EC )
12.关于 x 的不等式 x + 2 + 2 x 1 > a 的解集为 A ,集合 B = x 1 ≤ x ≤ 3 ,若 A ∩ B ≠ , 则实数 a 的取值范围是

{

}

(∞,10)

.

三.解答题(本题共 4 道小题,满分 90 分) 解答题 本题共 道小题, 13. (本小题满分 20 分) 如图,在 ABC 中, AB = AC , D 是 ABC 外接圆 AC 上的一点, AE ⊥ BD 于 E ,求证:

BE = CD + DE . 证明:延长 BD 到 F 使 AF = AC .连结 AF , CF , CD ,则有 ∠AFB = ∠ABF , ∠AFC = ∠ACF . ∵ D 在 ABC 的外接圆上, ∴ ∠ACD = ∠ABD , 从而 ∠AFD = ∠ACD , ∴∠DCF = ∠DFC , ∴ DF = CD . ∵ AE ⊥ BF , AB = AF , ∴ BE = EF = ED + DF = ED + CD .
14.(本小题满分 25 分) 设 f ( x) =

A

F D E B

C

sin 2 x + cos 2 x + 1

+ cos( + x) . π 2 2 sin( + x) 4

π

(1) 求 f ( x ) 的定义域;

, ] 时,求 f ( x) 的最大值; 6 6 (3) 设 π < α < 0 ,且 f (α ) = 2 ,求 tan α 的值.
解: (1)

(2) 当 x ∈ [

π π

{ x | x ≠ kπ

π
4

, k ∈ Z} ,

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(2)

f ( x) = 5 cos( x + ) ,其中 0 < <

π
2

, sin =

5 . 5



5 1 π π π < ,故 0 < < , 0 ∈ [ , + ] . 5 2 6 6 6

又∵ x ∈ [

π π

, ] , x + ∈ [ , + ] , 6 6 6 6

π

π

∴ x + = 0 时 f ( x) 的最大值为 5 .
(3)

2 cos α sin α = 2 , sin

α

2

(2 sin <

α



π
2

α
2

+ cos ) = 0 , 2 2

α

< 0 ,∴ tan

α

1 = , 2 2

4 ∴ tan α = . 3 15. (本小题 20 分) 圆 O 的方程是 x 2 + y 2 = r 2 ( r > 0) ,点 P 是圆 O 上一个动点,点 Q 是 P 关
于点 A(0, 2) 的对称点,点 P 绕圆心 O 按逆时针方向旋转 上移动时,点 Q , R 之间距离的最大值和最小值. 解:设 P ( x, y ) , R ( x′, y ′) , ∠XOP = α ,设圆的参数方程为 点 Q 是关于点 A(0, 2) 的对称点,∴ Q x, 4 y) ( .

π
2

后所得的点为 R ,求当点 P 在圆 O

x = r cos α x′ = y ,则 , y = r sin α y′ = x

| QR |2 = 2r 2 + 8 2r sin(α + ) + 16 , 4

π

1 ≤ sin(α + ) ≤ 1 , 4
当 sin(α + 当 sin(α +

π

π π

4 4

) =1 时, QR 有最大值 2(r + 2 2) |; ) = 1 时,| QR |有最小值 2 | r 2 2 | .

16. (本小题 25 分)设函数 f ( x ) 的定义域是 (0, +∞ ) ,且对任意 y ∈ R 都有 f ( x y ) = yf ( x) . (1) 若对常数 m ∈ (0,1) , f (m) < 0 ,判断 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上的单调性; (2) 在 ABC 中, BC AC = 0 , CD (CB CA) = 0 ( D 在线段 AB 上) BD = p , ,

CD = q , AD = r , 其中 p > q > r > 1 , 比较 f ( p ) f ( r ) 与 [ f ( q )]2 的大小. (提示: a ≠ b 时, 当

a+b ab < ) 2
2

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解:(1) 对任意 0 < x1 < x2 ,由 m ∈ (0,1) ,存在 s, t 使得

x1 = m s , x2 = mt 且 s > t , f ( x1 ) f ( x2 ) = ( s t ) f (m) ,
又∵ s t > 0, f ( m) < 0 ,

∴ f ( x1 ) f ( x2 ) < 0 , f ( x) 在 (0, +∞) 上是增函数.
(2) 若 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上是常函数,则 f ( p ) f ( r ) = [ f ( q )]2 . 若 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上是非常数函数, 在 ABC 中, BC AC = 0 , CD (CB CA) = 0 ( D 在线段 AB 上) ,则

∠C = 90° , CD ⊥ AB ,由射影定理得 q 2 = pr .

∵ p > q > r > 1 ∴ 存在正数 m1 , m2 (m1 ≠ m2 ) 使得

p = q m1 , r = q m2 ,
∴ q 2 = q m1 + m2 .

m1 + m2 = 2
∴ f ( p ) f (r ) = f (q m1 ) f (q m2 ) = m1m2 [ f (q )]2 < [ f (q )]2 , ∴ f ( p ) f (r ) ≤ [ f (q )]2 .

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