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阶段性测试题五 平面向量


阶段性测试题五 平面向量
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2012· 临川模拟)已知向量 a,b 满足 a· b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b| =( ) A.0 C.4 [答案] B [解析] |2a-b|2=4a2-4a· 2=8, b+b ∴|2a-b|=2 2. 2.(2012· 芜湖一模)已知向量 a=(-2,2),b=(5,k).若|a+b|不超过 5,则 k 的取值范围是( A.[-4,6] C.[-6,2] [答案] C [解析] ∵|a+b|=|(3, k+2)|= ?k+2?2+32≤5, ∴(k+2)2≤42, ∴-6≤k≤2. ∴选 C. 3.(2012· 丽水一模)已知向量 a=(-5,6),b=(6,5),则 a 与 b( A.垂直 C.平行且同向 [答案] A [解析] 已知向量 a=(-5,6),b=(6,5), a· b=-30+30=0,则 a 与 b 垂直. B.不垂直也不平行 D.平行且反向 ) ) B.[-6,4] D.[-2,6] B.2 2 D.8

→ → → → → 4.(2012· 威海一模)如图,已知AB=a,AC=b,BD=3DC,用 a,b 表示AD, → 则AD等于( )

3 A.a+4b 1 1 C.4a+4b [答案] B

1 3 B.4a+4b 3 1 D.4a+4b

→ → → → 3→ [解析] AD=AB+BD=AB+4BC → 3 → → 1→ 3→ =AB+4(AC-AB)=4AB+4AC 1 3 =4a+4b. 5.a,b 为平面向量,已知 a=(4,3),2a+b=(3,18),则 a,b 夹角的余弦值 等于( 8 A.65 16 C.65 [答案] C [解析] 本题考查了平面向量的坐标运算和数量积的坐标运算, 在解决问题 时需要先设出向量坐标,然后求得参数,该题较为简单. ) 8 B.-65 16 D.-65

由题可知,设 b=(x,y),则 2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),所以可以解得 x =-5,y=12,故 b=(-5,12), a· 16 b 所以 cos〈a,b〉= = ,故选 C. |a||b| 65 6.(文)(2012· 宝鸡模拟)已知 a、b 均为非零向量,命题 p:a· b>0,命题 q:a 与 b 的夹角为锐角,则 p 是 q 成立的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 [答案] B [解析] 当 a 与 b 夹角为 0° 时,a· b>0;∴p?/ q, 当 a 与 b 夹角 α 为锐角时,a· b=|a|· |b|cosα>0, ∴q?p.因此 p 是 q 成立的必要不充分条件. (理)(2012· 宝鸡模拟)已知 a=(1,3),b=(1,1),c=a+λb,若 a 和 c 的夹角是 锐角,则 λ 的取值范围是(
? 5 ? A.?-2,+∞? ? ?

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

) 5? ? B.?-∞,-2?
? ? ? 5 ? D.?-2,0?∪(0,+∞) ? ?

C.{0} [答案] D

[解析] 由条件得,c=(1+λ,3+λ),从而 c=1+λ+3?3+λ?>0 ?a· ?1+λ 3+λ ? 1 ≠ 3
? 5 ? ?λ∈?-2,0?∪(0,+∞). ? ?

7.(文)(2012· 九江一模)已知向量 m=(1,1),n=(1,t),若 m· n=3,则向量 m 与向量 n 夹角的余弦值为( )

5 A. 10 3 5 C. 10 [答案] D

3 2 B. 10 3 10 D. 10

[解析] ∵m· n=3,∴1+t=3,∴t=2, ∴n=(1,2),|m|= 2,|n|= 5, ∴cos<m,n>= m· n 3 3 10 = = 10 ,故选 D. |m||n| 2× 5

π (理)(2012· 九江一模)已知向量 a 与 b 的夹角为3,|a|= 2,则 a 在 b 方向上 的投影为( A. 3 2 C. 2 [答案] C [解析] ∵a 在 b 方向上的投影为|a|cos<a,b> π 2 = 2cos3= 2 .故应选 C. 8.设向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),其中 0<α<β<π,若|2a+b|=|a -2b|,则 β-α 等于( π A.2 π C.4 [答案] A ) π B.-2 π D.-4 ) B. 2 3 D. 2

[解析] 由|2a+b|=|a-2b|知 3|a|2-3|b|2+8a· b=0. 而|a|=1,|b|=1,故 a· b=0,

即 cos(α-β)=0,由于 0<α<β<π, π 故-π<α-β<0,故 β-α=2,选 A. 3 3 9. (文)(2012· 泉州一模)已知向量 m, 满足 m=(2,0), n n=(2, 2 ). 在△ABC → → → 中,AB=2m+2n,AC=2m-6n,D 为 BC 边的中点,则|AD|等于( A.2 C.6 [答案] A [解析] 由 D 为 BC 边的中点得, → 1→ → |AD|=2|AB+AC|. 1 → → 1 又∵2(AB+AC)=2(4m-4n) =2m-2n=(1,- 3) → ∴|AD|=2,故选 A. → (理)(2012· 泉州一模)若△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且(AB+ → BC → AC)· =0,则△ABC 一定是( A.等腰直角三角形 C.等边三角形 [答案] C → → BC → [解析] ∵(AB+AC)· =0, → → → → ∴(AB+AC)(AC-AB)=0, → → → → ∴AC2-AB2=0,即|AC|=|AB| 又 A,B,C 成等差数列,∴B=60° . 从而 C=A=60° .故△ABC 为等边三角形. 10. (文)(2011· 辽宁理)若 a, c 均为单位向量, a· b, 且 b=0, (a-c)· (b-c)≤0, ) B.非等腰直角三角形 D.钝角三角形 B.4 D.8 )

则|a+b-c|的最大值为( A. 2-1 C. 2 [答案] B

) B.1 D.2

[解析] 本小题考查内容为向量数量积及向量模的计算. |a+b-c|2=|a|2+|b|2+|c|2+2a· b-2a· c-2b· c =3-2(a· c+b· c) (a-c)· (b-c)=a· b-a· c-b· c+|c|2 =1-(a· c+b· c)≤0, ∴|a+b-c|2≤1,∴|a+b-c|max=1. (理)(2011· 四川文)在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以 原点为起点的向量 α=(a,b).从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向 量为邻边作平行四边形,记所有作成的平行四边形的个数为 n,其中面积等于 2 m 的平行四边形的个数为 m,则 n =( 2 A.15 4 C.15 [答案] B [解析] 向量 a 的坐标有(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5).共 6 种情
2 况,以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形共有 C6=15 个.

) 1 B.5 1 D.3

以 a,b 为邻边所作平行四边形的面积为 S=|a||b|sin<a,b>=|a||b| 1-cos2<a,b> =|a||b| ?a· 2 b? 1- 2 2= |a|2|b|2-?a· 2. b? |a| |b|

分别以 a=(2,1),b=(4,1);a=(2,1),b=(4,3);a=(4,5),b=(2,3)为邻边的 m 3 1 平行四边形面积为 2,故 m=3,所以 n =15=5.

[点评] 本题综合考查了平面向量的数量积、排列组合知识及分析问题、解 决问题的能力,综合性较强,难度较大.

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填在题 中横线上) 11.(2012· 沈阳调研)若向量 a=(1,1),b=(-1,2),则 a· 等于________. b [答案] 1 [解析] ∵a=(1,1),b=(-1,2),∴a· b=1×(-1)+1×2=-1+2=1. 2π 12.已知 e1,e2 是夹角为 3 的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2.若 a· b =0,则实数 k 的值为________. 5 [答案] 4 [ 解析 ]
2 a· = (e1 - 2e2)· 1 + e2)= ke 2 + (1- 2k)e1·2 - 2e 2 = k- 2+ (1- b (ke e 1

2π 5 2k)cos 3 =2k-2. 5 5 ∵a· b=0,∴2k-2=0,即 k=4. 13.(文)(2011· 湖南文)设向量 a,b 满足|a|=2 5,b=(2,1),且 a 与 b 的方 向相反,则 a 的坐标为________. [答案] (-4,-2) [解析] 考查向量坐标数乘运算等. 由 a 与 b 方向相反可设 a=λ(2,1),λ<0, 所以由|a|=2 5= 5|λ|,知 λ=-2, 所以 a=(-4,-2). → → → → (理)(2011· 湖南理)在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设BC=2BD,CA=3CE, → BE → 则AD· =________.

1 [答案] - 4 [解析] 本小题考查内容为向量的加减法与向量数量积的计算.

? b? 2 → → → 1 → → → 如图,令AB=a,AC=b,AD=2(a+b),BE=BC+CE=(b-a)+?-3?=3b ? ?

-a,
? → BE ?a b? ?2 → ? ∴AD· =?2+2?·3b-a? ? ?? ?

1 |a|2 |b|2 1 =3a· 2 + 3 -2a· b- b |b|2 |a|2 1 = 3 - 2 -6a· b 1 1 1 1 1 =3-2-6×2=-4. 14.(2012· 黄山模拟)设向量 a,b 的夹角为 θ,a=(2,1),a+3b=(5,4),则 sinθ=________. [答案] 10 10

[解析] 设 b=(x,y), ∵a=(2,1),a+3b=(5,4),

?2+3x=5, ?x=1, ? ? ? ∴ 即? ∴b=(1,1), ?1+3y=4, ?y=1, ? ?

∴cosθ=

2+1 a· b 3 10 = = 10 . |a||b| 5× 2

10 又∵θ∈[0,π],∴sinθ= 1-cos2θ= 10 . 15.(2012· 济南调研)在直角坐标系 xOy 中,i,j 分别是与 x 轴,y 轴平行的 单位向量, 若直角三角形 ABC 中,→ =i+j,→ =2i+mj, AB AC 则实数 m=________. [答案] 0 或-2 [解析] 本题考查了向量的运算. → → → 由已知可得BC=AC-AB=i+(m-1)j. → AC → 当 A=90° 时,AB· =(i+j)· (2i+mj) =2+m=0,m=-2. → BC → 当 B=90° 时,BA· =-(i+j)· [i+(m-1)· j] =-(1+m-1)=-m=0,m=0. → CB → 当 C=90° 时,CA· =-(2i+mj)· [-i-(m-1)j]=2+m(m-1)=m2-m+2 =0, 此时 m 不存在.故 m=0 或-2. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)(2012· 郑州模拟)已知向量 a=(3,-2),b=(-2,1), c=(7,-4),是否能以 a,b 为平面内所有向量的一组基底?若能,试将向量 c 用这一组基底表示出来;若不能,请说明理由. [解析] ∵a=(3,-2),b=(-2,1). ∴a· b=3×1-(-2)×(-2)=-1≠0. ∴a 与 b 不共线,故一定能以 a,b 作为平面内的所有向量的一组基底.

设 c=λa+ub 即 (7,-4)=(3λ,-2λ)+(-2u,u) =(3λ-2u,-2λ+u),
?3λ-2u=7 ?λ=1 ? ? ∴? ,解得? . ? ? ?-2λ+u=-4 ?u=-2

∴c=a-2b. 17.(本小题满分 12 分)(2012· 徐州模拟)已知平面内 A、B、C 三点在一条直 → → → → → 线上,OA=(-2,m),OB=(n,1),OC=(5,-1),且OA⊥OB,求实数 m,n 的值. → → [解析] 由于 C、A、B 三点在一条直线上,则AC∥AB, → → → 又AC=OC-OA=(7,-1-m), → → → AB=OB-OA=(n+2,1-m), ∴7(1-m)-(-1-m)(n+2)=0. 整理得 mn+n-5m+9=0, → → 又OA⊥OB, ∴-2n+m=0.

? ?m=6 ? 联立方程组解得? 或? 3 ? n= ?n=3 ?
2

m=3 .

18. (本小题满分 12 分)(2012· 盐城一模)已知向量 a=(sinθ, 3), b=(1, cosθ), π π θ∈(-2,2). (1)若 a⊥b,求 θ; (2)求|a+b|的最大值. [解析] (1)因为 a⊥b,所以 sinθ+ 3cosθ=0. 得 tanθ=- 3.

π π π 又 θ∈(-2,2),所以 θ=-3. (2)因为|a+b|2=(sinθ+1)2+(cosθ+ 3)2 π =5+4sin(θ+3). π 所以当 θ=6时,|a+b|2 的最大值为 5+4=9. 故|a+b|的最大值为 3. -1 1 19.(本小题满分 12 分)(2012· 洛阳模拟)已知向量 a=(sinx,sinx),b=(2, cos2x). π (1)若 x∈(0,2],试判断 a 与 b 能否平行? π (2)若 x∈(0,3],求函数 f(x)=a· 的最小值. b -1 1 π [解析] (1)若 a 与 b 平行, 则有sinx· cos2x=sinx· 因为 x∈(0, ], 2, 2 sinx≠0, 所以得 cos2x=-2,这与|cos2x|≤1 相矛盾,故 a 与 b 不能平行. 2 cos2x 2-cos2x (2)由于 f(x)=a· sinx- sinx = sinx b= 1+2sin2x 1 = sinx =2sinx+sinx, π 3 又因为 x∈(0,3],所以 sinx∈(0, 2 ], 1 于是 2sinx+sinx≥2 1 2sinx· =2 2, sinx

1 2 当 2sinx=sinx,即 sinx= 2 时取等号. 故函数 f(x)的最小值等于 2 2.
? ?π ? ? → → 20 . ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 向 量 OP = ?2cos?2+x?,-1? , OQ = ? ? ? ?

? ?π ? ? → OQ → ?-sin? -x?,cos2x?,定义函数 f(x)=OP· . ? ?2 ? ?

(1)求函数 f(x)的表达式,并指出其最大值和最小值; (2)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 f(A)=1,bc= 8,求△ABC 的面积 S. → OQ → [解析] (1)f(x)=OP· =(-2sinx,-1)· (-cosx,cos2x)=sin2x-cos2x π? ? = 2sin?2x-4?,
? ?

∴f(x)的最大值和最小值分别是 2和- 2. (2)∵f(A)=1, π? ? 2 ∴sin?2A-4?= 2 . ? ? π π π 3π ∴2A-4=4或 2A-4= 4 . π π ∴A=4或 A=2. 又∵△ABC 为锐角三角形, π ∴A=4, ∵bc=8, 1 ∴△ABC 的面积 S=2bcsinA 1 2 =2×8× 2 =2 2. → 21. (本小题满分 14 分)(2012· 西安模拟)已知 O 为坐标原点, 向量OA=(sinα, → → → → 1),OB=(cosα,0),OC=(-sinα,2),点 P 满足AB=BP. π π → CA → (1)记函数 f(α)=PB· ,α∈(-8,2),讨论函数 f(α)的单调性,并求其值域; → → (2)若 O,P,C 三点共线,求|OA+OB|的值.

→ → [解析] (1)AB=(cosα-sinα,-1),设OP=(x,y), → 则BP=(x-cosα,y). → → 由AB=BP得 x=2cosα-sinα,y=-1, → 故OP=(2cosα-sinα,-1). → → PB=(sinα-cosα,1),CA=(2sinα,-1). → CA → f(α)=PB· =(sinα-cosα,1)· (2sinα,-1) =2sin2α-2sinαcosα-1=-(sin2α+cos2α) π =- 2sin(2α+4), π π π 5π 又 α∈(-8,2),故 0<2α+4< 4 , π π π π 当 0<2α+4≤2,即-8<α≤8时,f(α)单调递减; π π 5π π π 当2<2α+4< 4 ,即8<α<2时,f(α)单调递增, π π 故函数 f(α)的单调递增区间为(8,2), π π 单调递减区间为(-8,8], π 2 因为 sin(2α+4)∈(- 2 ,1], 故函数 f(α)的值域为[- 2,1). → → (2)OP=(2cosα-sinα,-1),OC=(-sinα,2), 由 O,P,C 三点共线可得 4 (-1)×(-sinα)=2×(2cosα-sinα),得 tanα=3. sin2α= 2sinαcosα 2tanα 24 . 2 2 = 2 = sin α+cos α 1+tan α 25

→ → ∴|OA+OB|= ?sinα+cosα?2+1

74 = 2+sin2α= 5 . [点评] 本题是三角函数与平面向量的综合问题,这类试题的难度一般不大,但 解题时要细心,要正确利用平面向量的相关知识,特别是平面向量中的共线、 垂直关系.


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