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福建省莆田四中2013届高三上学期第一次月考(数学理)


莆田四中 2013 届高三(11)上学期第 1 次月考试卷 数学(理)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | x ? 4 ? 0}, B ? {x | x( x ? 2) ? 0}, 则 A ? B =( )
2

A. {x

| ?2 ? x ? 0} A.充分不必要条件 C.充要条件

B. {x | 0 ? x ? 2}

C. {x | x ? 0}

D. R

2. 已知 a, b ? R ,则“ b ? 0 ”是“ a ? bi ? 0 ”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为 0 时, 输入的 x 的值为( ) A. ?1或1 B. ?2或0 C. ?2或1 D. ?1或0 4. 在△ ABC 中,已知 a, b, c 分别为 ?A, ?B, ?C 所对的边, S 为△ ABC 的面积.若向量

? ? p ? ? 4, a 2 ? b 2 ? c 2 ? , q ?
A.

?

? ? 3, S ,且 p || q ,则 ?C = ( )
C.

?

5? 6 a 5.设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和, S5 ? 3(a2 ? a8 ) ,则 5 的值为( ) a3 5 1 3 1 A. B. C. D. 6 3 ??? ??? ? 5? ??? ? 6 ? 6.若点 O 是 ?ABC 的外心,且 OA ? OB ? ? OC ? 0 , ?C ? 120 0 ,则实数 ? 的值为( ) 1 1 A. B. ? C. ?1 D. 1 2 2

? 6

B.

? 3

2? 3

D.

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0) 的离心率为 2 ,且一个焦点与抛物线 y 2 ? 4mx 的焦点重 m n 合,则 n 的值为( ) A. 1 B. 4 C. 8 D. 12
7.双曲线 8.如果函数 f ( x) ? ?

2a 1 ( , ln( x ? 1) 的图象在 x ? 1处的切线 l 过点 0,? ) 并且 l 与圆 C : b b

x 2 ? y 2 ? 1相离,则点 (a, b) 与圆 C 的位置关系是( )
A.在圆内 B.在圆外 C.在圆上 D.不能确定

9.如图所示,在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内,曲线 y ? x 和曲线 y ?
2

x 围成一个叶

形图(阴影部分) ,向正方形 AOBC 内随机投一点(该点落在正方形 AOBC 内任何一点 是等可能的) ,则所投的点落在叶形图内部的概率是( ) A.

1 2

B.

1 6

C.

1 4

D.

1 3

10.对于任意的实数 a, b ,记 max ?a, b? ? ?

? a,( a ? b) , ?b,( a ? b)

若 F ( x) ? max ? f ( x), g ( x)? ( x ? R) ,其中函数 y ? f ( x)( x ? R) 是奇函数, 且在 x ? 1 处 取得极小值 ?2 , 函数 y ? g ( x)( x ? R) 是正比例函数, 其图象与 x ? 0 时的函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,则下列关于函数 y ? F ( x) 的说法中,正确的是( ) A. y ? F ( x) 为奇函数 B. y ? F ( x) 有极大值 F (?1) C. y ? F ( x) 的最小值为 ?2 ,最大值为 2 D. y ? F ( x) 在 (?3,0) 上为增函数 二、填空题: 本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样 的方法,从该校 200 名授课教师中抽取 20 名教师,调查了他们上 学期使用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶图如图所示据此可 估计该校上学期 200 名教师中,使用多媒体进行教学次数在 [15, 25) 内的人数为_____;

12.一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) ,则该几何体的体积为_____ m (公式:球的体积 V ?

3

4 3 ?R ) 3
3 2

6

3
1

3 2 侧视图

正视图

3

? a?b ? 6 ? 13. 若 变 量 a, b 满 足 约 束 条 件 ? a ? 3b ? ?2 , n ? 2a ? 3b , 则 n 取 最 小 值 时 , ? a ?1 ?

俯视图

1 ? ? ?2 x ? 2 ? x ? ?
14. 设椭圆

n

二项展开式中的常数项为



x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 , A 是椭圆上的一点, a 2 b2

1 ; OF1 ,则椭圆的离心率为 2 15.记 [ x] 为不超过实数 x 的最大整数,例如, [2] ? 2 , [1.5] ? 1 , [?0.3] ? ?1。设 a 为正 a xn ? [ ] xn 整数,数列 { xn } 满足 x1 ? a , xn ?1 ? [ ](n ? N ? ) ,现有下列命题: 2 ①当 a ? 5 时,数列 { xn } 的前 3 项依次为 5,3, 2 ;
AF2 ^ AF1 ,原点 O 到直线 AF1 的距离为
②对数列 { xn } 都存在正整数 k ,当 n ? k 时总有 xn ? xk ; ③当 n ? 1时, xn ?

a ?1;

④对某个正整数 k ,若 xk ?1 ? xk ,则 xn ? [ a ] 。 其中的真命题有___________。 (写出所有真命题的编号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x , f '( x) 是 f ( x) 的导函数. (Ⅰ)求函数 F ( x) ? f '( x) f ( x) ? f ( x) 的最大值和最小正周期;
2

(Ⅱ)若 f ( x) ? 2 f '( x) ,求

1+sin 2 x 的值. cos 2 x-sin x cos x

17. (本小题满分 13 分) 某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间 T (单位: 有关.若 T ? 1 , 年) 则销售利润为 0 元;若 1 ? T ? 3 ,则销售利润为 100 元;若 T ? 3 ,则销售利润为 200 元. 设每台该种电器的无故障使用时间 T ? 1 , 1 ? T ? 3 , T ? 3 这三种情况发生的概率分别
2 为 p1 、 p2 、 p3 ,且 p1 、 p2 又知是方程 25x ? 15x ? a ? 0 的两个根,且 p2 ? p3 。

(Ⅰ)求 p1 、 p2 、 p3 的值; (Ⅱ)记 L 表示销售两台这种家用电器的销售利润总和,求 L 的分布列和数学期望。 P 18. (本小题满分 13 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AB ? AC , D, E , F 分别是棱 PA, PB, PC 的中点,连接 DE , DF , EF . (Ⅰ)求证: 平面 DEF // 平面 ABC ; (Ⅱ)若 PA ? BC ? 2 , 当三棱锥 P ? ABC 的体积最大时, 求二面角 A ? EF ? D 的余弦值. 19. (本题满分 14 分)
2 2

D E A G

F

C

已知过点 A(?1, 0) 的动直线 l 与圆 C : x ? ( y ? 3) ? 4 相交于 P, Q 两点, M 是 PQ 中 点, l 与直线 m : x ? 3 y ? 6 ? 0 相交于 N . (Ⅰ)求证:当 l 与 m 垂直时, l 必过圆心 C ;
B

(Ⅱ)当 PQ ? 2 3 时,求直线 l 的方程; (Ⅲ)求证: AM ? AN 为定值,并求出该定值。 20. (本题满分 14 分) 函数 f ( x) ? ae , g ( x) ? ln x ? ln a ,其中 a 为常数,且函数 y ? f (x) 和 y ? g (x) 的图
x

???? ???? ?

像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行. (Ⅰ)求此平行线的距离; (Ⅱ)若存在 x 使不等式

x?m ? x 成立,求实数 m 的取值范围; f ( x)

(Ⅲ)对于函数 y ? f (x) 和 y ? g (x) 公共定义域中的任意实数 x 0 , 我们把 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 的值称为两函数在 x 0 处的偏差.求证:函数 y ? f (x) 和 y ? g (x) 在其公共定义域内的所 有偏差都大于 2 . 21.本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多 作,则按所做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑,并将选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 M ? ?

?1 a? ?c 2? ? 2 0? ?, N ? ? ? ,且 MN ? ? ?。 ?b 1? ?0 d ? ? ?2 0 ?

(Ⅰ)求实数 a, b, c, d 的值; (Ⅱ)求直线 y ? 3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的方程。 (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线的极坐标方程为 ? sin? ? ?

? ?

??

(其中 ? 为参数). (Ⅰ)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求圆 M 上的点到直线的距离的最小值. (3) (本小题满分 7 分)选修 4—5 :不等式证明选讲 已知正实数 a 、 b 、 c 满足条件 a ? b ? c ? 3 , (Ⅰ) 求证: a ? b ? c ? 3 ; (Ⅱ)若 c ? ab ,求 c 的最大值.

? x ? 2 cos? 2 , M 的参数方程为 ? 圆 ?? 4? 2 ? y ? ?2 ? 2 sin?

莆田四中 2013 届高三(11)第 1 次月考试卷答案
一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 A 二、填空题: 11. 60 ;

A

C

B 13. -80 ;

A 14.

C

D

A

D

B

12. 18 ? 9? ;

3- 1;

15.①③④

xn ? [
[解析]若 a ? 5 ,根据 xn ?1 ? [ 当 n ? 1 时, x2 ? [

a ] xn

2

](n ? N ? )

5 ?1 3 ?1 ] ? 3 , 同理 x3 ? [ ] ? 2 , 故①对. 2 2
…… 此时②③④均对. …… 此时②③④均对

对于②③④可以采用特殊值列举法: 当 a ? 1 时, x1 ? 1, x2 ? 1, x3 ? 1,? xn ? 1 , 当 a ? 2 时, x1 ? 2, x2 ? 1, x3 ? 1,? xn ? 1 , 综上,真命题有 ①③④ . 三、解答题: 16.解: (Ⅰ)由已知得

当 a ? 3 时, x1 ? 3, x2 ? 2, x3 ? 1, x4 ? 2,?, xn ? 1 , ……此时③④均对

f '( x) ? cos x ? sin x , F ( x) ? f '( x) f ( x) ? f 2 ( x) ? 2cos 2 x ? sin 2 x

??3 分

? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ,则其最大值为 2 ? 1 ,最小正周期为 ? .7 分 4 1 (Ⅱ)若 f ( x) ? 2 f '( x) ,则 cos x ? sin x ? 2(cos x ? sin x) ? tan x ? , ?10 分 3 2 2 2 2 1+sin x cos x+2 sin x 1 ? 2 tan x 11 ? ? ? ????13 分 2 2 cos x-sin x cos x cos x-sin x cos x 1 ? tan x 6 15 3 ? 1 17.解: Ⅰ) P ? P2 ? P3 ? 1, P2 ? P3 , PP2是该25x 2 ? 15x ? a的根 , P ? P2 ? ( ? 1 ? 1 25 5 2 1 2 ??????3 分 ? P3 ? ,从而 P ? , P2 ? P3 ? 1 5 5 5 (Ⅱ)由题意知 L ? 0,100,200,300,400 ????4 分 1 1 1 1 1 2 1 4 P( L ? 0) ? ? ? P( L ? 100) ? ? ? ? ? 5 5 25 5 5 5 5 25 2 2 1 2 2 1 8 2 2 2 2 8 P( L ? 200) ? ? ? ? ? ? ? P( L ? 300) ? ? ? ? ? 5 5 5 5 5 5 25 5 5 5 5 25 2 2 4 ????????9 分 P( L ? 400) ? ? ? 5 5 25 L 的分布列 L
0 100 200 300 400

?

p
???10 分

1 25

4 25

8 25

8 25

4 25

1 4 8 8 4 ? 100 ? ? 200 ? ? 300 ? ? 400 ? ? 240 ???13 分 25 25 25 25 25 18. (Ⅰ) 证明: ∵ D, E 分别是棱 PA, PB 的中点, ∴ DE 是△ PAB 的中位线. ∴ DE // AB . ∵ DE ? 平面 ABC, AB ? 平面 ABC, ∴ DE // 平面 ABC . 同理可证 DF // 平面 ABC . ∵ DE ? DF ? D, DE ? 平 面 DEF , DF ? 平 面 DEF , ∴ 平 面 DEF // 平 面

? E ( L) = 0 ?

(Ⅱ) 求三棱锥 P ? ABC 的体积的最大值, 给出如下两种解法: 解 法 1: 由 已 知 PA ? 平 面 ABC , AC ? AB ∴ AB ? AC ? BC ? 4 . ∴ 三 棱 锥
2 2 2

ABC .

,

PA ? BC ? 2

的 体 积 为 P ? ABC 1 1 1 1 V ? ? PA ? S ?ABC ? ? PA ? ? AB ? AC ? ? 2 ? AB ? AC 3 3 2 6 2 2 2 1 AB ? AC 1 BC 2 ? ? ? ? ? 3 2 3 2 3 2 当且仅当 AB ? AC 时等号成立, V 取得最大值,其值为 , 此时 AB ? AC ? 2 . 3 解法 2: AB ? x , Rt△ ABC 中,AC ? 设 在 ∴三棱锥 P ? ABC 的体积为 V ?

1 ? PA ? S ?ABC 3 2 1 1 1 ? x 4 ? x2 ? 4x 2 ? x 4 ? ? x2 ? 2 ? 4 3 3 3

?

?

BC 2 ? AB 2 ? 4 ? x 2 ?0 ? x ? 2? . 1 1 ? ? PA ? ? AB ? AC 3 2
∵ 0 ? x ? 2,0 ? x ? 4 ,
2

∴ 当 x ? 2 ,即 x ?
2

求二面角 A ? EF ? D 的平面角的余弦值, 给出如下两种解法: 解法 1:作 DG ? EF ,垂足为 G , 连接 AG . ∵ PA ? 平面 ABC ,平面 ABC // 平面 DEF , ∴ PA ? 平面 DEF . ∵ EF ? 平面 DEF , ∴ PA ? EF . E ∵ DG ? PA ? D , ∴ EF ? 平面 PAG . ∵ AG ? 平面 PAG , ∴ EF ? AG . ∴ ?AGD 是二面角 A ? EF ? D 的平面角. 在 Rt△ EDF 中, DE ? DF ? 在 中, AG ?

2 2 时, V 取得最大值,其值为 ,此时 AB ? AC ? 2 . 3
P

D G A

F

C

1 2 1 1 B AB ? , EF ? BC ? 1 , ∴ DG ? . 2 2 2 2
Rt△

ADG

1 1 5 DG z 2 5 AD 2 ? DG 2 ? 1 ? ? , cos ?AGD ? . ? ? 4 2 AG 5 5 P 2
D E F

∴二面角 A ? EF ? D 的平面角的余弦值为

5 . 5

解法 2:分别以 AB, AC, AP 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系 A ? xyz , 则 A?0,0,0 ?, D ?0,0,1?, E ? ∴ AE ? ?

? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ,0,1?, F ? 0, 2 ,1? . ? ? ? ?

? 2 ? ? 2 2 ? ? ? ? ? 2 ,0,1?, EF ? ? ? 2 , 2 ,0 ? . ? ? ? ? 设 n ? ?x, y, z ? 为平面 AEF 的法向量,

? 2 x ? z ? 0, ? ? 2 即? ? ? 2 x ? 2 y ? 0. ? 2 2 ? 令 x ? 2 , 则 y ? 2 , z ? ?1 . ∴n ? ∵ 平 面 D E 的F 一
?n ? AE ? 0, ? ∴? ?n ? EF ? 0. ?

?

2 , 2 ,?1 为平面 AEF 的一个法向量.
个 法 向 量 为 ∴二

?

DA ? ?0 ,0 ,?1? ,∴ cos n, DA ?

n ? DA n DA

?

? 2 ? ? ? 2 ? ? ?? 1?
2 2

1

?
2

?1

5 . 5

面角 A ? EF ? D 的平面角的余弦值为

5 . 5

1 3 故直线 l 方程为 y ? 3( x ? 1), 即 3x ? y ? 3 ? 0. ?? ?????2 分 ?圆心坐标(0,3)满足直线 l 方程,?当 l 与 m 垂直时, l 必过圆心 C . ?3 分 (Ⅱ)①当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x ? ?1 符合题意.??????5 分 ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1), 即 kx ? y ? k ? 0 , ?k ? 3 4 ? 1 ,得 k ? ,? ?8 分 ? PQ ? 2 3,? CM ? 4 ? 3 ? 1 ,则由 CM ? 3 k 2 ?1 故 .直 线 l 的 方 程 为 x ? ?1 或 x 3? y ? 4 0 ? 直 线 l : 4? 4 x ? 3 y ? 4 ? 0. ??????9 分
19 解: (Ⅰ)? l 与 m 垂直,且 km ? ? ,? k1 ? 3,

???? ???? ??? ???? ???? ??? ???? ???? ???? ??? ???? ? ? ? ? ? ? ? CM ? MN ,? AM ? AN ? ( AC ? CM ) ? AN ? AC ? AN ? CM ? AN ? AC ? AN . 9
分 ①当 l 与 x 轴垂直时,易得 N (?1, ? ),







???? ???? ??? ???? ? ? ? AM ? AN ? AC ? AN ? ?5 .????

5 3

则 AN ? (0, ? ), 又 AC ? (1,3) ,

????

5 3

????

②当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1),

???? ? y ? k ( x ? 1), ?3k ? 6 ?5k ?5 ?5k 得 N( 则 AN ? ( , ), , ). 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k ? x ? 3 y ? 6 ? 0, ???? ???? ???? ???? ? ?5 ?15k ? AM ? AN ? AC ? AN ? ? ? ?5. ??? ????13 分 1 ? 3k 1 ? 3k ???? ???? ? 综上所述, AM ? AN ? ?5 .???????14 分
则由 ? 20. 解: (Ⅰ) f ( x) ? ae , g ? ? x ? ?
/ x

1 , y ? f (x) 的图像与坐标轴的交点为 ? 0 , a ? , x

y ? g ? x ? 的图像与坐标轴的交点为 ? a , 0 ? ,由题意得 f ? ? 0 ? ? g ? ? a ? ,即 a ?
又∵ a ? 0 ,∴ a ? 1 。

1 a

∴ f ? x ? ? e x , g ? x ? ? ln x ,∴函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 的图像在其坐标轴的交点处的切线 方程分别为: x ? y ? 1 ? 0 , x ? y ? 1 ? 0 ∴两平行切线间的距离为 2 。 (Ⅱ)由
x?m x?m ? x 得 x ? x ,故 m ? x ? xex 在 x ? ? 0 , ? ? ? 有解, f ?x? e

令 h ? x ? ? x ? xe x ,则 m ? h max ? x ? 。当 x ? 0 时, m ? 0 ;
? 1 x ? ? 1 ? 当 x ? 0 时,∵ h ? ? x ? ? 1 ? ? e ? xe x ? ? 1 ? ? ? x ? e x ,∵ x ? 0 , ?2 x ? ?2 x ?



1 2 x

? x ?2

? 1 ? ? x ? 2 , e x ? 1 ,∴ ? ? x ? ex ? 2 2 x ?2 x ? 1

? 1 ? ? x ? ex ? 0 故 h? ? x ? ? 1 ? ? ?2 x ?

即 h ? x ? ? x ? xe x 在区间 ? 0 , ? ? ? 上单调递减,故 h ? x ?max ? h ? 0 ? ? 0 ,∴ m ? 0 即实数 m 的取值范围为 ? ?? , 0 ? 。 (Ⅲ)解法一: ∵函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 的偏差为: F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? e x ? ln x , x ? ? 0 , ? ? ? ∴ F? ? x ? ? ex ?
1 1 ,设 x ? t 为 f ? ? x ? ? ex ? ? 0 的解,则当 x ? ? 0 , t ? , F? ? x ? ? 0 ; x x

当 x ? ? t , ? ? ? , F? ? x ? ? 0 ,∴ F ? x ? 在 ? 0 , t ? 单调递减,在 ? t , ? ? ? 单调递增

∴ F ? x ?min ? et ? ln t ? et ? ln

1 ? et ? t et

1 ?1? ∵ f ? ?1? ? e ? 1 ? 0 , f ? ? ? ? e ? 2 ? 0 ,∴ ? t ? 1 2 ?2?

故 F ? x ?min ? et ? t ? e 2 ?

1

1 1 1 ? e ? ? 2.25 ? ? 2 2 2 2

即函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 在其公共定义域内的所有偏差都大于 2。 解法二: 由于函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 的偏差: F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? e x ? ln x , x ? ? 0 , ? ? ? 令 F1 ? x ? ? ex ? x , x ? ? 0 , ? ? ? ;令 F2 ? x ? ? x ? ln x , x ? ? 0 , ? ? ?
1 1? x ∵ F1? ? x ? ? e x ? 1 , F2? ? x ? ? 1 ? ? ,∴ F1 ? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 单调递增, F2 ? x ? 在 ? 0 , 1? 单 x x

调递减,在 ?1 , ? ? ? 单调递增 ∴ F1 ? x ? ? F1 ? 0 ? ? 1 , F2 ? x ? ? F2 ?1? ? 1 ,∴ F ? x ? ? ex ? ln x ? F1 ? x ? ? F2 ? x ? ? 2 即函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 在其其公共定义域内的所有偏差都大于 2。 21.(1)选修 4-2:矩阵与变换

?c ? 2 ? a ? ?1 ? 2 ? ad ? 0 ?b ? ?1 ? ? (Ⅰ)由题设得: ? 解得: ? ---------------3 分 ?bc ? ?2 ?c ? 2 ? 2b ? d ? 0 ?d ? 2 ? ?
(Ⅱ)设直线 y ? 3x 上的任意点 ( x, y ) 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的 像是点 ( x / , y / ) ,由

? x / ? ? 1 ?1?? x ? ? x ? y ? ? ?2 x ? / / ? /??? ?? ? = ? ??? ? 得:点 ( x , y ) 必在 y ? ?x 上, ?y ? ?1 1 ?? y ? ? ? x ? y ? ? 2 x ? ? ? ?
由 ( x, y ) 的任意性可知,直线 y ? 3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像的方程为

y ? ?x 。----------------7 分
(2)选修 4-4:坐标系与参数方程

(Ⅰ)以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系. ? ? sin?? ?

? ?

??

2 ?? 4? 2

?

2 ?? sin ? ? ? cos? ? ? 2 ,? ? sin? ? ? cos? ? 1. ----------------2 分 2 2 所以,该直线的直角坐标方程为: x ? y ? 1 ? 0. ----------------3 分
(Ⅱ)圆 M 的普通方程为: x ? ( y ? 2) ? 4 ----------------4 分
2 2

圆心 M (0,?2) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ? 所以,圆 M 上的点到直线的距离的最小值为 ⑶选修 4—5 不等式证明选讲

0 ? 2 ?1 2

?

3 2 . ---------------5 分 2

3 2 ? 2. ----------------7 分 2

解:(Ⅰ)由柯西不等式得 ( a ? b ? c ) ? (a ? b ? c)(1 ? 1 ? 1)
2

代入已知

a+b+c=3

? ( a ? b ? c )2 ? 9
当且仅当

a ? b? c ?3

a=b=c=1,取等号。?????????3 分

(Ⅱ) a ? b ? 2 ab 得 2 ab ? c ? 3 , c ?a , 2 c ? c ? 3 , c ? 3 由 若 b 则 所以 c ? 1 , c ? 1,当且仅当

?

??

c ?1 ? 0 ,

?

a=b= 1 时, c 有最大值 1。?????????7 分


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