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杨辉三角与二项式定理


复习 二项式定理

(a+b)n= Cn0an+Cn1an-1b1+?+Cnkan-kbk+?+Cnnbn
展形式的第k+1项为 Tk+1= Cnkan-kbk

计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1

(a+b)n展开式的二项式系数

r />1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15

1 4 10 20

1 5 15

1 6

1

对称性

(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6

议一议
1)请看系数有没有明显的规律? 2)上下两行有什么关系吗? 3)根据这两条规律,大家能写出下面的系数吗?

(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6

+

+
+ +

+

+
+

+

+
+

+

+
+

+ +

①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 ②从第二行起,每行除1以外的每一个数都等于 它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1

二项式系数的性质

(a ? b) 展开式的二项式 0 1 2 n 系数依次是: Cn , Cn , Cn ,?, Cn
n

从函数角度看,Cr n 可看 成是以r为自变量的函数 f (r ) , 其定义域是: ?0,1,2,?, n?
当 n ? 6 时,其图象是右 图中的7个孤立点.

二项式系数的性质
①对称性 与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等.

这一性质可直接由公式 m n ?m Cn ? Cn 得到.

n 图象的对称轴: r? 2

二项式系数的性质
②增减性与最大值

因此,当n为偶数时,中间一项的二项式 系数 C 取得最大值;
当n为奇数时,中间两项的二项式系数 C 相等,且同时取得最大值。
n ?1 2 n
n 2 n

C

n ?1 2 n

? ? 1 4 ? 已知? x ? 的展开式中只有第 10 项系数最大 , 3 ? ? x ? ? 求第五项 n 解 依题意 , n为偶数 且 ? 1 ? 10, n ? 18 2
? T5 ? T4 ?1 ?
4 C18

n

? x?

18 ? 4 ?

?4 ? ?

1 ? ? ? 3060x 4 . x3 ? ?

4

变式:若将“只有第10项”改为“第10项” 呢?

例2 : 对于?a ? b ? 展开式, 下列说法正确的是
10

?1?展开式中二项式系数之 和为2 ?2?第6项的二项式系数最大 ?3?第5项或第7项的系数最大 ?4?第6项的系数最小

n

例3 :已知二项式?1 ? 2 x ? . 求 :
4

?1?二项展开式中二项式系 数的和; ?2?各项系数和; ?3?奇次项系数的和 ; ?4?系数最大的项
例4 : 求 x ? 3x ? 2 的展开式
2

?

?

5

中含x项的系数

求91 除以 100 的余数

92


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