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2011年全国高中数学联赛四川初赛试题


2011 年全国高中数学联赛四川初赛试题一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)

x2 y2 ? 2 =1 2 b 1、双曲线 a 的左、右准线 l1、l2 将线段 F1F2 三等分(其中 F1 、 F2 分别为双曲线的左、右焦 点) ,则该双曲线的离心率 e 等于( ) .
6 A、 2 3 3 C、 2
3 2

B、 3

D、 2 3

2、已知三次函数 f ( x) = ax + bx + cx + d , ( a, b, c, d ∈ R ), 命题 q :y = f ( x ) 的图像与 x 轴恰有一个交点. p 是 q 的 则 ( 命题 p :y = f ( x ) 是 R 上的单调函数; )

A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏.每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种 手势,且是相互独立的.设在一局中甲赢的人数为 ξ ,则随机变量 ξ 的数学期望 Eξ 的值为( )

1 A、 3

4 B、 9

2 C、 3

D、1

4、函数 f ( x ) = A、 3

x ? 5 + 24 ? 3 x 的最大值为(
B、3 C、 2 3

) D、 3 3

5、如图,边长为 2 的正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在的面成 60°角,M、N 分别是线段 AC 和 BF 上的 点,且 AM = FN ,则线段 MN 的长的取值范围是
F N A H M D C B E

1 [ , 2] A、 2
6、设数列

B、 [1, 2]

C、 [ 2, 2]

D、 [ 3, 2]

{a n }

为等差数列,数列

{bn }

b = a 2 + a3 满 足 : b1 = a1 , 2 ,

b3 = a 4 + a 5 + a 6

bn =2 3 {a } ,……,若 n →∞ n ,则数列 n 的公差 d 为(

lim



1 A、 2

B、1

C、2

D、4

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7、已知实数 x 满足 | 2 x + 1 | + | 2 x ? 5 |= 6 ,则 x 的取值范围是 .

8、设平面内的两个非零向量 a 与 b 相互垂直,且 | b |= 1 ,则使得向量 a + mb 与 a + (1 ? m)b 互相垂直的 所有实数 m 之和为 .

9、记实数等比数列

{an } 的前 n 项和为 S n ,若 S10 = 10, S30 = 70 ,则 S 40 =



10、设 x 为实数,定义 ?

x?

为不小于 x 的最小整数,例如 ?

π ? = 4 , ?? π ? = ?3 .关于实数 x 的方程

?3 x + 1? = 2 x ?

1 2 的全部实根之和等于



11、已知

(1 + 3 ) = a n + bn
n

an = 3 ,其中 a n , bn 为整数,则 n→+∞ bn lim



12、已知三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,且 SA=SB=SC=AB=2,设 S、A、B、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上,则点 O 到平面 ABC 的距离为 . 三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、已知 m > 0 ,若函数 f ( x ) = x + 100 ? mx 的最大值为 g (m) ,求 g (m) 的最小值.

x ∈ [0, ] 2 有最大值 5, 14、已知函数 f ( x ) = 2(sin x + cos x ) + m(sin x + cos x ) 在
4 4 4

π

求实数 m 的值.
2 P P 15、抛物线 y = x 与过点 P ( ?1, ?1) 的直线 l 交于 1 、 2 两点.

(I)求直线 l 的斜率 k 的取值范围;

1 1 2 + = PP PP PP2 PQ 的点 Q 的轨迹方程. (II) 求在线段 1 2 上满足条件 1

16、已知 m 为实数,数列

{a n }

的前 n 项和为

Sn

Sn =
,满足:

9 4 an ? × 3n + m 8 3 ,

an ≥


64 3 对任何的正整数 n 恒成立.
n

3k 3 ∑ S < 16 求证:当 m 取到最大值时,对任何正整数 n 都有 k =1 k .


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