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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-3)练习:2.3.2 离散型随机变量的方差]


选修 2-3

第二章

2.3

2.3.2

一、选择题 1 1.已知随机变量 X 的分布列为:P(X=k)= ,k=1、2、3,则 D(3X+5)=( 3 A.6 C.3 [答案] A 1 [解析] E(X)=(1+2+3)× =2, 3 1 2 D(X)=[(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2]× = , 3 3 ∴D(3X+5)=9D(X)=6. 2.若 X~B(n,p),且 E(X)=6,D(X)=3,则 P(X=1)的值为( A.3· 2 C.3· 2
-2

)

B.9 D.4

)

B.2

-4 -8

-10

D.2

[答案] C [解析] E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3, 1 ∴p= ,n=12, 2 1 1 11 - 则 P(X=1)=C1 ( ) =3· 2 10. 12·· 2 2 3.设随机变量 X 的概率分布列为 P(X=k)=pk· (1-p)1 k(k=0,1),则 E(X)、D(X)的值分


别是(

) B.p 和 p2 D.p 和(1-p)p

A.0 和 1 C.p 和 1-p [答案] D

[解析] 由 X 的分布列知, P(X=0)=1-p, P(X=1)=p, 故 E(X)=0×(1-p)+1×p=p, 易知 X 服从两点分布,∴D(X)=p(1-p). 4.(2013· 浙江余姚中学高二期中)已知随机变量 ξ 和 η,其中 η=10ξ+2,且 E(η)=20, 若 ξ 的分布列如下表,则 m 的值为( ξ P 47 A. 60 1 1 4 ) 2 m 3 n 4 1 12

37 B. 60

27 C. 60 [答案] A

1 D. 8

[解析] ∵E(η)=E(10ξ+2)=10E(ξ)+2=20, ∴E(ξ)=1.8 1 1 即:1× +2m+3n+4× =1.8, 4 12 73 ∴2m+3n= 60 1 1 2 又 m+n=1- - = 4 12 3 47 由①②得,m= . 60 5.随机变量 X~B(100,0.2),那么 D(4X+3)的值为( A.64 C.259 [答案] B [解析] 由 X~B(100,0.2)知随机变量 X 服从二项分布,且 n=100,p=0.2,由公式得 D(X)=np(1-p)=100×0.2×0.8=16,因此 D(4X+3)=42D(X)=16×16=256,故选 B. 6.已知 X 的分布列如下表: X P -1 a 0 b 1 c ) 2 5 18 B.256 D.320 ) ① ②,

1 且 a、b、c 成等比数列,E(X)= ,则 a=( 9 1 A. 6 1 C. 2 [答案] C 13 [解析] 由分布列的性质得 a+b+c= 18 1 5 1 ∵E(X)= ,∴-a+c+ = , 9 9 9 4 ∴a-c= , 9 又 a、b、c 成等比数列,∴b2=ac, 将②代入①、③得, 1 B. 3 2 D. 3



② ③

?2a+b=6, ? 4 ?b =a?a-9?.
2

7

④ ⑤

7 1 49 由④得 b= -2a,代入⑤得,a= 或 a= , 6 2 54 49 5 64 1 当 a= 时,a+ = >0,不合题意舍去,∴a= . 54 18 54 2 二、填空题 7.某射手击中目标的概率为 p,则他射击 n 次,击中目标次数 X 的方差为________. [答案] np(1-p) [解析] ∵X~B(n,p), ∴D(X)=np(1-p). 1 8.(2014· 浙江理,12)随机变量 ξ 的取值为 0、1、2,若 P(ξ=0)= ,E(ξ)=1,则 D(ξ) 5 =________. [答案] 2 5

[解析] 设 ξ=1 的概率为 P. 1 1 则 E(ξ)=0× +1×P+2(1-P- )=1, 5 5 3 ∴P= . 5 1 3 1 2 故 D(ξ)=(0-1)2× +(1-1)2× +(2-1)2× = . 5 5 5 5 9.(2013· 汶上高二检测)已知随机变量 X 的分布列为 X P 且 E(X)=1.1,则 D(X)=________. [答案] 0.49 0 1 5 1 m x 3 10

[解析]

?5+m+10=1, 由题意知? 1 3 m+x· =1.1, ?0×5+1· 10

1

3

1 ? ?m=2 1 1 3 解得? 所以 D(X)=(0-1.1)2× +(1-1.1)2× +(2-1.1)2× =0.49. 5 2 10 ? ?x=2. 三、解答题 10.(2013· 北京理,16)下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量

指数小于 100 表示空气质量优良, 空气质量指数大于 200 表示空气重度污染. 某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市,并停留 2 天.

(1)求此人到达当日空气重度污染的概率; (2)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望; (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) [解析] 设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市”(i=1,2,?,13), 1 根据题意,P(Ai)= ,且 Ai∩Aj=?(i≠j). 13 (1)设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则 B=A5∪A8, 2 所以 P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)= . 13 (2)由题意可知,X 的所有可能取值为 0、1、2,且 P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11) 4 =P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= , 13 P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13) 4 =P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= , 13 5 P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= . 13 所以 X 的分布列为: X P 0 5 13 1 4 13 2 4 13

5 4 4 12 故 X 的期望 E(X)=0× +1× +2× = . 13 13 13 13 (3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大.

一、选择题 3 11.某人射击一次击中的概率为 ,经过 3 次射击,此人至少有两次击中目标的概率为 5

(

) 81 A. 125 36 C. 125 [答案] A [解析] 该人 3 次射击,恰有两次击中目标的概率是
2 3 22 P1=C3 · ( ) ·, 5 5 3 3 3 三次全部击中目标的概率是 P2=C3 · ( ), 5

54 B. 125 27 D. 125

所以此人至少有两次击中目标的概率是 3 2 3 81 P=P1+P2=C2 ( )2·+C3 ( )3= . 3· 3· 5 5 5 125 12.甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品 1000 件,ξ 表示甲车床生产 1000 件产品 中的次品数,η 表示乙车床生产 1000 件产品中的次品数,经过一段时间的考察 ξ,η 的分布 列分别如表一,表二所示.据此判定( 表一 ξ P 表二 ξ P A.甲比乙质量好 C.甲与乙质量相同 [答案] B [解析] 由分布列可求甲的次品数期望为 E(ξ)=0.7,乙的次品数期望为 E(η)=0.7,进 而得 D(ξ)=(0-0.7)2×0.7+(1-0.7)2×0+(2-0.7)2×0.2+(3-0.7)2×0.1=1.21, D(η)=(0- 0.7)2×0.6+(1-0.7)2×0.2+(2-0.7)2×0.1+(3-0.7)2×0.1=1.01,故乙的质量要比甲好. 2 1 13.(2013· 海口高二检测)设 ξ 是离散型随机变量,P(ξ=x1)= ,P(ξ=x2)= ,且 x1<x2, 3 3 4 2 又已知 E(ξ)= ,D(ξ)= ,则 x1+x2 的值为( 3 9 5 A. 3 C.3 [答案] C ) 7 B. 3 11 D. 3 0 0.6 1 0.2 2 0.1 3 0.1 0 0.7 1 0 2 0.2 3 0.1 )

B.乙比甲质量好 D.无法判定

4 2 [解析] 由 E(ξ)= ,D(ξ)= 得, 3 9

?3x +3x =3, ? 4 2 4 1 2 +?x - ? ·= , ??x -3? · 3 3 3 9
1 2 1 2 2 2

2

1

4

?x =3, 解之得,? 2 ?x =3,
1 2

5

? ?x1=1, 或? ?x2=2. ?

?x1=1, ? ∵x1<x2,∴? ∴x1+x2=3. ? ?x2=2.

14.随机变量 X 的分布列如下: X P 15 若 E(X)= ,则 D(X)等于( 8 A. 7 32 ) 9 B. 32 55 D. 64 1 0.5 2 x 3 y

33 C. 64 [答案] D [解析] 由题意知, 15 ? ?x=8, ?1×0.5+2x+3y= 8 , ? ∴? 3 ?0.5+x+y=1, ? ?y=8. 1

15 1 15 1 15 3 55 ∴D(X)=(1- )2× +(2- )2× +(3- )2× = . 8 2 8 8 8 8 64 二、填空题 15.已知随机变量 ξ 的概率分布列如下: ξ P

4 0.5

a 0.1

9 b

已知 E(ξ)=6.3,随机变量 η~B(a,b),则 D(η)=__________________. [答案] 1.68 [解析] 由分布列的性质知 b=1-0.5-0.1=0.4, ∵E(ξ)=4×0.5+0.1×a+9×0.4=0.1a+5.6=6.3,∴a=7, ∵η~B(a,b),即 η~B(7,0.4),

∴D(η)=7×0.4×(1-0.4)=1.68. 三、解答题 16.(2013· 辽宁理,19)现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答. (1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都 3 4 是 ,答对每道乙类题的概率都是 ,且各题答对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题的 5 5 个数,求 X 的分布列和数学期望. [解析] (1)设事件 A=“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题”, - 则有 A =“张同学所取的 3 道题都是甲类题”. C6 1 - 因为 P( A )= 3 = , C10 6 - 5 所以 P(A)=1-P( A )= . 6 (2)X 所有的可能取值为 0、1、2、3. 3 2 21 4 P(X=0)=C0 ( )0· ( ) ·= ; 2· 5 5 5 125 3 2 11 3 0 2 2 4 28 P(X=1)=C1 ( )1· ( ) ·+C0 ( ) ·= ; 2· 2( ) · 5 5 5 5 5 5 125 3 2 01 3 1 2 1 4 57 P(X=2)=C2 ( )2· ( ) ·+C1 ( ) ·= ; 2· 2( ) · 5 5 5 5 5 5 125 3 2 0 4 36 P(X=3)=C2 ( )2· ( ) ·= . 2· 5 5 5 125 所以 X 的分布列为: X P 0 4 125 1 28 125 2 57 125 3 36 125
3

4 28 57 36 所以 E(X)=0× +1× +2× +3× =2. 125 125 125 125 17.(2014· 哈师大附中高二期中)现对某高校 16 名篮球运动员在多次训练比赛中的得分 进行统计,将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下.(如:落在区间 [10,15)内的频率/组距为(0.0125)规定分数在[10,20)、[20,30)、[30,40)上的运动员分别为三级 篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员,现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方 法选出 16 名运动员作为该高校的篮球运动员代表. (1)求 a 的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数; (2)若从篮球运动员代表中选出三人,求其中含有一级运动员人数 X 的分布列; (3)若从该校篮球运动员中有放回地选三人,求其中含有一级运动员人数 Y 的期望.

[解析] (1)由频率分布直方图知: (0.0625+0.0500+0.0375+a+2×0.0125)×5=1, ∴a =0.0250. 其中为一级运动员的概率为(0.0125+0.0375)×5=0.25, ∴选出篮球运动员代表中一级运动员为 0.25×16=4 人. (2)由已知可得 X 的可能取值分别为 0、1、2、3, C3 11 12 P(X=0)= 3 = , C16 28 C2 C1 33 12· 4 P(X=1)= 3 = , C16 70 C1 C2 9 12· 4 P(X=2)= 3 = , C16 70 P(X=3)= C3 1 4 , 3 = C16 140

∴X 的分布列为 X P 1 (3)由已知得 Y~B(3, ), 4 1 3 ∴E(Y)=np=3× = , 4 4 3 ∴恰有一级运动员人数 Y 的期望为 人. 4 0 11 28 1 33 70 2 9 70 3 1 140


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