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3.1.2 两条直线平行与垂直的判定课件(新人教版A必修2)1


复习回顾
1.在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交 时,取x轴作为基准, x轴正方向与直线l向上 方向之间所成的角α 叫做直线l的 倾斜角 2.倾斜角不是900的直线,它的倾斜角的正 切叫做这条直线的 斜率,常用k来表示.

k=tanα
k ? y 2 ? y1 x 2 ? x1 ( x1 ? x 2 )

( a

? 90 )

?

3 . 经 过 两 点 P1 ( x1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 )的 直 线 的 斜 率 公 式 :

复习回顾
1.在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交 时,取x轴作为基准, x轴正方向与直线l向上 方向之间所成的角α 叫做直线l的 倾斜角 2.倾斜角不是900的直线,它的倾斜角的正 切叫做这条直线的斜率 ,常用k来表示.

k=tanα
k ? y 2 ? y1 x 2 ? x1 ( x1 ? x 2 )

( a ? 90 )

?

3 . 经 过 两 点 P1 ( x1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 )的 直 线 的 斜 率 公 式 :

1.为了表示直线的倾斜程度,我们引入了直 线倾斜角与斜率的概念,并导出了计算斜率 的公式,即把几何问题转化为代数问题。 2.那么,我们能否通过直线l1、l2的斜率 k1、k2来判断两条直线的位置关系呢?
3.我们约定:若没有特别说明,说 “两条直线 l1与 l2”时,一般是指两 条不重合的直线。

思考:l1// l2时,k1与k2满足什么关系?
y
解 : 若 l1 // l 2 , 则 ? 1 ? ? 2 ? tan ? 1 ? tan ? 2? k 1 ? k 2
l1

l2

反 之 , 若 k 1 ? k 2 , 则 l1 // l 2

( 1 ) 对 于 两 条 不 重 合 的 直 线 l1 , l 2, 如 果 斜 率 存 在 , 则 有
?1
?2

l1 // l 2 ? k 1 ? k 2
x

o

( 2 ) 直 线 l1和 l 2 可 能 重 合 时 , 如 果 斜 率 存 在 , 则 有

? l1 // l 2 , k1 ? k 2 ? ? ? 或 l1与 l 2 重 合 .

例如,用斜率证明三个点共线时就需要用到这个结论.

例题讲解
例3. 已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断 直线BA与PQ的位置关系,并证明你的结论.
y

解:
Q A

直 线 B A的 斜 率 k B A ?

3?0 2 ? (?4) 2 ?1
? 1 ? ( ? 3)

?

1 2

直 线 P Q 的 斜 率 k PQ ?
P

?

1 2

? k B A ? k P Q ? 直 线 B A // P Q .
O

x

B

例4 .已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形 ABCD的形状,并给出证明.
y
A B 边 所 在 直 线 的 斜 率 k AB ? ? 1 ,

解:
D C

2 1 C D 边 所 在 直 线 的 斜 率 kCD ? ? , 2 3 B C 边 所 在 直 线 的 斜 率 k BC ? , 2 3 D A边 所 在 直 线 的 斜 率 k D A ? , 2

A

O
B

x

? k AB ? k CD , k BC ? k DA ,

? A B // C D , B C // D A

? 四 边 形 ABC D是 平 行 四 边 形 .

思 考 :1 ? l 2时 , k 1与 k 2 满 足 什 么 关 系 ? l
设 两 条 直 线 l1与 l 2的 倾 斜 角 分 别 为 ? 1与 ? 2 ? ? 1,? 2 ? 9 0 斜 率 分 别 为 k 1与 k 2 , 则
o

y
l2

? 2 ? ?1 ? 90
l1

o

? tan ? 2 ? tan ? ? 1 ? 9 0
x

o

???

1 tan ? 1

?1

?2

O

? k1 k 2 ? ? 1

探 究 : k 1 k 2 ? ? 1时 , l1与 l 2的 位 置 关 系 如 何 ? 当

垂直
由上我们得到,如果两条直线都有斜率,且 它们互相垂直,那么 它们的斜率之积等于-1;
反之,如果它们的斜率之积 等于-1,那么 它们互相垂直.

即 l1 ? l 2 ? k 1 k 2 ? ? 1

例5. 已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6),试 判断直线AB与PQ的位置关系.

解: 直 线 A B的 斜 率 k

AB

?

2 3
3 2

,
.

直 线 P Q的 斜 率 k P Q ? ?

? k AB k PQ

? 3? ? ? ? ? ? ? ? 1, 3 ? 2? 2

? 直 线 AB ? PQ.

例6 已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点,试 判断三角形ABC的形状.
y

解: A B 边 所 在 直 线 的 斜 率 k A B
C

? ?

1

,

B C 边 所 在 直 线 的 斜 率 k BC

2 ? 2,

? k AB k BC ? ? 1
B

O

x
A

? A B ? B C ,即 ? A B C ? 90

0

? ?ABC是 直 角 三 角 形.

补充练习:
1.若 A ? 3, 2 ? 、 B ? 6,1 ? 、 C ? a , 4 ? 三 点 共 线 , 则 a 的 值 等 于 多 少 ?

-3
2.点 M ?1, 2 ? 在 直 线 l 上 的 射 影 是 H ? ? 1, 4 ? , 求 直 线 l的 倾 斜 角 ?
3 . 在 平 行 四 边 形 A B C D 中 , 已 知 A ? 3 , - 2 ? 、 B ? 5, 2 ? 、 C ? - 1 , 4 ? , 求 D的坐标?

45

0

0 ? - 3, ?

作业设计:
P8 9 习 题 3 .1 A 组 6 , 7 , 8 B组 1,2,3,4,5,6


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