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江苏省启东中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文理)试题


江苏省启东中学 2015-2016 学年度第一学期期终考试

高二数学(文理)试卷
一、填空题: (本大题共 14 大题,每小题 5 分,共 70 分) 1. 已知命题 p : ?x ? R,sin x ? 1, 则 ?p 为 . 2. 复数

2?i ? 1 ? 2i



3. 女子国

际象棋世界冠军中国江苏选手侯逸凡与某计算机进行人机对抗赛,若侯逸凡获胜的概 率为 0. 65,人机和棋的概率为 0.25,那么侯逸凡不输的概率为________. 4.若命题 " ?x ? R, 使x ? (a ?1) x ? 1 ? 0" 是假命题,则实数 a 的取值范围是
2

. _ .

5. 若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一条准线方程是 y ? 1 ,则实数 m 的值是___ 2m m

6. 现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形,其中一个

a2 的某顶点恰好是另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间,有两 4
个棱长均为 a 的正方体,若其中一个的某顶点恰好是另一个的中心,则这两个正方体重叠部 分的体积恒为 7. 双曲线 .

x2 y2 ? ? 1 上的点 P 到点(5,0)的距离为 8.5,则点 P 到 16 9 左准线的距离为___ ____.
2

8.抛物线 x ? 4 y 的弦 AB 过焦点 F ,且 AB 的长为 6,则 AB 的中点 M 的 纵坐标为 . .

第 6 题图

9. 复数 z 满足 z ? 2 ? i ? 1 ,则 z ?1 ? 2i 的最小值为

10. 当 a 为任意实数时,直线(2a+3)x+y-4a+2=0 恒过定点 P,则过点 P 的抛物线的 标准方程是__________________. 11. 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可 能的.如果甲船停泊时间为 1 h,乙船停泊时间为 2 h,则它们中的任意一艘都不需要等待 码头空出的概率 .

12. 已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 且斜率为 2 的直线交椭圆 E 于 P、Q 两 点,若△PF1F2 为直角三角形,则椭圆 E 的离心率为________.

1 ? 9 ? 7 ? 17 , 13. 若 f ( n) 为 n 2 ? 1 (n ? N * ) 的各位数字之和, 如 142 ? 1 ? 197 , 则 f1 4 ( ) 1 7?



记 f1 (n) ? f (n) , f 2 (n) ? f ( f1 (n)) , ? , f k ?1 (n) ? f ( f k (n)) , k ? N * , 则

f2016 (8) ?

.

14. 设点 A 1 , A2 分别为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点,若在椭圆 C 上存在异于点 a 2 b2

A1 , A2 的点 P ,使得 PO ? PA 2 ,其中 O 为坐标原点,则椭圆 C 的离心率的取值范围
是 . 二、简答题: (本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (本小题 14 分)一个袋中有红、白两种球各若干个,现从中一次性摸出两个球,假设摸出 的两个球至少有一个红球的概率为 球白球各一个的概率. 7 13 ,至少一个白球的概率为 ,求摸出的两个球恰好红 15 15

16. (本小题 14 分)设命题 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a>0,
?x -x-6≤0, ? 命题 q:实数 x 满足? 2 ?x +2x-8>0. ?
2

2

2

(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

17. (本小题 15 分)从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b1 的 3 件产品中每次任取 1 件, 每次取出后不放回,连续取两次. (1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率; (2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,则取出的两件产品中 恰有一件次品的概率是多少?

1 18. (本小题 15 分) 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 , 2

? 3? 且经过点 M?1, ?. ? 2?
(1)求椭圆 C 的方程; → → → 2 (2)是否存在过点 P(2,1)的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B,满足PA·PB=PM ?若 存在,求出直线 l1 的方程;若不存在,请说明理由.

19. (本小题 16 分)已知关于 x 的绝对值方程|x +ax+b|=2,其中 a,b∈R. (1)当 a,b 满足什么条件时,方程的解集 M 中恰有 3 个元素? (2)在条件(1)下,试求以方程解集 M 中的元素为边长的三角形,恰好为直角三角形的 充要条件.

2

20. (本小题 16 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的一动点 P 到右焦点的最短距离为 a 2 b2

2 ? 2 ,且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P ? 4,0 ? , A, B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E ,证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ; (3)在(2)的条件下,过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M , N 两点,
???? ? ???? 求 OM ? ON 的取值范围.

高二数学(附加题)
21.(本小题 10 分)已知 P 是椭圆 → → →

x2 y 2 ? ? 1 上的任意一点,F1、F2 是它的两个焦点,O 为坐标 9 4

原点,OQ=PF1+PF2,求动点 Q 的轨迹方程.

22.(本小题 10 分)已知 ( x ?

2
x2

) n (n ? N* ) 的展开式中第五项的系数与第三项的系数
3 2

的比是 10∶1.求展开式中含 x 的项.

23.(本小题 10 分)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC, PA ? AB, ?ABC ? 60? , ?BCA ? 90? , 点 D , E 分别在棱 PB, PC 的中点,求 AD 与平面 PAC 所成的角的正弦值的大小; P

D E

A C

B

24.(本小题 10 分)是否存在 a、b、c 使得等式 1·2 +2·3 +?+n(n+1) = 都成立?证明你的结论.
2 2 2

n(n ? 1) 2 (an +bn+c) 对于一切正整数 n 12

江苏省启东中学 2015-2016 学年度第一学期期终考试
答案
1. ?x ? R,sin x ? 1 4. ?1≤x≤3 7. 2. ?i 3. 0.9

5. -3 8.2 11.

6. a

1 8

3

2 5

9. 3 2 ? 1

1 2 2 10. y =32x 或 x =- y 2

1013 1152

12.

5 .或 5 ? 2 3

13.8

14. (

2 ,1) 2

15.解:设摸到的两个球均为红色的事件为 A,一红一白的事件为 B,均为白球的事件为 C. 显然,A、B、C 为互斥事件,

? ? 13 ? 依题意:? P(B+C)= , 15 ? ?P(A+B+C)=1
7 P(A+B)= , 15

? ? 1 13 ?P(B)= . ?P(B)+P(C)=15 3 , ? ?P(A)+P(B)+P(C)=1
7 P(A)+P(B)= , 15 1 即两个球恰好红球白球各一个的概率为 . 3 16. 设命题 p:实数 x 满足 x
2

?x -x-6≤0, ? -4ax+3a <0,其中 a>0,命题 q:实数 x 满足? 2 ?x +2x-8>0. ?
2

2

(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 解 (1)由 x -4ax+3a <0 得(x-3a)(x-a)<0,
2 2

又 a>0,所以 a<x<3a, 当 a=1 时,1<x<3,

? ?x -x-6≤0 由? 2 ,得 2<x≤3, ?x +2x-8>0 ?

2

若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是{x|2<x<3}; (2)设 A={x|x -4ax+3a <0,a>0},
2 ?x -x-6≤0 ? B={x|? 2 }, ? ?x +2x-8>0 2 2

则 B ? A,又 A={x|a≤x≤3a},B={x|2<x≤3}, 则 0<a≤2,且 3a≥3,(a-1)+(3a-3) ≠0 所以实数 a 的取值范围是{a|1<a≤2}. 17. 从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b1 的 3 件产品中每次任取 1 件,每次取出后不放回,连续 取两次. (1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率; (2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,则取出的两件产品中 恰有一件次品的概率是多少? 解析:列出每种情况的基本事件总数,然后找出满足条件的基本事件的个数进行计算即可. 于是:(1)每次取一件,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件空间 为 Ω ={(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)},其中小括号内左边的字 母表示第 1 次取出的产品,右边的字母表示第 2 次取出的产品.Ω 由 6 个基本事件组成,而且可 以确定这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“取出的两件中, 恰好有一件次品”这一事件, 则 A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}. 4 2 事件 A 由 4 个基本事件组成,所以 P(A)= = . 6 3 (2)有放回地连续取出两件,其一切可能的结果组成的基本事件空间为 Ω ={(a1,a1),(a1,
2

a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)},由 9 个基本事件
组成.由于每一件产品被取到的机会均等,因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的.用 B 表示“恰有一件次品”这一事件,则 B={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}. 4 事件 B 由 4 个基本事件组成,所以 P(A)= . 9 1 ? 3? 18. 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,且经过点 M?1, ?. 2 ? 2? (1)求椭圆 C 的方程;

→ → →2 (2)是否存在过点 P(2,1)的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B,满足PA·PB=PM ?若存在, 求出直线 l1 的方程;若不存在,请说明理由. 解析 (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),

x2 y2 a b

? ? 由题意得?c 1 = , a 2 ? ?a =b +c ,
1
2 2 2 2

9 + 2=1, a 4b 解得 a =4,b =3.
2 2

故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)假设存在直线 l1 且由题意得斜率存在,设满足条件的方程为 y=k1(x-2)+1,代入椭圆 C 的 方程得, (3+4k1)x -8k1(2k1-1)x+16k1-16k1-8=0.因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,
2 2 2

x2 y2

B,
设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 所以 Δ =[-8k1(2k1-1)] -4(3+4k1)(16k1-16k1-8)=32(6k1+3)>0, 1 所以 k1>- . 2 8k1?2k1-1? 16k1-16k1-8 又 x1+x2= ,x1x2= , 2 2 3+4k1 3+4k1 → → →2 因为PA·PB=PM , 5 即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)= , 4 5 2 2 所以(x1-2)·(x2-2)(1+k1)=|PM| = . 4 5 2 即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k1)= . 4 1? ? 4+4k1 5 1 ?16k1-16k21-8-2·8k1?2k1- +4?(1+k2 所以? 2 1)= 2= ,解得 k1=± . 3+4k1 3+4k1 4 2 ? 3+4k1 ? 1 1 因为 k1>- ,所以 k1= . 2 2 1 于是存在直线 l1 满足条件,其方程为 y= x. 2 19. 已知关于 x 的绝对值方程|x +ax+b|=2,其中 a,b∈R.
2 2 2 2 2 2 2

(1)当 a,b 满足什么条件时,方程的解集 M 中恰有 3 个元素? (2)试求以方程解集 M 中的元素为边长的三角形,恰好为直角三角形的充要条件. 解 (1)原方程等价于 x +ax+b=2,
2 2

① ②

或 x +ax+b=-2, 由于 Δ 1=a -4b+8>a -4b-8=Δ 2, ∴Δ 2=0 时,原方程的解集 M 中恰有 3 个元素,即 a -4b=8;
2 2 2

(2)必要性:由(1)知方程②的根 x=- ,方程①的根 x1=- -2,x2=- +2, 2 2 2 如果它们恰为直角三角形的三边,即(- ) +(- -2) =(- +2) , 2 2 2 解得 a=-16,b=62. 充分性:如果 a=-16,b=62,可得解集 M 为{6,8,10},以 6,8,10 为边长的三角 形恰为直角三角形. ∴a=-16,b=62 为所求的充要条件.

a

a

a

a

2

a

2

a

2

20. 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的一动点 P 到右焦点的最短距离为 2 ? 2 ,且右 a 2 b2

焦点到右准线的距离等于短半轴的长. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P ? 4,0 ? , A, B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E ,证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ;
???? ? ???? (3)在(2)的条件下,过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M , N 两点,求 OM ? ON 的取值

范围.
?a ? c ? 2 ? 2 ? ? ?a ? 2 20.解: (1)由题意知 ? a 2 , 解得 ? , ? ? ?c ?b ?b ? 2 ?c 2 x y2 故椭圆 C 的方程为 ? ??????????4 分 ?1. 4 2 (2)由题意知直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y ? k ( x ? 4) .
? y ? k ( x ? 4), ? 由 ? x2 y 2 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 16k 2 x ? 32k 2 ? 4 ? 0 . ? 1. ? ? ?4 2 设点 B( x1 , y1 ) , E ( x2 , y2 ) ,则 A( x1 , ? y1 ) .



y2 ? y1 ( x ? x2 ) . x2 ? x1 y (x ? x ) 令 y ? 0 ,得 x ? x2 ? 2 2 1 . y2 ? y1

直线 AE 的方程为 y ? y2 ?

将 y1 ? k ( x1 ? 4) , y2 ? k ( x2 ? 4) 代入, 2 x x ? 4( x1 ? x2 ) 整理,得 x ? 1 2 . ② x1 ? x2 ? 8 由①得 x1 ? x2 ?

16k 2 32k 2 ? 4 , 代入② x x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
??????????10 分

整理,得 x ? 1 . 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q(1,0) . (3)当过点 Q 直线 MN 的斜率存在时,
? y ? m ( x ? 1), ? 由 ? x2 y 2 ? 1. ? ? ?4 2

设直线 MN 的方程为 y ? m( x ? 1) , M ( xM , yM ) , N ( xN , yN ) . 得 (2m2 ? 1) x2 ? 4m2 x ? 2m2 ? 4 ? 0 .

4m2 2m2 ? 4 3m2 , , . x x ? y y ? ? M N M N 2m2 ? 1 2m2 ? 1 2m2 ? 1 ???? ? ???? 2m2 ? 4 3m2 m2 ? 4 1 7 1 则 OM ? ON ? xM xN ? yM yN ? . ? ? ? ?? ? ? 2 2m2 ? 1 2m2 ? 1 2m2 ? 1 2 2 2m ? 1 1 7 1 1 因为 m2 ? 0 ,所以 ?4 ≤ ? ? ? 2 ?? . 2 2 2m ? 1 2 ???? ? ???? 1 所以 OM ? ON ?[?4, ? ) . 2 MN Q 当过点 直线 的斜率不存在时,其方程为 x ? 1 .
∴ xM ? xN ?
6 6 ) , N (1, ? ). 2 2 ???? ? ???? 1 此时 OM ? ON ? ? . 2 ???? ? ???? 1 所以 OM ? ON 的取值范围是 [?4, ? ] . 2

解得 M (1,

??????????16 → →

x2 y 2 ? ? 1 上的任意一点,F1、F2 是它的两个焦点,O 为坐标原点,OQ=PF1+ 21. 已知 P 是椭圆 9 4


PF2,求动点 Q 的轨迹方程.
→ → → → → → → → 解析 由OQ=PF1+PF2, 又PF1+PF2=PM=2PO=-2OP,

→ 1 1 设 Q(x,y),则OP=- OQ=- (x,y) 2 2 =?- ,- ?, 2? ? 2



? x

y?

? ? 即 P 点坐标为?- ,- ?,又 P 在椭圆上, 2? ? 2
x y

x y (? ) 2 (? ) 2 2 ? 2 ? 1. 则 9 4


x2 y 2 ? ?1。 36 16
x

2 n * 22. 已知( x- 2) (n∈N )的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 10∶1. 3 求展开式中含 x 的项. 2 解:解:由题意知,第五项系数为 Cn·(-2) , 第三项的系数为 Cn·(-2) , Cn·?-2? 10 则有 2 , 2= Cn·?-2? 1 化简得 n -5n-24=0, 解得 n=8 或 n=-3(舍去). 通项公式 Tr+1=C8·( x)
r
8-r 2 4 4 2 2 4 4

2 r ·(- 2)

x

8 -r r r =C8·(-2) ·x -2r,(r=0,1,?,8), 2 令 8-r 3 -2r= ,则 r=1, 2 2
3 3

故展开式中含 x 的 2 项为 T2=-16x 2 .

23. 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC, PA ? AB, ?ABC ? 60 , ?BCA ? 90 , P 点 D , E 分别在棱 PB, PC 的中点,求:

?

?

AD 与平面 PAC 所成的角的正弦值的大小;
E

D

A

B

解:如图,以 A 为原煤点建立空间直角坐标系 A ? xyz , 设 PA ? a ,由已知可得

a 3 3 a 3a a A(0,0,0), B(? , a,0) , C (0, a, 0), P(0, 0, a) , D(? , , ) 2 2 2 4 4 2 ??? ? ??? ? ?1 ? AP ? ? 0,0, a ? , BC ? ? a,0,0 ? ?2 ?
∵ AP ? ? 0,0, a ? , BC ? ?
?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ?1 ? a,0,0 ? ,∴ BC ? AP ? 0 ,∴BC⊥AP. ?2 ?

又∵ ?BCA ? 90 ,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面 PAC.

??? ? a ? 平面 PAC 的一个法向量 BC ? ( , 0, 0) 2
设 AD 与平面 PAC 所成的角为 ? ,

???? ???? ? 2 ? sin ? ? cos ? AD, BC ? ? 4
AD 与平面 PAC 所成的角的正弦是

2 4
n(n ? 1) 2 (an +bn+c) 对 12

24. 是否存在 a、 b、 c 使得等式 1· 2 +2· 3 +?+n(n+1) = 于一切正整数 n 都成立?证明你的结论。 解 假设存在 a、b、c 使题设的等式成立,

2

2

2

1 ? ?4 ? 6 ( a ? b ? c ) ?a ? 3 ? 1 ? ? 这时令 n=1,2,3,有 ?22 ? (4a ? 2b ? c) ? ?b ? 11 2 ? ?c ? 10 ? ?70 ? 9a ? 3b ? c ? ?
于是,对 n=1,2,3 下面等式成立 1·2 +2·3 +?+n(n+1) =
2 2 2

n(n ? 1) (3n 2 ? 11n ? 10) 12

记 Sn=1·2 +2·3 +?+n(n+1) (1)n=1 时,等式以证,成立。

2

2

2

k (k ? 1) 2 (3k +11k+10) 12 k ( k ? 1 ) 2 2 那么 Sk+1=Sk+(k+1)(k+2) = (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2) 2 (k ? 1)( k ? 2) (k ? 1)( k ? 2) 2 2 = (3k +5k+12k+24)= [3(k+1) +11(k+1)+10] 12 12 也就是说,等式对 n=k+1 也成立 综上所述,当 a=3,b=11,c=10 时,题设对一切自然数 n 均成立
(2)设 n=k 时上式成立,即 Sk=


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