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均值不等式应用(容易版2)


均值不等式应用
一.均值不等式

1.(1)若 a, b ? R ,则 a 2 ? b 2 ? 2ab
2. (1)若 a, b ? R * ,则

2 2 (2)若 a, b ? R ,则 ab ? a ? b (当且仅当 a ? b 时取“=”)

2

a?b ? ab 2<

br />2

(2)若 a, b ? R * ,则 a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时取“=) ” (当且仅当 a ? b 时取“=) ”

a ?b? (3)若 a, b ? R * ,则 ab ? ? ? ? ? 2 ?
3.若 x ? 0 ,则 x ?

1 1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=) ” ;若 x ? 0 ,则 x ? ? ?2 (当且仅当 x ? ?1 时取“=) ” x x
(当且仅当 a ? b 时取“=) ”

若 x ? 0 ,则 x ? 1 ? 2即x ? 1 ? 2或x ? 1 ? -2 x x x 3.若 ab ? 0 ,则 a ? b ? 2 b a 若 ab ? 0 ,则 4.若 a, b ? R ,则 (

(当且仅当 a ? b 时取“=) ” (当且仅当 a ? b 时取“=) ”

a b a b a b ? ? 2即 ? ? 2或 ? ? -2 b a b a b a

a ? b 2 a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取“=) ” ) ? 2 2

注: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、 比较大小、 求变量的取值范围、 证明不等式、 解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例 1:求下列函数的值域 (1)y=3x 2+ 1 2x 2 ≥2 1 x 1 (2)y=x+

x

解: (1)y=3x 2+

1 2x 2

3x 2·

1 2x 2



6 ∴值域为[

6 ,+∞) 1 x· x

(2)当 x>0 时,y=x+ =-2

≥2

1 1 1 x· =2;当 x<0 时, y=x+ = -(- x- )≤-2 x x x

∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)

解题技巧:

技巧一:凑项 例 1:已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

1 解:因 4 x ? 5 ? 0 ,所以首先要“调整”符号,又 (4 x ? 2)? 不是常数,所以对 4 x ? 2 要进行拆、凑项, 4x ? 5 5 1 1 ? ? ? x ? ,? 5 ? 4 x ? 0 ,? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ?
当且仅当 5 ? 4 x ? 技巧二:凑系数 例 1. 当 解析:由 可。 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。 知, ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式

1 ,即 x ? 1 时,上式等号成立,故当 x ? 1 时, ymax ? 1 。 5 ? 4x

子积的形式,但其和不是定值。注意到 2 x ? (8 ? 2 x) ? 8 为定值,故只需将 y ? x(8 ? 2 x) 凑上一个系数即



,即 x=2 时取等号 当 x=2 时, y ? x(8 ? 2 x) 的最大值为 8。

评注: 本题无法直接运用均值不等式求解, 但凑系数后可得到和为定值, 从而可利用均值不等式求最大值。 变式:设 0 ? x ? 解:∵ 0 ? x ?

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2
2 3 2x ? 3 ? 2x ? 9 ∴ 3 ? 2 x ? 0 ∴ y ? 4 x(3 ? 2 x) ? 2 ? 2 x(3 ? 2 x) ? 2? ? ? ? 2 2 2 ? ?

当且仅当 2 x ? 3 ? 2 x, 即 x ?

3 ? 3? ? ? 0, ? 时等号成立。 4 ? 2?

技巧三: 分离
x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例 3. 求 y ? x ?1
解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。



,即

时, y ? 2 (x ? 1) ?

4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号)。 x ?1

技巧四:换元
解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值。

(t ? 1)2 ? 7(t ? 1 ) +10 t 2 ? 5t ? 4 4 = ? t ? ?5 t t t 4 当 ,即 t= 时, y ? 2 t ? ? 5 ? 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。 t y?
技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数 f ( x) ? x ?

a 的单调性。 x

例:求函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

2 解:令 x 2 ? 4 ? t (t ? 2) ,则 y ? x ? 5 ? x2 ? 4

x2 ? 4 ?

1 ? t ? (t ? 2) t x ?4
2

1

因 t ? 0, t ? ? 1 ,但 t ? 解得 t ? ?1 不在区间 ?2, ??? ,故等号不成立,考虑单调性。 因为 y ? t ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,所以在其子区间 ?2, ??? 为单调递增函数,故 y ? 所以,所求函数的值域为 ? , ?? ? 。 练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值.

1 t

1 t

1 t

5 。 2

?5 ?2

? ?

1 x 2 ? 3x ? 1 ,x ?3 , ( x ? 0) (2) y ? 2 x ? (1) y ? x ?3 x
2.已知 0 ? x ? 1 ,求函数 y ? 条件求最值 1.若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 a ? 3b 的最小值是 变式:若 log4 x ? log4 y ? 2 ,求 6. .

(3)

y ? 2sin x ?

1 , x ? (0, ? ) sin x

x(1 ? x) 的最大值.;3. 0 ? x ?

2 ,求函数 y ? x(2 ? 3x) 的最大值. 3

1 1 ? 的最小值.并求 x,y 的值 x y

技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 。 2:已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y
1 9 ? ? ? ? 1 ,? x ? y ? ? 1 ? 9 ? ? x ? y ? ? 2 9 2 xy ? 12 x y x y xy ? ?


错解 :? x ? 0, y ? 0 ,且 ..

? x ? y ?min ? 12



错因:解法中两次连用均值不等式,在 x ? y ? 2 xy 等号成立条件是 x ? y ,在 1 ? 9 ? 2 9 等号成立
x y xy

条件是

1 9 ? 即 y ? 9 x ,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用均值不等式处理问题时,列出 x y

等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。

? 1 9 ? y 9x 1 9 正解:? x ? 0, y ? 0, ? ? 1 ,? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? ? 10 ? 6 ? 10 ? 16 x y ? x y? x y

当且仅当

1 9 y 9x ? 时,上式等号成立,又 ? ? 1 ,可得 x ? 4, y ? 12 时, ? x ? y ?min ? 16 。 x y x y
?

变式: (1)若 x, y ? R 且 2 x ?

y ? 1 ,求 1 ? 1 的最小值
x y

? (2)已知 a, b, x, y ? R 且 a ? b ? 1 ,求 x x y

? y 的最小值
1+y 2 的最大值.

技巧七、已知 x,y 为正实数,且 x 2+

y2
2

=1,求 x

分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式 ab≤ 1 2

a 2+b 2
2

。 1+y 2 2· = 2 1 2 y2 + )2 2 2 1 2 y2 2 2 +

同时还应化简

1+y 2 中 y2 前面的系数为

, x

1+y 2 =x

2 x·

+ 1 2

y2
2

下面将 x,

1 2



y2
2

分别看成两个因式: x· 1 2

1 2



y2
2

x 2+( ≤

x 2+ =

3 = 4

即x

1+y 2 =

2 ·x



y2
2



3 4

2 1

技巧八:已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y=

ab

的最小值.

分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调 性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条 件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式 的途径进行。 30-2b 法一:a= , b+1

ab=

30-2b

b+1

·b=

-2 b 2+30b

b+ 1

由 a>0 得,0<b<15 -2t 2+34t-31 16 16 令 t=b+1,1<t<16,ab= =-2(t+ )+34∵t+ ≥2 16

t

t

t



t

=8

∴ ab≤18

∴ y≥

1 18

当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立。 2 ab ∴ 30-ab≥2 2 ≤u≤3 2 2 ab

法二:由已知得:30-ab=a+2b∵ a+2b≥2 令 u=

ab

则 u2+2

2 u-30≤0, -5



ab ≤3 2 ,ab≤18,∴y≥

1

18

点评:①本题考查不等式

a?b ? ab(a, b ? R ?) 的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等 2

式 ab ? a ? 2b ? 30 出发求得 ab 的范围,关键是寻找到 a ? b与ab 之间的关系,由此想到不等 (a, b ? R ?) 式

a?b ? ab(a, b ? R ?) ,这样将已知条件转换为含 ab 的不等式,进而解得 ab 的范围. 2

变式:1.已知 a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求 a+b 的最小值。 2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。 技巧九、取平方 5、已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最值. ≤

解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系, 3x + 2y ≤ 3x )2+(

a+ b
2

a 2+b 2
2

,本题很简单

2



2y )2 =

2

3x+2y =2

5

解法二:条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和为 定值”条件靠拢。 W>0,W2=3x+2y+2 ∴ W≤ 20 =2 3x · 5 2y =10+2 3x · 2y ≤10+( 3x )2·( 2y )2 =10+(3x+2y)=20

变式: 求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。 2 2 解析:注意到 2 x ? 1 与 5 ? 2 x 的和为定值。

y2 ? ( 2x ?1 ? 5 ? 2x )2 ? 4 ? 2 (2x ?1)(5 ? 2x) ? 4 ? (2x ?1) ? (5 ? 2x) ? 8
又 y ? 0 ,所以 0 ? y ? 2 2 当且仅当 2 x ? 1 = 5 ? 2 x ,即 x ?

3 时取等号。 2

故 ymax ? 2 2 。

评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式创造了条件。 总之,我们利用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积极 创造条件利用均值不等式。 应用二:利用均值不等式证明不等式 1.已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a
2

? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca

1)正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc

例 6:已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ?
?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

分析:不等式右边数字 8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“ 2”连乘,又
1 1 ? a b ? c 2 bc ,可由此变形入手。 ?1 ? ? ? a a a a

解:? a、b、c ? R , a ? b ? c ? 1 。?
?

1 2 ac 1 1 1 ? a b ? c 2 bc 2 ab 。同理 ? 1 ? , ?1 ? 。 ?1 ? ? ? b b a a a a c c

上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得

1 ? 1 ?? 1 ?? 1 ? 2 bc 2 ac 2 ab ? ? ? 8 。当且仅当 a ? b ? c ? 时取等号。 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 3 a b c ? a ?? b ?? c ?
应用三:均值不等式与恒成立问题 例:已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y 1 9 x ? y 9x ? 9 y 10 y 9 x ? ? 1 ,? ? ? 1. ? ? ? ?1 x y kx ky k kx ky

解:令 x ? y ? k , x ? 0, y ? 0,

?1 ?

10 3 ? 2 ? 。? k ? 16 , m ? ? ??,16? k k

应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例:若 a ? b ? 1, P ?

1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,则 P, Q, R 的大小关系是 2 2 1 分析:∵ a ? b ? 1 ∴ lg a ? 0, lg b ? 0 Q ? ( lg a ? lg b) ? lg a ? lg b ? p 2 a?b 1 R ? lg( ) ? lg ab ? lg ab ? Q ∴R>Q>P。 2 2 lg a ? lg b , Q ?

.


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