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吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 对数与对数函数学案 理


"吉林省东北师范大学附属中学 2015 届高考数学一轮复习 对数 与对数函数学案 理
知识梳理: (阅读教材必修 1 第 62 页—第 76 页) 1、 对数与对数的运算性质 (1) 、一般地,如果 x= (a>0,且 ) 那么数 x 叫做以 a 为底 的对数,记做 "

,其中 a 叫做对数的底, 叫做对数的真数。 记为

lgN, 以 e 为底的对数称为

(2) 、以 10 为底的对数叫做常用对数,并把 自然对数,并把 记为 lnN.

(3) 、根据对数的定义,可以得到对数与指数和关系:

(4) 、零和负数没有对数; (5) 、对数的运算性质:

=1;

=0;

=N

2、 对数函数与对数函数的性质 (1) 、一般地,我们把函数 f(x)= 变量,函数的定义域是(0,+ (2) 、对数函数的图象及性质 图象的性质主要指①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线 图象分 a 1 与 a<1 两种情况。
1

)叫做对函数,其中 x 是自 。

3、 反 函 数 : 对 数 函 数 f(x)=

f(x)=

) 与 指 数 函 数

)互为反函数。原函数的定义域是反函数的值域,原函数

的值域是反函数的定义域。互为反函数的图象在同一坐标系关于直线 y=x 对称。 一、 题型探究

探究一:对数的运算 例 1: 【2014 辽宁高考理第 3 题】已知 a ? 2 3 , b ? log 2
? 1

1 1 , c ? log 1 ,则( 3 2 3



A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

C. c ? a ? b

D. c ? b ? a

例 2:已知

=a ,

=b ,用 a, b 表示

探究二:对数函数及其性质 例 3: 【2014 江西高考理第 2 题】函数 f ( x) ? ln(x ? x) 的定义域为(
2



A. (0,1)

B. [0,1]

C. (??,0) ? (1,??)

D. (??,0] ? [1,??)
2

例 4: 已知

, 若函数 y=

的定义域为 R,

函数恒为正数,求实数 a 的取值范围。 例 5:下列关系 中,成立的是 (A) 、lo > > (B) > > lo

(C) lo

>

>

(D)

lo

>

探究三、应用对数函数的单调性解方程、不等式问题 例 6:已知 , ,且 <1,则 x 的取值范围是 。

例 7: 【2014 陕西高考理第 11 题】已知 4 ? 2, lg x ? a, 则 x =________.
a

3

四、反思感悟

五、 课时作业 对数与对数函数 一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后 的括号内.) 1.函数 y=log1(2x -3x+1)的递减区间为(
2 2

)

A.( 1,+ ∞)

3? ? B.?-∞, ? 4? ?

?1 ? C.? ,+∞? 2 ? ?

1? ? D.?-∞, ? 2? ?

? ? 2.已知函数 f(x)=?x≥4, f(x+1), ? ?x<4,
A. 1 3 1 B. 6 1 C. 12

?1?x, ?2? ? ?

)则 f(2+log23)的值为(

)

1 D. 24
a

3. 【2014 浙江高考

理第 7 题】在同意直角坐标系中,函数 f ( x) ? x ( x ? 0), g ( x) ? loga x 的图像可能 是( )
4

. 4. 【2014 陕西高考理第 7 题】下列函数中,满足“ f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ”的单调 (A)f ? x ? ? x
x
1

递增函数是(



1 2

(B)f ? x ? ? x

3

?1? (C)f ? x ? ? ? ? ?2?

x

(D) f ? x ? ? 3

5.(2010·全国Ⅰ)设 a=log32,b=ln2,c=5 2,则( A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a



)

1 1 6.(2010·浙江)设函数的集合 P={f(x)=log2(x+a)+b|a=- ,0, ,1;b 2 2 1 1 =-1,0,1},平面上点的集合 Q={(x,y)|x=- ,0, ,1;y=-1,0,1},则在同 2 2 一直角坐标系中,P 中函数 f(x)的图象恰好经过 Q 中两个点的函数的个数是( A.4 B.6 C.8 D.10 )

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的 横线上.) 7.函数 y= log0.5(4x -3x)的定义域是________. 8 .(2010·潍坊检测 ) 函数 f(x) = ln ________.
5
2

1+ax (a≠2)为奇函数,则实数 a 等于 1+2x

9 .已知 f(3 ) = 4xlog23 + 233 ,则 f(2) + f(4) + f(8) +?+ f(2 ) 的值等于 ________.

x

8

?1? lg(ax2 - x + 1) 的值域是 (0 ,+∞),则实数 a 的取值范围是 10 .若函数 f(x) = ? ? ?2?
________. 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或 推演步骤.) 11.已知 f(x)=log4(2x+3- x ), (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)求函数 f(x)的最大值,并求取得最大值时的 x 的值. 12.已知 a>0,a≠1,f(logax)=
2

a(x2-1) .试判断 f(x)在定义域上是否为单调函 x(a2-1)

数?若是,是增函数还是减函数?若不是,请说明理由. 13.已知函数 f(x)=loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值 为 1?如果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由 .

6

课时作业提示:

3.答案:D 解析:函数 y ? x
a

? x ? 0? ,与 y ? loga x ? x ? 0 ? ,答案A没有幂函数图像,答案B

y ? xa ? x ? 0? 中 a ? 1 , y ? loga x ? x ? 0? 中 0 ? a ? 1 ,不符合,答案C y ? xa ? x ? 0? 中 0 ? a ? 1 , y ? loga x ? x ? 0? 中 a ? 1 ,不符合,答案D y ? xa ? x ? 0? 中 0 ? a ? 1 , y ? loga x ? x ? 0? 中 0 ? a ? 1 ,符合,故选D
考点:函数图像. 4.

7

1 ln2 1 1 1 - 5.解析:a=log32= <ln2=b,又 c=5 2= < ,a=log32>log3 3= ,因此 ln3 2 5 2

c<a<b,故选 C.
1 ? 1? 6.解析:集合 P 中的元素共 12 个.当 a=- 时,f1(x)=log2?x- ?-1,f2(x) 2 ? 2?

? 1? ? 1? =log2?x- ?,f3(x)=log2?x- ?+1,当 x=1 时,这三个函数都不可能经过集合 Q ? 2? ? 2?
中的两个点;当 a=0 时,f4(x)=log2x-1,f5(x)=log2x,f6(x)=log2x+1,此时只 1 ? 1? 有后面两个函数恰好经过集合 Q 中的两个点; 当 a= 时, f7(x)=log2?x+ ?-1, f8(x) 2 ? 2?

? 1? f (x)=log ?x+1?+1, =log2?x+ ?, 此时只有后面两个函数经过集合 Q 中的两个点; 9 2? ? ? 2? ? 2?
当 a=1 时,f10(x)=log2(x+1)-1,f11(x)=log2(x+1),f12(x)=log2(x+1)+1, 此时 f10(x)经过集合 Q 中的两个点(0,-1),(1,0),f11(x)经过集合 Q 中的三个点

?-1,-1?,(0,0),(1,1),函数 f (x)经过集合 Q 中的点?-1,0?,(0,1).综上可 ? 2 ? 12 ? 2 ? ? ? ? ?
知集合 P 中只有 6 个元素满足题意.答案:B 7. 解 析 : 由 题 意 知 , log0.5(4x - 3x)≥0 = log0.51 , 由 于 0<0.5<1 , 所 以
?4x -3x>0, ? ? 2 ? ?4x -3x≤1.
2 2

? 1 ? ?3 ? 从而可得函数的定义域为?- ,0?∪? ,1?. ? 4 ? ?4 ?

8

1-ax 1+ax 1-ax 1+ax 8.解析:依题意有 f(-x)+f(x)=ln +ln =0,即 · =1, 1- 2 x 1+2x 1-2x 1+2x 故 1-a x =1-4x ,解得 a =4,但 a≠2,故 a=-2. 9.解析:∵f(3 )=4xlog23+233=4log23 +233, ∴f(2)+f(4)+?+f(2 )=4(1+2+?+8)+233×8=2008.
8 2 2 2 2

x

x

?1?t 2 10.解析:令 t=lg(ax -x+1),则 y=? ? 的值域是(0,+∞),∴t 应取到每 ?2?
一个实数,即函数 t=lg(ax -x+1)的值域为 R. 当 a=0 时,t=lg(-x+1)的值域为 R,适合题意, 当 a≠0 时,应有?
?a>0, ? ? ?1-4a≥0.
2

1 1 ? 0<a≤ .综上,a 的取值范围是 0≤a≤ . 4 4

11.解:(1)单调递增区间为(-1,1],递减区间为[1,3) (2)因为 μ =-(x-1) +4≤4,所以 y=log4μ ≤log44=1, 所以当 x=1 时,f(x)取最大值 1. 评析:在研究函数的性质时,要在定义域内研究问题,定义 域“优先”在对数函 数中体现的更明确. 12.解:用换元法求出 f(x)的解析式,由于其中含有字母,故需讨论. 设 t=logax,则 x=a ,
t
2

a2t-1 a a t -t x -x ∵f(t)= 2 · t 即 f (t)= 2 (a -a ).∴f(x)= 2 (a -a ). a -1 a a -1 a -1 a f(x)的定义域是(-∞,+∞),设 x1<x2,则 f(x1) - f(x2) =
· a -1
2

a [(ax1 - a - x1) - (ax2 - a - x2)] = a2-1

a

(ax1-ax2)(1+ax1ax2) .

ax1ax2

∵a>0,a≠1,∴ax1ax2>0,1+ax1ax2>0.若 0<a<1,则 ax1>ax2,ax1-ax2>0. 此时

a
2

a -1

<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2).同理若 a>1,f(x1)<f(x2).

综上所述,当 a>0 且 a≠1 时,f(x)在(-∞,+∞)上是单调函数,是单调增函 数.
9

评析:对于 y=a ,由于其单调性与 a 的取值有关,故需分 0<a<1 和 a>1 两种情 况讨论. 13.解:(1)由题设,3-ax>0 对一切 x∈[0,2]恒成立,a>0 且 a≠1, 3 ∵a>0,∴g(x)=3-ax 在[0,2]上为减函数,从而 g(2)=3-2a>0,∴a< , 2

x

? 3? ∴a 的取值范围为(0,1)∪?1, ?. ? 2?
(2)假设存在这样的实数 a,由题设知 f(1)=1, 3 3 3 即 loga(3-a)=1,∴a= ,此时 f(x)=log (3- x), 2 2 2 当 x=2 时,f(x)没有意义,故这样的实数不存在.

10


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