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应用题


函数
6.(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况 下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的 车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米 时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的 一次函数. (1) 当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2) 当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位: 辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时) 【例 2】 某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左、 右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地.当矩形温室的边 长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少? 【例 3】 2014 年青奥会水上运动项目将在 J 地举行.截至 2010 年底,投资集团 B 在 J 地共投资 100 百万元用于房地产和水上运动两个项目的开发.经调研,从 2011 年初到 2014 年底的四年间,B 集团预期可从三个方面获得利润:一是房地产项目,四年获得的利 润的值为该项目投资额(单位:百万元)的 20%;二是水上运动项目,四年获得的利润的值为 该项目投资额(单位:百万元)的算术平方根;三是旅游业,四年可获得利润 10 百万元. (1) B 集团的投资应如何分配,才能使这四年总的预期利润最大? (2) 假设从 2012 年起,J 地政府每年都要向 B 集团征收资源占用费,2012 年征收 2 百 万元,以后每年征收的金额比上一年增加 10%.若 B 集团投资成功的标准是:从 2011 年初到 2014 年底,这四年总的预期利润中值(预期最大利润与最小利润的平均数)不低于总投资额 的 18%,问 B 集团投资是否成功? 5.(2011·山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中 间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为 80π 立方米,且 l≥2r.假设 3

该容器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元, 半球形 部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元.设该容器的建造费用为 y 千元. (1) 写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2) 求该容器的建造费用最小时的 r.

6.(2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明, 该商品每日的销售量 y(单位: 千克)与销 售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 y= a +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数,已知销售 x-3

价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1) 求 a 的值; (2) 若该商品的成本为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所 获得的利润最大. (2011·湖南)(本小题满分 12 分)如图,长方形物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向 作匀速移动,速度为 v(v>0),雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c∈R).E 移动时单位时间内 的淋雨量包括两部分:(1) P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S

1 1 成正比,比例系数为 ;(2) 其他面的淋雨量之和,其值为 ,记 y 为 E 移动过程中的总淋 10 2 3 雨量,当移动距离 d=100,面积 S= 时. 2

不等式
【例 3】 某建筑的金属支架如图所示,根据要求 AB 至少长 2.8 m,C 为 AB 的中点, B 到 D 的距离比 CD 的长小 0.5 m,∠BCD=60°,已知建筑支架的材料每米的价格一定,问 怎样设计 AB,CD 的长,可使建造这个支架的成本最低?

3.(2010·江苏)将边长为 1 m 的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中 (梯形的周长)2 一块是梯形,记 S= ,则 S 的最小值是________. 梯形的面积 5.(2011·四川)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡 车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车.某天需运往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满 载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每 辆乙型卡车需配 1 名工人, 运送一次可得利润 350 元, 该公司合理计划当天派用两类卡车的 车辆数,可得最大利润为多少元? (2010·江苏)(本小题满分 14 分)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m),如图所 示,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4 m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.

18.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用 了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y (元)与月处理量 x (吨)之间的函数关系可近似的表示 为: y =

1 2 x ? 200 x + 80000 ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 2

元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴 多少元才能使该单位不亏损?

6. 解:(1) 由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b,
? ?200a+b=0, 解得 显然 v(x)=ax+b 在[20,200]是减函数, 由已知得? ?20a+b=60, ?

?a=-3, ? 200 ?b= 3 .

1



?60,0≤x≤20, ? 函数 v(x)的表达式为 v(x)=?1 ? ?3(200-x),20<x≤200. ?60x,0≤x≤20, ? (2) 依题意并由(1)可得 f(x)=?1 ?3x(200-x),20<x≤200. ?
当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200; 1 1 x+(200-x)?2 10 000 当 20<x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ ? 3 3? 2 ?= 3 , 当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 所以,当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 10 000 . 3

10 000 ≈3 333, 3

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/小时. 800 例 2 解:设温室的长为 x m,则宽为 m.由已知得蔬菜的种植面积为 S m2: x 800 1 600 S=(x-2)? x -4?=800-4x- +8 ? ? x 400 400 =808-4?x+ x ?≤648(当且仅当 x= 即 x=20 时,取“=”). ? ? x 答:当矩形温室的边长分别为 20 m,40 m 时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是 648 m2. 变式训练 某学校拟建一块周长为 400 m 的操场如图所示, 操场的两头是半圆形, 中间 区域是矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,试问如何 设计矩形的长和宽?

解:设中间区域矩形的长、宽分别为 x m、y m,中间的矩形区域面积为 S m2. πy πy 则半圆的周长为 m, 因为操场周长为 400 m, 所以 2x+2× =400, 2x+πy=400. 即 2 2 ∴ S=xy= 1 1 2x+πy?2 20 000 ·(2x)·(πy)≤ ·? = , 2π 2π ? 2 ? π

200 200 ? ? 由 {2x=πy,?2x+πy=400, 解 得 ?x=100,?y= π . 当 ?x=100,?y= π 时 等 ? ?

号成立. 200 答:设计矩形的长为 100 m,宽约为 (≈63.7)m 时,面积最大. π 例 3 解:(1) 设 B 集团用于水上运动项目的投资为 x 百万元,四年的总利润为 y 百万 元,由题意,y=0.2(100-x)+ x+10=-0.2x+ x+30,x∈[0,100]. 即 y=-0.2( x-2.5)2+31.25, x∈[0,10]. 所以当 x=2.5,即 x=6.25 时,ymax=31.25. 答:B 集团在水上运动项目投资 6.25 百万元,所获得的利润最大,为 31.25 百万元. (2) 由(1)知,在上缴资源占用费前,ymax=31.25,ymin=20. 由题意,从 2012 年到 2014 年,B 集团需上缴 J 地政府资源占用费共为 2(1+1.11+1.12)=6.62 百万元. 31.25+20 -6.62=19.005. 所以 B 集团这四年的预期利润中值为 2 19.005 由于 =19.005%>18%,所以 B 集团投资能成功. 100 答:B 集团在 J 地投资能成功. 注:若水上运动项目的利润改为该项目投资额的算术平方根的 k(k>0)倍,如何讨论? 80 4 80 5. 解:(1) 因为容器的体积为 π 立方米,所以 πr3+πr2l= π, 3 3 3 解得 l= 80 4 4?20 ? - r= 2 -r?, 3r2 3 3? r

由于 l≥2r,因此 0<r≤2, 4 20 所以建造费用 y=2πrl×3+4πr2c=2πr× ? r2 -r?×3+4πr2c, ? 3? 因此 y= 160π -8r2+4πcr2,定义域为(0,2]. r

8π[(c-2)r3-20] 160π (2) y′=- 2 -16r+8πcr= , r r2 3 20 20 由于 c>3,所以 c-2>0,当 r3= 时 r= , c-2 c-2 3 令 20 =m,则 m>0, c-2 8π(c-2) (r-m)(r2+mr+m2). r2

所以 y′=

9 ①当 0<m<2 即 c> 时, 2 当 r=m 时,y′=0; 当 r∈(0,m)时,y′<0; 当 r∈(m,2)时,y′>0, 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点, 9 ②当 m≥2,即 3<c≤ 时, 2

当 r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 9 综上,当 3<c≤ 时,建造范围最小时 r=2; 2 3 20 9 当 c> 时,建造费用最小时 r= . 2 c-2 a 6. 解:(1) 因为 x=5 时 y=11,所以 +10=11?a=2. 2 (2) 由(1)知该商品每日的销售量为 y= 获得的利润: 2 2 f(x)=(x-3)?x-3+10(x-6) ?=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6; 2 +10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所 x-3

?

?

f′(x)=10[(x-6) +2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6),令 f′(x)=0 得 x=4. 函数 f(x)在(3,4)上递增,在(4,6)上递减,所以当 x=4 时函数 f(x)取得最大值 f(4)=42. 答:当销售价格 x=4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为 42 元. 解析:(1) 由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为 故 y= 1 5 100? 3 |v-c|+ ?= (3|v-c|+10). 2? v v ?20 (6 分) 1 3 |v-c|+ ,(2 分) 2 20

2

5(3c+10) 5 (2) 由(1)知,当 0<v≤c 时,y= (3c-3v+10)= -15 v v 5(10-3c) 5 当 c<v≤10 时,y= (3v-3c+10)= +15. v v

?5(3c+10)-15,0<v≤c, v 故 y=? 5(10-3c) ? v +15,c<v≤10.

( 8 分)

10 3c ① 当 0<c≤ 时,y 是关于 v 的减函数.故当 v=10 时,ymin=20- . (10 分) 3 2 10 ② 当 <c≤5 时,在(0,c]上,y 是关于 v 的减函数;在(c,10]上,y 是关于 v 的增函数;故 3 当 v=c 时,ymin= 50 . c (12 分)

例 3 解:设 BC=a m(a≥1.4),CD=b m,连结 BD.

1 则在△CDB 中,?b-2?2=b2+a2-2abcos60°. ? ? 1 1 a2- a2- 4 4 ∴ b= . ∴ b+2a= +2a. a-1 a-1 2.8 设 t=a-1,t≥ -1=0.4, 2 1 (t+1)2- 4 3 则 b+2a= +2(t+1)=3t+ +4≥7, t 4t 等号成立时 t=0.5>0.4,a=1.5,b=4. 答:当 AB=3 m,CD=4 m 时,建造这个支架的成本最低. 变式训练 如图, 为处理含有某种杂质的污水, 要制造一底宽为 2 m 的无盖长方体沉淀

箱.污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出.设箱体的长度为 a m,高度为 b m.已知 流出的水中该杂质的质量分数与 a,b 的乘积成反比.现有制箱材料 60 平方米.问当 a,b 各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.(A、B 孔的面积忽略不计) 解:(解法 1)设 y 为流出的水中杂质的质量分数,则 y=k/ab,其中 k 为比例系数且 k> 0,依题意,即所求的 a,b 值使 y 值最小. 根据题设,有 4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),得 b =(30-a)/(2+a) (0<a<30), ① 于是 y=k/ab=k/[(30a-a2)/(2+a)] =k/[-a+32-64/(a+2)]=k/[34-(a+2+64/(a+2)] ≥ 34-2 k = . 18 64 (a+2)· a+2 k

当且仅当 a+2=64/(a+2)时取等号,y 取最小值. 此时 a=6,a=-10(舍). 将 a=6 代入①式 得 b=3. 故当 a 为 6 米,b 为 3 米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. (解法 2)依题意,即所求的 a,b 的值使 ab 最大. 由题设知 4a+2ab+2a=60 (a>0,b>0), 即 a+2b+ab=30(a>0,b>0). ∵ a+2b≥2 2ab, ∴ 2 2ab+ab≤30, 当且仅当 a=2b 时,上式取等号. 由 a>0,b>0,解得 0<ab≤18.即 当 a=2b 时,ab 取得最大值,其最大值为 18. ∴ 2b2=18.解得 b=3,a=6. 故当 a 为 6 米,b 为 3 米时,经沉淀后流出的水中该杂质 的质量分数最小. 3. 32 3 3 解析:设梯形的上底边长为 x,则 0<x<1,梯形面积为 3 (1-x2),梯形的周长 4

2 4 3?x -6x+9? 1 32 3 为 3-x,S= (0<x<1),用导数求得 x= 时,S 取最小值 3 ? 1-x2 ? 3 3 ? ?

5. 解:设派用甲型卡车 x(辆),乙型卡车 y(辆),获得的利润为 u(元),u=450x+350y,

由题意,x、y 满足关系式 {x+y≤12,?2x+y≤19,?10x+6y≥72,?0≤x≤8,?0≤y≤7, 作 出相 应的 平 面区域,u=450x+350y=50(9x+7y). 在由{x+y≤12,?2x+y≤19 确定的交点(7,5)处取得最大值 4 900 元, 答:派甲型卡车 7 辆,乙型卡车 5 辆,可得最大利润为 4 900 元. 18.(1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为:

y 1 80000 = x+ ? 200 …………………………………………………4 分 x 2 x

[来源:Zxxk.Com]

≥2

1 80000 x? ? 200 = 200 , 2 x
1 80000 x= ,即 x = 400 时, 2 x

当且仅当

才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为 200 元.……………… …8 分 (2)设该单位每月获利为 S , 则 S = 100 x ? y ……………………………………………………… …………10 分

1 1 = 100 x ? ( x 2 ? 200 x + 80000) = ? x 2 + 300 x ? 80000 2 2 1 = ? ( x ? 300)2 ? 35000 2 因为 400 ≤ x ≤ 600 ,所以当 x = 400 时, S 有最大值 ?40000 . 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40000 元,才能不亏损.…………16 分


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