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3.3.2 简单的线性规划问题(一)


3.3.2

简单的线性规划问题(一)

1.了解线性规划的意义,了解线性约束条件、线性目标函 数、可行解、可行域、最优解等基本概念.

2.掌握线性规划问题的图解法,会用图解法求目标函数的
最大值、最小值.

3.训练数形结合、化归等熟悉思想,培养和发展数学应用 意识.

线性规划相关概念. 意义 关于变量 x,y 的不等式(方程)组 关于 x,y 的一次不等式(或方程)组成的平面区 线性约束条件 域 目标函数 欲求最大值或最小值的关于变量 x,y 的函数解 析式 名称 约束条件

线性目标函数 关于 x,y 的一次解析式

续表 名称 可行解 可行域 最优解 意义 线性约束条件 满足_______________的解(x,y) 可行解 由所有________组成的集合 最大值 最小值 使目标函数取得________或________的可行解 线性约束条件 在______________下求线性目标函数的最 大值或最小值问题

线性规划问题

x-y≥6, ? 练习1:已知 x,y 满足约束条件 ? 2x+y<9, ? x≥1,

分别确定

x,y 的值,使 z=x+3y 取到最大值或最小值,其中__________ z=x+3y 为可行域,__________为线性目标函数.

? x≥0, 练习2:已知实数 x,y 满足? y≤1, 求 2x+y 的 ? x-2y+1≤0,
线性规划问题 最大值,这个问题就是______________.满足不等式组的解(x,
?1 ? 可行解 y)叫做_______,如 ?2,1? 是一组可行解, ? ?

由所有可行解组成的集合即不等式组所表

示的平面区域(如图 3-3-1 中阴影部
可行域 分)是________.易知,当 x=1,y=1 时, 目标函数 z=2x+y取最大值 3,故(1,1) 最优解 是这个规划问题的________. 图 3-3-1

题型1

线性目标函数的最值

x-4y≤-3, ? 例1:已知变量 x,y满足? 3x+5y≤25, 求 z=2x+y 的 ? x≥1,
最大值和最小值. 思维突破:把z 看成直线在y 轴上的截距,先画出可行域, 再求z 的最值.

自主解答:作出不等式组 所表示的可行域,如图 :

设直线 l0:2x+y=0,直线 l:2x+y=z,则 z 的几何意义
是直线 y=-2x+z 在 y 轴上的截距 显然,当直线越往上移动时,对应在 y 轴上的截距越大,

即 z 越大;当直线越往下移动时,对应在 y 轴上的截距越小,
即 z 越小.

作一组与直线 l0 平行的直线系 l,上下平移,可得: 点 A(5,2)时,zmax=2×5+2=12; 当直线 l 移动到直线 l2 时,即过 当直线 l 移动到直线 l1 时,即过 点 B(1,1)时,zmin=2×1+1 =3. 正确作出可行域后,将目标函数变为直线方程 的斜截式的形式,应注意该直线在y 轴上的截距与目标函数z 取值的关系.再注意该直线的斜率与可行域边界直线的斜率关 系,以便准确找到最优解.

【变式与拓展】

x-2y+4≥0, ? 1.已知实数 x,y 满足约束条件? 2x+y-2≥0, 则目标 ? 3x-y-3≤0,
(2,3) 函数 z=x+2y 的最大值的可行解为________.

? 2.若x,y满足线性约束条件 ? ?

x-2≤0, y-1≤0, 求 z=x+ x+2y-2≥0,

y 的最小值.
解:作出不等式组所表示的可行 域如图 中阴影部分. 将 z=x+y 变形为 y=-x+z,这是斜率为 -1,随 z 变化的一组平行线,当直线 y=-x+z 经过可行域内的 A 点时,直线 y=-x+z 在 y 轴 上的截距最小,z 也最小.这里 A 点是直线

x+2y-2=0 与直线 y=1 的交点.

x+2y-2=0, ? x=0, 解方程组 得? y=1, ? y=1.
? ? ?

此时 z=0+1=1.故 z 的最小值为 1.

题型2

线性规划的逆向性问题 如果目标函数 z

y≥1, ? 例2:已知实数 x,y 满足? y≤2x-1, ? x+y≤m,
=x-y 的最小值为-1,则实数 m=(
A.7 B.5

) C.4 D.3

思维突破:画出x,y 满足的可行域,可得直线y=2x-1 与直线x+y=m 的交点使目标函数z=x-y 取得最小值.

?y=2x-1, ? 解析:? ?x+y=m, ?

m+1 2m-1 解得 x= 3 ,y= 3 ,

m+1 2m-1 代入 x-y=-1,得 3 - 3 =-1?m=5.

答案:B

【变式与拓展】 3.在如图 3-3-2 所示的可行域内,目标函数 z=x+ay D )

A. -3

B.3

C. -1

D.1

解析:分析知“目标函数与直线 BC 重合时 z 最小”,故
1 1-2 -a= ,a=1. 5-4

x-y+5≥0, ? 4.已知 x,y 满足? x≤3, 且 z=2x+4y 的最小值 ? x+y+k≥0,
为-6,则常数 k=( D ) A.2 B.9

C.3 1 0

D.0

解析:画图后知:当 x=3 时 z=2x+4y 取最小值-6.

题型3

线性规划的间接应用

x+2y-19≥0, ? 所表示的平 例3:设二元一次不等式组? x-y+8≥0,
?

2x+y-14≤0,

面区域为 M,使函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象过区域 M 的 a ) 的取值范围是( A.[1,3] C.[2,9]

B.[ 2, 1 0 ]
D.[ 1 0 ,9]

思维突破:本题考查线性规划与指数函数.画出平面区域

M,观察图象并结合指数函数性质即可.

解析:如图 D15 中的阴影部分为平面区域 M, 显然,只需 研究过(1,9),(3,8)两种情形.

图 D15

a1≤9 且 a3≥8,即 2≤a≤9.
答案:C

【变式与拓展】

x-y+1≥0, ? 5.若实数 x,y 满足? x+y≥0, 则 z=3x+2y 的最小值 ? x≤0,
是( B ) A.0 C. 3 B.1 D.9

1.z=x2+y2-3 是线性目标函数吗? 答案:不是,因为 x,y 的系数是 2 2.线性目标函数的最优解只有唯一一个吗? 答案:不是,最优解可能有无数个.

解简单线性规划问题的基本步骤: (1)画图:画出线性约束条件所表示的平面区域; (2)定线:令 z=0,得到一过原点的直线; (3)平移:在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平 移的方法找出与可行域有公共点且截距最大或最小的直线; (4)求最优解; (5)求最值.


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