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湖北省黄冈中学2016年初中数学自主招生预录考试训练试题三(理科实验班,扫描版)


湖北省黄冈中学 2016 年初中数学自主招生预录考试训练试题三(理 科实验班)

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高中预录考试数学训练题(三) 参考答案 一、选择题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 1.B. 2.A. 3.B. 4.A . 解析:黑 甲壳虫爬行的路径为:

D1 A1 D A B B1

C1

C

AA1 ? A1D1 ? D1C1 ? C1C ? CB ? BA ? AA1 ? A1D1 ? ......
白甲壳虫爬行的路径为:

AB ? BB1 ? B1C1 ? C1D1 ? D1 A1 ? A1 A ? AB ? BB1 ? ......
黑,白甲壳虫每爬行 6 条边后又重复原来的路径,因为 2016=336× 6,所以当黑,白两个甲 壳虫各爬行完第 2016 条棱分别停止时,黑甲壳虫停在点 A,白甲壳虫也 停在点 A. 二、填空题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 5.3. 6.50. 7.36. 8. k ?
n ?1

2 ?1 或k ? 2

2 ?1 . 2

9. 9

?12 2 .
2

11 10. 11, , 11 . 3
解析:

?1 1 1 ? 2 2 ?x ? y ? z =3 ?x ? 3 k ? ? xy ? xz ? 3( x ? y ? z ) ? xy ? k ? ?1 1 1 ? 3 ? ? 令x ? y ? z ? k = ? ? xy ? yz ? 4( x ? y ? z ) ???? ? ? yz ? 3k ? ? y 2 ? k (k ? 0) ? ? 2 ? y z ? x 4 ? yz ? xz ? 5( x ? y ? z ) ? xz ? 2k ? 2 ? ? ?1 ? z ? 6k 1 1 = ? ? ? ? ?z x ? y 5
?k ?x? y? z? 2 3 2 3 11 11 k? k ? 6k ? k ? ? ? 6 ? x ? , y ? , z ? 11 3 2 3 2 3 2

11.11. 解析:因为每份菜单价(单位:元)分别为 1、2、3、4、5、6、7、8、9,共 9 种菜,所有 符合要求的购菜方案为:1+9,2+8,3+7,4+6,1+2+7,1+3+6,1+4+5,2+3+5,1+2+3+4, 共 9 种,又共有 92 人就餐,∴92÷9=10……2. 12.0. 解析:分别画出函数 y = 2 x - x 和 y =
2

2 2 (x>0)图象,因 为函数 y = 2 x - x x
5

2 2 2 的图象在第一象限内无交点,所以 2 x - x = 无正数根. x x 2 2 2 另解: 令 2x-x =0, 解得 x1=0, x2=2, 易知方程 2 x - x = 的正数解 x 的值的范围应是 0<x<2, x 2 2 2 而此时 2x-x =-(x-1) +1≤1, >1,所以原方程无正数根. x
和y= 三、解答题( 本大题共 4 小题,共 60 分)

?2 x, (0 ? x ? 1) ? 13. (本题满分 14 分) (1) y A ? x(0 ? x ? 9) , y B ? ? 1 ; 2 ( x ? 1 ) ? 2 , ( 1 ? x ? 9 ) ? ?8
(2)当 x ? 9 时, y B ? x ?

1 ( x ? 1) 2 ? 2 ? 9 ? 10 ? 19(m 3 ) ,∴容器的总容量是 19m3; 8

(3) 5 ? 2 2 ? x ? 5 ? 2 2 . 14. (本小题 12 分)由于甲、乙都非常聪明,他们获胜的关键是看裁判擦去哪个数 .注意 到 2,3,4,…,2016 中有 1007 个奇数,有 1008 个偶数. (1)若裁判擦去的是奇数,不管甲取什么数,只要还有奇数,乙就擦去奇数,这样最后 两个数一定都是偶数,从而所剩两数不互质,乙获胜. (2)若裁判擦去的数是偶数,不妨设裁判擦去的数是 2016,则所剩的数配成 1007 对: ( 3, 4) ,…, (2m-1,2m) ,(2m+1,2m+2),…,(2015,2016),不管乙取哪一个数,甲 就去所 配数对中的另一个数,这样最后剩下的两数必然互质,甲一定获胜. 所以,甲获胜的概率为

1008 . 2015
2

15. (本小题 18 分) (Ⅰ) (1)∵a1 =1,4Sn=(an +1) , 2 ∴当 n=2 时,4S2=(a2 +1) , 2 4(a1 + a2)=(a2 +1) , 2 4(1 + a2)=a2 +2a2+1, a22﹣2a2﹣3=0, a2 =﹣1(舍去)或 a2 =3, 2 当 n=3 时,4S3=(a3 +1) , 2 4(a1 + a2 + a3)=(a3 +1) , 2 4(1 + 3+a3)=a3 +2a3+1, a22﹣2a2﹣15=0, a3 =﹣3(舍去)或 a3 =5, ∴a2 =3,a3 =5; (2)∵a1 =1,an+1﹣an =2,∴a2 =3,a3 =5,…,an=2n﹣1, ∴Tn=a1+a2+a3 +…+an=1+3+5+…+ 2n﹣1=

1 2 n(1+ 2n﹣1)= n ; 2 an , 2

(Ⅱ) (1)∵a1 =5,当 an 为 奇数时,an+1=3an+1,当 an 为偶数时,an+1= ∴a2=3a1+1=3×5+1=16,a3=

a 2 16 = =8; 2 2

6

(2)S3=a1+a2+a3=5+16+8=29,∵a4= 1+1=4,a8=

a3 8 a a 4 2 = =4,a5= 4 = =2,a6= 5 = =1,a7=3a6+1=3× 2 2 2 2 2 2

a7 4 a 2 = =2,a9= 8 = =1,… 2 2 2 2

? 7 n ? 71 ? 3 (n被3除余1) ? ? 7 n ? 70 (n被3除余2) ; ∴当 n≥3 时,Sn= ? 3 ? ? 7 n ? 66 ? 3 (n能被3整除) ?
(3)∵bn=(﹣1) an, ∴b1=﹣a1=﹣5,b2=a2=16,b3=﹣a3=﹣8,b4=a4=4,b5=﹣a5=﹣2,b6=a6=1,b7=﹣a7= ﹣4,b8=a8=2,b9=﹣a9=﹣1,… ∴T1= a1 =﹣5,T2=T1+ a2=11,T3=T2 + a3=3,T4=T3+ a4=7,T5=T4+ a5=5,T6=T5+ a6=6, T7=T6 + a7=2,T8=T7 + a8=4,T9=T8 + a9=3,… ∵2016=336×6,∴T2016=T6=6. 16. (本小题 16 分) (1)在旋转过程中,BH=CK,四边形 CHOK 的面积始终保持不变,其值为 △ABC 面积的一半. 理由如下:连接 OC.∵△ ABC 为等腰直角三角形,O 为斜边 AB 的中点,CO⊥AB, ∴∠OCK=∠B=45°,CO=OB. 又 ∵∠COK 与∠BOH 均为旋转角,∴∠COK=∠BOH= ? ,∴△COK≌△BOH, ∴BH=CK,S 四边形 CHOK=S△COK+S△COH=S△BOH+S△COH=S△COB=
n

? S△ABC=9. ? ? ? CH·CK= , ? ?

(2)①由(1)知 CK=BH=x,∵BC=6,∴CH=6-x,根据题意,得

即(6-x)x=5,解这个方程得 x1=1,x2=5,此两根满 足条件:0<x<6,所以当△CKH 的面 积为

5 时,x 的取值是 1 或 5; 2

②设△OKH 的面积为 S,由(1)知四边形 CHOK 的面积为 9,

? ? ? ? x(6-x)= (x2-6x)+9= (x-3)2+ , ? ? ? ? ? ? ∵ >0,∴当 x=3 时,函数 S△OKH 有最小值 , ? ?
∴S△OKH= S 四边形 CHOK -S△CKH =9- ∵x=3 满足条件 0<x<6,∴△OKH 的面积存在最小值,此时 x 的值是 3.

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