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线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质


清新县滨江中学 2012 届高三文科数学第一轮复习资料 2011-12-31

空间中的垂直关系
1.判断线线垂直的方法 判断线线垂直的方法:所成的角是 ,两直线垂直; 判断线线垂直的方法 垂直于平行线中的一条,必垂直于另一条。 三垂线定理: 如果它和这个平面的 三垂线定理 在平面内的一条直线, 那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那麽它也和这条斜线的射影垂直 PO ⊥ α , O ∈ α ? ? 推理模式: PA I α = A ? ? a ⊥ AO 。 α ? a ? α , a ⊥ AP ? ,

P
O A a

2.线面垂直 定义:如果一条直线 l 和一个平面α相交,并且和平面α内的任意一条直线 定义 都 ,我们就说直线 l 和平面α互相垂直 其中直线 l 叫做平面的垂线,平 面α叫做直线 l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线 l 与平面α垂直记 。 作: 直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直 直线与平面垂直的判定定理 线垂直于这个平面。
新疆 王新敞
奎屯

推理模式: 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直 直线和平面垂直的性质定理 。

线

3.面面垂直 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两个平面垂直的定义:相交成 两平面垂直的判定定理: 两平面垂直的判定定理 (线面垂直 ? 面面垂直) 如果 ,那么这两个平面互相垂直。 推理模式: 两平面垂直的性质定理: 两平面垂直的性质定理 (面面垂直 ? 线面垂直) 若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 一个平面。

的直线垂直于另

课后练习 1、 (2008 上海,13) 给定空间中的直线 l 及平面α,条件“直线 l 与平面α内无 数条直线都垂直”是“直线 l 与平面α垂直”的( )条件 A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分又非必要 2、已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 l 是异面直线 AB1 和 A1D 的公垂线,则直线 l 与直线 BD1 的关系为( ) A.l⊥BD1 B.l∥BD1 C.l 与 BD1 相交 D.不确定
1

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1、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°, PA=AB=BC,E 是 PC 的中点 (1)求证:CD⊥AE; (2)求证:PD⊥面 ABE.

2、如图,棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧面 BCC1 B1 是菱形, B1C ⊥ A1 B 证明:平面 AB1C ⊥ 平面 A1 BC1

3 、 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 平 行 四 边 形 。
∠DAB = 60o , AB = 2 AD, PD ⊥ 底面 ABCD ,证

明: PA ⊥ BD

4、如图所示,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点

2

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(Ⅰ)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M1

面面垂直的性质
1、S 是△ABC 所在平面外一点,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC,求证 AB⊥BC.
S

A

C

B

2、在四棱锥中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD 证明:AB⊥平面 VAD
V

D A

C

B

3

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3、如图,平行四边形 ABCD 中, ∠DAB = 60° , AB = 2, AD = 4 将
?CBD 沿 BD 折起到 ?EBD 的位置,使平面 EDB ⊥ 平面 ABD 求证: AB ⊥ DE w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

4、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证: (1)直线 EF‖平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD

(第4题图)

5.如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC =BC =1,∠ACB =90°,AA1 = 2 , D 是 A1B1 中点. (1)求证 C1D ⊥平面 A1B ; (2)当点 F 在 BB1 上什么位置时, 会使得 AB1 ⊥平面 C1DF ?并证明你的结论

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