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复数基础知识与典型例题复习文


数学基础知识与典型例题 第十二章复数
1.虚数单位 i 及特性: ① i 的性质: i ? ?1 ;
2

6. ? 1 ? i ? 的值等于(
? ? ? 1? i ?

2

) (C)i . (D)-i

(A)1
2
4 n ?1 4n?2 4 n ?3

(B)-1

7. 复数 (?i ? 3) 的虚部是
4n

? i ,i ? ?1 , i ? ?i , i ? 1 ; ② i 的幂的周期性:若 n ? Z ,则 i ③实数可以与 i 进行四则运算, 进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立.
2.复数相等的充要条件: ①复数的代数形式 z ? a ? bi(a ? R, b ? R) , a 称为实部, b 称为虚部. ②如果 a, b, c, d ? R ,那么 a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d ; 特别地 a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0

8. 在复平面内, OA , OC ,AB 表示的复数分别为 ?2 ? i,3 ? 2i,1 ? 5i , O 是原点, 那么 BC 表示的复数为____________. 9. 已知复数 z 对应的点 ( a, b) 在圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 上移动,并且

复 数

3.复数是实数的充要条件: ① z ? a ? bi ? R ? b ? 0(a ? R, b ? R) ; ②复数 z 的共轭复数为 z ,则有 z ? R ? z ? z 4.复数是纯虚数的充要条件: ① z ? a ? bi(a ? R, b ? R) ,则 z 是纯虚数 ? a ? 0 且 b ? 0 ; ② z 是纯虚数 ? z ? z ? 0 且 z ? 0 5.复数 z ? a ? bi(a ? R, b ? R) 与平面上的点 Z (a, b) 、向量 OZ 一一对应. 6. z ? z ? z ? z z
2 2 2

复 数

i 是纯虚数,则复数 z ?1

z 的值为________.
10. 关于 x 的方程 x ? (tan? ? i) x ? (i ? 2) ? 0 ( ? ? R, x ? C )
2

⑴若此方程有实数根,求锐角 ? 的值;⑵求证:对任意的实数 ? ( ? ? 方程不可能有纯虚根.

?
2

? k? ) ,原

注:两个复数,如果不全是实数,就不能比较大小 1.z= (m ? 3m ? 2) ? (m ? m ? 2)i 是纯虚数,实数 m 的值是( (A)1 (B)2 (C)-2 (D)1 和 2
2 2

)

复 数

2. 当 m ? 1时,复数 z ? 2 ? (m ? 1)i 在复平面上对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

数学基础知识与典型例题(第十二章)复数答案 ) 例 1.B 例 2.D 例 3.A 例 4.B 例 5.A 例 6.B 例 9.0 或??[点评]本题考查复数的运算和复数的几何意义. 则 x ? x tan? ? 2 ? i( x ? 1) ? 0 ∴ ?
2

2 ? bi b 为实数)的实部和虚部互为相反数, 3. 如果复数 (其中 i 为虚数单位, 则 b=( 1? i
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4. 下列四个命题:

例 7. ?2 3

例 8. 4-4i

例 10. 解:⑴设 x ? R 是方程 x 2 ? (tan? ? i) x ? (i ? 2) ? 0 的根,

? x 2 ? x tan ? ? 2 ? 0 ① ?x ?1 ? 0 ②

1 ①满足 z ? 的复数有 ? 1,?i ; z

由②得 x ? ?1 代入①得 tan ? ? 1 ,∴锐角 ? ? ⑵证明:反证法

②若 a,b 是两个相等的实数,则 (a ? b) ? (a ? b)i 是纯虚数; ③复数 z ? R 的充要条件是 z ? z ; ④复平面内 x 轴即实轴,y 轴即虚轴. 其中正确的有( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

? 4
2

若方程有纯虚根,设为 x ? ai(a ? 0) ,代入原方程并整理得 (?a ? a ? 2) ? (a tan? ? 1)i ? 0 ∴?

??a 2 ? a ? 2 ? 0 ?a tan ? ? 1 ? 0

(*)∵方程 ?a ? a ? 2 ? 0 无实根,∴方程组(*)无解.
2

? 100i 5. 1 ? i ? 2i ? 3i ? (A) 51 ? 50i (B) 50 ? 50i
2 3

100

=( ) (C) 50 ? 50i

故假设不成立,因此原方程无纯虚根. (D) 49 ? 50i
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