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重庆一中高2014级11-12学年(上)半期试题——数学[1] 2


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2011 年重庆一中高 2014 级高一上期半期考试

数 学 试 题 卷 2011.11
数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用

橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 一.选择题(每题 5 分,共 50 分,每题只有一个正确选项) 1.设集合 A ? {1, 2, 4, 6} , B ? {2, 3, 5} ,则韦恩图中阴影部分表 示的集合为( ) (A) {2} (B) {3, 5} (C) {1, 4, 6} (D) {3, 5, 7 , 8}
2 2. “ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的(

U

A

B



(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D)非充分非必要条件 3.函数 f ( x) ? (A) ?? 1,4?

x ? 1 ? ln(4 ? x) 的定义域为(
(B) ?? 1,???
2

) (D) ?4,???

(C) ?? 1,4?

4.集合 A= y y ? x ? 2 x ? 2, x ? R ,集合 B= x x ? 5x ? 6 ? 0 则 ? CR A?
2

?

?

?

?

?CR B? ?



) (B)

(A) ? ??, ?1?

? ??, ?1?

(C) ? ?1,1?

(D) ??1,1? )

5.若函数 f ( x) ? loga x (a ? 1) 在区间 [a,2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a 的值为(

A.

2 4

B.

2 2

C.

1 4
( y 1

D.

2

1 x( ) x 6. 函数 y ? 2 的图象的大致形状是 x y y
1 -1 O A. x 1 -1 O B. x

) y 1

-1 O C.

x

-1 O D.

x

1

7 . 对 任 意 的 x, y? R函 数 f ( x) 都 满 足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 恒 成 立 , 则

f (5) ? f (?5) ? (
(A)0

) (B) ? 4 (C) ? 2 (D) 2

8. f ( x) 为 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 对 任 意 的 x1 , x2 ? ?0, ??? 且 x1 ? x2 满 足

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,则下列各式成立的是 x1 ? x2
A. f ? ?2? ? f ? 0? ? f ?1? C. f ?1? ? f ? 0? ? f ? ?2?

(

)

B. f ? ?2? ? f ?1? ? f ? 0? D. f ?1? ? f ? ?2? ? f ? 0?

9. (原创)当 x ? ?? 1, t ? 时,函数 f ( x) ? x ? 2 ? 5 ? x 的值域为 ?3,9? , 则实数 t 的取值范 围是( ) (B) ?2,4? (C) ?4,8? (D) ?? 1,5?

(A) ?2,8?

10. (原创)若函数 f ( x ) 满足对于 x ?? n, m? (m ? n) 有

n ? f ( x) ? km 恒成立,则称函数 k

f ( x) 在区间 ? n, m? 上(m ? n) 是“被 k 限制”的,若函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? a 2 在区间

?1 ? , a (a ? 0) 上是“被 2 限制”的,则 a 的范围是( ? ?a ? ?
(A) 1, 2



?

?

(B) ?1, 3

? ? ?

3? ? 2?

(C) ?1,2?

(D) ?3

? 2 ? , 2? ? 3 ?

二.填空题(每题 5 分,共 25 分) 1? 11.已知幂函数 y=f(x)的图象经过点? ?4,2?,则 f(2)=_______。 12.若 f (ln x) ? 3x,( x ? 0) ,则 f (0) ?________________ 。

?1 x ?( ) ? 2 13. f ( x) ? ? 3 ? ? f ( x ? 2) ? 1

( x ? 0) ( x ? 0)

,则 f (6) ? ______。

14. 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 (?1,1) 上 的 奇 函 数 , 且 为 定 义 域 上 的 增 函 数 , 则 不 等 式

1 f ( x) ? f ( x ? ) ? 0 的解集为________。 2
15.下面说法正确的有哪些,将正确答案的编号全部写出来________。 1 :将 y ? ○

f (? x) 的图像左移一个单位就得到 y ? f (? x ? 1) 的图像;
2

2 :若奇函数 y ? ○

f ( x) 在 x ??0, ??? 上单调递增,则 y ? f ( x) 在 R 上单调递增;

3 :若 f ? ?( x ? 1)? ? ○ 4 :若 f ( x ? 3) ? ○

f ( x ? 1) 对任意 x ? R 成立,则 y ? f ( x ? 1) 为偶函数;
5 对称。 2

f (2 ? x) 对任意 x ? R 成立,则函数 y ? f ( x) 的图像关于 x ?

三解答题(共 75 分) 16. (13 分) (1)求
3 lg 8 ? lg125 ? lg 2 ? lg 5 log5 2 4 ? 16 + 的值, 5 4 5 log5 ? log 2
1 ? 1 2

(2) :已知 x ? 1 ,且 x ? x?1 ? 6, 求 x 2 ? x



17: (13 分)已知 f ( x ) ?

1 ax ? b 为定义在 R 上的奇函数,且 f (1) ? 2 2 x ?1

(1) :求 f ( x ) 的解析式; (2) :判断并证明 y ? f ( x) 在 (?1, 0) 上的单调性。

18. (13 分)已知 A ? x x ? 2 ? 3 , B ? x ( x ? m) ? x ? (2m ? 1)? ? 0 ,若 A 求 m 的范围。

?

?

?

?

B ? A,

19(12 分) :过原点的二次函数 y ? f ( x) 的顶点为 ? ?1, ?1? (1) 求 y ? f ( x) 的解析式; (2) 求 h( x) ? f (lg x),(x ? 0) 的单调区间; (3) 若 g ( x ) ?

f ( x) ? k ?2 ? , x ? R 的值域为 ? , 2 ? ,求实数 k 的值; 2 x ? x ?1 ?3 ?

3

20. (12 分) f ( x) ? a2 x ? 2a x?1 ? 2,(a ? 0, a ? 1) 的定义域为 x ?? ?1, ??? (1)若 a ? 2 ,求 y ? f ( x) 的最小值; (2)求 y ? f ( x) 的最小值; (3)当 0 ? a ? 1 时,若 f ( x) ? 3 对 x ?? ?1, 2? 恒成立,求 a 的范围;

21(12 分) :已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足: (1)值域为 ? ?1,1? ,且当 x ? 0 时, (2)对于定义域内任意的实数 x , y ,均满足: f ? x ? y ? ? ?1 ? f ? x ? ? 0 ; (1)试求 f ? 0 ? 的值; (2)已知函数 g ? x ? 的定义域为 ? ?1,1? ,且满足 g ? ? f ? x ?? ? ? x 对任意 x ? R 恒成立, 求g?

f ( x) ? f ( y ) 1 ? f ( x) f ( y )

?1? ? 1? ?? g?? ?; ?2? ? 2? ?1? ?5? ?1? ?? ? 11 ? 1 1 ? ? ? g? 2 ? ? g( ) ; 2 ? n ? 3n ? 1 ?

(3)证明: g ? ? ? g ?

命题人:梁 波 审题人:王中苏

4

高 2014 级高一上期半期考试数学答案(本部)
1:答案 B,解答:阴影部分表示 B ? CU A ? ? 3,5? .
2 2:答案B,解答:显然 x ? 1 ? x ? 1

3:答案 A,解答:定义域为 ? 4:答案 C 5:答案 D 6:答案:D

? x ? ?1 ? x ? ?? 1,4? ?4 ? x ? 0

7: 答案 B 解答: 令x ? y ? 0, 得到 f (0) ? ?2 , 令 x ? 5, y ? ?5 , 得到 f (5) ? f (?5) ? ?4 8:答案:B 9:答案:A解答:法一:画出函数 f ( x) ? x ? 2 ? 5 ? x 的图像,从图像看出值域中要想有 3,则 t ? 2 ,同时函数值不大于9,则 t ? 8 ,所以 t ? ?2,8? , 法二:将函数 f ( x) ? x ? 2 ? 5 ? x 理解为数轴上点 x 到点2和点5的距离之和,看出距离之 和要想取到最小值3,则 t ? 2 ,同时距离之和不大于9,则 t ? 8 ,所以 t ? ?2,8? , 10:答案:C 解答:根据条件有

1 ?1 ? ? f ( x ) ? 2a 在区间 ? , a ? (a ? 0) 恒成立, 2a ?a ?

?

1 a ? a ? a ? 1 ,又, f ( x) ? x 2 ? ax ? a 2 的对称轴为 x ? ? a , a 2 a a 1 又? a ? ? ? 所以 f ( x) max ? f (a) 2 2 a a 1 (1)若 ? ,即 a ? 1, 2 时 2 a

?

?

1 1 1 1 ? ? 2 ?1? a2 ? , ? f ( x) min ? f ( ) ? a 2a 2a a ? ? f ( x) ? f (a) ? 2a ? a 2 ? 2a ? 0 ? a ? 2 max ?
当 a ? 1, 2 时 所以 a ? 1, 2 (2)若

?

?

?

?

1 1 1 ? a2 ?1 ? 1 ? ? 恒成立 2 a 2a a

a 1 ? 即a? 2 a

?

2 ,??

?

5

? a 1 3a 2 1 2 ? ? ?a?3 , ? f ( x) min ? f ( ) ? 2 2a 4 2a 3 ? a? ? 2 ? f ( x) max ? f ( a ) ? 2a ? a ? 2a ? 0 ? a ? 2 ?
综上所述: a ? ?1,2? 二:填空题(每题 5 分,共 25 分) 11.答案:
? 1 2

?

2 ,2

?

2 1 ? 1? a ,解析:设 f(x)=x ,因为图象过点?4, ?,代入解析式得:a=- ,∴f(2) 2 2 ? 2?

=2



2 . 2

12.答案:3

?1? 13.答案:2,解答: f (6) ? f (4) ? 1 ? f (2) ? 2 ? f (0) ? 3 ? ? ? ? 2 ? 3 ? 2 ? 3?
? ?? 1 ? x ? 1 ? 1 ? ? 1 1? ? 1 1? 14.答案 ? ? , ? :解答: ?? 1 ? x ? ? 1 ? x ??? , ? 2 ? 2 4? ? 2 4? ? 1 1 ? f ( x) ? ? f ( x ? ) ? x ? ? x ? 2 2 ?
15.答案:○ 2 ,○ 4 三:解答题(共 75 分) 16. (13 分)解答:(1)
2

0

3 3 ?1 lg8 ? lg125 ? lg 2 ? lg 5 log5 2 4 ? 16 + = +2+8=11 5 4 5 2 log5 ? log 2

1 ? ? ? 1 (2) ? x 2 ? x 2 ? ? x1 ? x ?1 ? 2 =4 ? ?

x ? 1 ? x2 ? x

1

?

1 2

? 0 ? x2 ? x

1

?

1 2

?2

? f (0) ? 0 ? 17: (13 分)解答: (1)由 ? 1 ? a ? 1, b ? 0 , f (1) ? ? ? 2
得到: f ( x) ?

x , x ?1
2

(2) :证明: 任取 x1 , x2 ? (?1,0) 且 x1 ? x2

6

x1 x2 x1 x2 2 ? x1 ? x2 x12 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ? ? x1 ? 1 x2 2 ? 1 ? x12 ? 1?? x22 ? 1?
=

?1 ? x1 x2 ?? x1 ? x2 ? ? 0

?x

2 1

? 1?? x2 2 ? 1?

所以 y ? f ( x) 在 (?1, 0) 上的单调递增 18. (13 分)解答: A

B ? A? B ? A

A: x ? 2 ? 3 ? ?1 ? x ? 5 ??4分 B: ( x ? m)( x ? 2m ? 1) ? 0 (1)当 m ? 2m ? 1, 即 m ? 1 时, ( x ? m)( x ? 2m ? 1) ? 0 的解为 2m ? 1 ? x ? m

则: ?

?2m ? 1 ? ?1 ? m ? ?0,5? ,所以 m ? ?0,1? ?m ? 5

(2)当 m ? 2m ? 1, 即 m ? 1 时, ( x ? m)( x ? 2m ? 1) ? 0 的解为 x ? ? 此时满足条件,所以 m ? 1 (3)当 m ? 2m ? 1, 即 m ? 1 时, ( x ? m)( x ? 2m ? 1) ? 0 的解为 m ? x ? 2m ? 1

则: ?

? 2m ? 1 ? 5 ? m ? ? ?1,3? ,所以 m ? ?1,3? ?m ? ?1

综上所述: m ??0,3? (4) 19(12 分)解答: (1)设 f ( x) ? ax ? bx
2

? b ? ?1 ?? 则 ? 2a ? a ? 1, b ? 2 ,所以 f ( x) ? x2 ? 2x ? ? f (?1) ? ?1
(2) h( x) ? f (lg x) = ? lg x ? ? 2 lg x
2

当 x ? ? 0,

? 1? ? 时, h( x) 单调递减 ? 10 ? ?1 ? , ?? ? 时, h( x) 单调递增 ? 10 ?

当 x ??

7

(3)设 y ?

x2 ? 2 x ? k ?2 ? 的值域为 ? , 2 ? 2 x ? x ?1 ?3 ?

即: y( x2 ? x ? 1) ? x2 ? 2x ? k ? ( y ?1) x2 ? ( y ? 2) x ? y ? k ? 0 当 y ? 1 时,存在 x 使得方程有解, 当 y ? 1 时 ? ? 0 ? ( y ? 2)2 ? 4( y ?1)( y ? k ) ? 0 ? 3 y 2 ? 4ky ? 4k ? 4 ? 0

? 4k 8 ? ? ?3 3 ?2 ? ?k ?2 的解集为 ? , 2 ? ,所以 ? ?3 ? ? 4k ? 4 ? 4 ? 3 ? 3
20. (12 分)解答: (1)若 a ? 2 , f ( x) ? 22 x ? 4 ? 2x ? 2 , x ?? ?1, ??? 令 t ? 2 , g (t ) ? f ( x) ? t ? 4 ? t ? 2 , t ? ? , ?? ?
x

2

?1 ?2

? ?

f ( x) 的值域为 ? ?2, ?? ?
(2)当 a ? 1 时,令 t ? a , h(t ) ? f ( x) ? t ? 2at ? 2 , t ? ? , ?? ?
x

2

?1 ?a

? ?

? f ( x)?min ? h(a) ? 2 ? a2
当 0 ? a ? 1 时,令 t ? a , h(t ) ? f ( x) ? t ? 2at ? 2 , t ? ? 0, ? a
x

2

? ?

1? ?

? f ( x)?min ? h(a) ? 2 ? a2
综上所述: ? f ( x)?min ? 2 ? a
2

, a ? ? 0,1?
2

?1, ???
1 t

x (3) :令 t ? a , h(t ) ? f ( x) ? t ? 2at ? 2 ? 3 ? 2a ? t ?

当 0 ? a ? 1 时, 2a ? t ? 在 t ? ? a , ? 恒成立 t a
2

1

? ?

1? ?

1 1 3 ? 1? , ? 2a ? ?t ? ? ? ? a ? 3a ? ? a ? a 3 ? t ? max a
所以 a ? ?

? 3 ? ,1? ?。 ? 3 ?
8

21 (12 分) : 解答: (1) 取 x ? y ? 0 ? f ? 0? ?

? ? f (0) ? f (0) 2 ? f ? 0 ? ?1 ? ??0 2 2 1 ? f (0) ? 1 ? f (0) ?

? f ? 0? ? 0 或者 f ? 0? ? ?1(舍去)
所以 f ? 0? ? 0 (2)证明:先证明 g ? x ? 为奇函数 在 f ? x ? y? ? 令

? f ? x? ? f ? y? ? f ( x) ? f ( y ) 式的两端, 同时用 g 作用, 得:x ? y ? g ? ?, 1 ? f ( x) f ( y ) ?1 ? f ? x ? f ? y ? ?

f ? x ? ? m, f ? y ? ? n , 则 x ? g ?

? ,m ? y? ?

, n 则 上 式 可 改 写 为 g

? m?n ? g ? m? ? g ? n? ? g ? ?. ? 1 ? mn ?
上式因为对 R 中的 x , y 均成立,所以对于 m, n ? ? ?1,1? 均有 g ? m ? ? g ? n ? ? g ? 易知: g ? 0 ? ? 0 , g ? x ? ? g ? ?x ? ? g ? 0? ? 0 所以函数 g ? x ? 为奇函数,所以 g ? ? ? g ? ? ? ? 0 (3)因为函数 g ? x ? 为奇函数,所以 g ? m ? ? g ? n ? ? g ?

? m?n ? ? ? 1 ? mn ?

?1? ?2?

? 1? ? 2?

? m?n ? ? ? 1 ? mn ?

且由当 x ? 0 时, ?1 ? f ? x ? ? 0 ;知道 m ? ? ?1,0? 时 g ? m? ? 0 ,

m ?? 0,1? 时 g ? m? ? 0 ,
1 1 ? n ? 1?? n ? 2 ? ? 1 1 n ?1 n ? 2 由于 2 , ? ? ? 1 n ? 3n ? 1 ? n ? 1?? n ? 2 ? ? 1 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 1? ? ? ?? ? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? n ?1? ? n ? 2 ?
所以, g ?

1

1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? g? ??g? ?. 2 ? n ? 3n ? 1 ? ? n ?1? ? n?2? ?1? ?? ? 11 ? 1 ? ? ? g? 2 ? ? n ? 3n ? 1 ?

所以, g ? ? ? g ?

?1? ? 5?

9

? ?1? ? 1 ?? ? ? 1 ? ? 1 ?? ? ? g ? ? ? g ? ?? ? ? g ? ? ? g ? ?? ? ? 3 ?? ? ? 3 ? ? 4 ?? ? ? 2? ?1? ? 1 ? ? g? ??g? ? ? 2? ? n?2? 1 ? ?1? ? ?1? ? g? ?? g?? ? ? g? ? ? 2? ? n?2? ? 2?

? ? 1 ? ? 1 ?? ? g ? n ? 1 ? ? g ? n ? 2 ?? ? ? ?? ? ?

10


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