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2.4.1抛物线及其标准方程教学设计


章节:人教 A 选修 2-1 第 2 章第 4 节 抛物线及其标准方程 学校:厦门双十中学 姓名:陈锦荀 学段:高三
一、教学设计 1.内容和内容解析 “抛物线及其标准方程”是高中数学教材选修 2-1 第二章第四部分的第一节课。此节是 建立在已学过圆、椭圆、双曲线(特别是后两者)的基础上,由圆锥曲线的第二定义展开, 得到的一类特殊的曲线,同时也弥补了离心率为 1 的情况

。同时,抛物线的定义也为后续抛 物线的几何性质做了铺垫。所以“抛物线及其标准方程”这节课不仅在教材中起到了承上启 下的作用,同时也对圆锥曲线提出了统一的定义(第二定义:到焦点的距离与到相应准线的 距离的比为常数(e) ) 。该课时通过引导学生观察,寻找到几何和代数之间的桥梁——建系, 再次巩固了学生对于几何问题代数化的一种同法,同时授课过程中,多种多媒体的介入,多 次学生动手的操作让学生对数学产生兴趣。 2.目标和目标解析 ⑴知识目标: 1.掌握抛物线的定义及其标准方程; 2.通过对抛物线标准方程的理解与探求,巩固求曲线方程的一般方法——建系。 ⑵能力目标: 通过自我探究、操作、数学思想的运用等,从而提高学生实际动手、合作学习以及运用知识 解决实际问题的能力。 ⑶情感目标:生活实例的引入,让学生感受数学存在生活之中,生活实例的解决让学生感受 到 “生活中有数学” , 最终引入数学中的例子反馈到生活中, 让学生感受到 “数学中有生活” 。 其次,在教学过程中充分揭示“数”与“形”的内在联系,以及标准方程的欣赏,引导学生 体会数形美的统一,激发学生学习数学的兴趣,培养学生勇于探索,勇于创新的精神。 3.教学问题诊断分析 (1)本课堂的引入列举生活实例时,由于现实生活中存在的实物几乎都是三维空间的,比 如隧道,太阳灶等问题,适当引导学生从其截面上去感受。 (2)为了让学生能够有更形象的体会抛物线的形成过程,引导学生采用直尺、三角板、绳 子和签字笔自己做抛物线时, 由于学生动手经验的不到位和误差的存在, 往往导致实验的失 败,适当对道具进行提前的准备,在制作过程中对于点的选取等进行引导,以及现场进行适 当操作进行引导。

(3)班级学生的学习习惯的差异导致学生课前准备有所差异,比如建系的过程,有课前预 习的同学普遍会把坐标系建成满足标准方程的格式,而未预习的学生可能建系就有所差异, 甚至于无从下手。建系时,引导学生回顾已学过的椭圆、双曲线的建系规则,向着最简、最 美的方向想,充分考查曲线的对称性的特点。对于已预习的同学,建议可否还有其他建系方 式等。 4.教学支持条件分析 (1)为了让学生对抛物线的感觉更具体,本课堂多次采用生活中的例子,多媒体的应用无 可避免。 (2)学生自己动手画出抛物线能让学生能更贴近感受到抛物线的生成过程,同时也为后续 工作:如建系等做好了准备工作。为了实验的成功率,相应的实验器材:直尺、三角板、绳 子、签字笔等器材的准备和改以及教师利用幻灯机进行当场投影演示都是必要的。 5.教学过程 A.设置情景,导入新课 (借助多媒体)先展示出三张詹姆斯的图片。 (引起学生的兴趣) 师:现在我们来谈一谈大多数学生都感兴趣的一项体育运动——篮球。 提到篮球,我们就不得不说一说我们的“皇帝”——詹姆斯。詹姆斯 3 次被评为 NBA 最有价值的球员,获得 NBA 冠军和总决赛 MVP 以及奥 运金牌,达成了完美的“四双” ,刷平了篮球大帝迈克尔.乔丹在 1992 年创下的记录。詹姆斯能取得如此的成就,主要原因在哪呢? 生: (预测:身高、天赋、技巧??——) 师:对了,身高、天赋等都是不可避免的因素,但技巧却是不可缺少 的!大家有没有注意到投篮时,篮球的运动轨迹是什么? 生: (预测:抛物线! ) 师: (展示第四张图片)对了,篮球的运动轨迹是条抛物线。今天我们 就一起来欣赏下抛物线。 (同时在黑板上写上课题:抛物线及其标准方程) 【设计意图】贴近学生生活的实例的引入,引起学生的兴趣。让学生 从感性认识入手,提出问题,为下面学生认识从感性认识逐步上升到理 性认识,并形成形象的概念做好铺垫。 师:其实除了篮球的运动轨迹是一条抛物线外,我们生活中也存在着 很多抛物线的影子,谁能列举下我们生活中的抛物线? (请学生回答) :太阳灶、车灯、彩虹、桥拱?? (教师配合学生一起寻找生活中的抛物线,并课件展示部分有抛物线 轮廓的实物,特别是学生身边的实物) (学生焕然大悟! ) B.授新课 师: 抛物线其实就在我们身边, 那抛物线的定义是什么呢?如何才能做出一条抛物线呢?现 在我们自己来亲自做出一条抛物线。

H

M

A

师:现在每组同学桌面上都有一套实验器材,大家按照我的要求作图。 <1>把一根直尺固定在黑板上面 <2>把一块三角板地一条直角边紧靠在直尺的边缘 <3>取一根直线,它的长度与另一直角边相等 <4>取一个定点 F,细绳的一端固定在三角板的 A 处,另一端固定在纸板上点 F 处。 <5>用粉笔扣紧绳子,靠住三角板,然后将三角板沿着直 尺上下滑动,画出图像。 (教师先对照多媒体说明画法,然后切换到幻灯片,演示 作图过程,成功画出一条抛物线) (学生感觉很棒,并跃 跃欲试) 师:现在请我们的同学动手做一条属于你们自己的抛物线。 (教师巡视全场,并指导学生作图,及时展示已经完成 的同学的图像。务必保证每组同学能够做出一条抛物线来, 为后续工作做准备) 师:现在我们同学都已经做出了抛物线的图像了(展示画 出的抛物线的图像) ,谁能告诉我抛物线的定义是什么呢? (请学生回答) 师:抛物线上的点有什么共同的特征呢? 引导学生观察得出 1.|MF|,|MA|都在变化; 2.∣MF∣+∣MA∣的长度保持不变; 3.∣MF∣+∣MA∣=∣MH∣+∣MA∣ 4. ∣MH∣=∣MF∣ 【设计意图】培养学生观察能力、归纳总结能力,为形成抛物线定义奠定基础。 师:谁能告诉我抛物线的定义是什么呢? (请学生回答) 生: (预测)到定点 F 的距离等于到定直线 l 的距离相等的点的轨迹。 (若学生无法得出较完整的定义,不凡再次返回引导学生观察) 师:很好! (在黑板上板书定义,并把细节补充完整) 师: (课件展示焦点和准线)我们把 F 点称为抛物线的焦点,把直线 l 称为抛物线的准线。 【设计意图】整理试验,归纳抽象成数学问题,为将几何问题代数化作下铺垫。同时也为培 养学生将文字语言转化为数学语言,进而推导抛物线标准方程做铺垫。 师:我们已经从几何的角度研究了抛物线的图像。现在我们来从代数的角度研究抛物线。要 从代数的角度研究抛物线就必须先写出抛物线的方程。

(老师板书:抛物线的标准方程) (老师与学生一起回顾曲线方程建立的过程:建系、设点、列式、化简、检验) 师:请每组同学在已经做好的抛物线上建系。 (教师巡视全场,并适当引导学生观察图像建系) 学生有可能出现的方案有一下几种 方案一:取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴,垂足为 K,取线段 KF 的中垂线为 y 轴, 建立平面直角坐标系 xOy; 方案二:取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴,垂足为 K,取 l 为 y 轴,建立平面直角 坐标系 xOy; 方案三:取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴,垂足为 K,取 F 点为原点,建立平面直 角坐标系 xOy; 方案四:方案一的做法,但正方向相反或 x 轴和 y 轴互换(若有这种画法的,先肯定学生, 然后后面再补充) 师:我们同学的建系大致有如下三种方案 (课件展示方案一~方案三) 【设计意图】培养学生解题方法技巧以及享受数学解题的美感。 师:现在我们 设M ? x, y ? ,点F到直线l的距离为p (课件展示) 师:请依照你们所建的系列出抛物线的方程,并化简出最终结论。 (请学生回答三种建系方案所得到的曲线方程) 学生动手操作,一般可以得出上面三个方案的结论。
方案一:y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? 方案二:y 2 ? 2 px ? p 2 ? p ? 0 ? 方案三:y 2 ? 2 px ? p 2 ? p ? 0 ?

师:很好!观察三种方案得出的曲线方程,大家觉得哪一套方案的曲线方程最简洁、最美? (通过引导观察,学生一般都可以肯定方案一的结论。 ) (展示课件,隐去其他两种方案。引导学生观察曲线上的点都是方程的解,方程的解都在曲 线上。 ) 师:我们把这个方程称为抛物线的标准方程。 (课件展示,同时展示焦点坐标和准线方程) 【设计意图】(1)巩固已学过的两点距离公式的同时为推导标准方程做准备; (2)学习巩固根式化简,两边平方; (3)锻炼学生的计算能力及其解题技巧。 师:观察图像,这个图像有什么特点? 生:焦点在 x 轴上,顶点为原点,开口向右 【设计意图】(1)培养学生感受数学的美; (2)强调焦点在 x 轴正半轴上,为与焦点在 x 轴负半轴上和焦点在 y 轴上的抛物线的标准 方程的对比埋下伏笔。

师:那如果开口向左,或开口向上、开口向下时,它们的标准方程又是什么呢?它们的焦点 坐标和准线方程有什么不同呢? (课件展示四类抛物线的图像,引导学生观察) 在前面的基础上,学生一般都可以得出下列结论: 图形 标准方程 焦点坐标
y2 ? 2 px ? p ? 0?
?p ? ? ,0? ?2 ?

准线方程
x?? p 2

y2 ? ?2 px ? p ? 0?

? p ? ? ? ,0? ? 2 ?
? p? ? 0, ? ? 2?

x?

p 2 p 2

x2 ? 2 py ? p ? 0?

y??

x2 ? ?2 py ? p ? 0?

p? ? ? 0, ? ? 2? ?

y?

p 2

【设计意图】培养学生类比和换元的基本思想。

C、例题巩固 例 1 已知抛物线的标准方程是 y ? 6 x ,求它的焦点坐标和准线方程。
2

例 2 已知抛物线的焦点是 F ? 0, ?2 ? ,求它的标准方程; 变式一:已知抛物线的焦点在 x 轴上,且过 A ? 8, 4 ? ,求抛物线的标准方程。 变式二:已知抛物线过 A ? 8, 4 ? ,求抛物线的标准方程。 (老师板书:求抛物线的方法 待定系数法) 【设计意图】1.巩固抛物线方程的求法; 2.培养学生分类讨论的思想; 3.变式对比让学生对抛物线四种标准标准方程的把握更到位。 例3 2010 年 4 月 26 日中国大陆第一条海底隧道厦门翔安海底隧道 建成通车。翔安海底隧道主洞隧道截面为抛物线,宽 一辆宽为

27 m,高 5m, 2

5 m 的大货车,装货后高度不得超过多少才能安全通过隧 2

道。 (提出生活中的实例,根据学生对问题的研究而决定解答或留给学生思考。 ) 【设计意图】回到生活,让学生感受到数学存在于我们的生活之中。 师: 我们初中时就讲过二次函数的图像时一条抛物线, 能否根据今天我们学到的知识解释下

为什么二次函数的图像是条抛物线呢? (引导学生对二次函数的图像进行化简,并整理成抛物线的标准方程) D、总结 师:这节课我们都学了些什么内容? (学生回答,老师进行总结,并课件展示) 【设计意图】让学生对整堂课有个整体的把握。 E、布置作业 P73 A 组 1,5,7 【设计意图】让学生对整堂课有个整体的把握。

二、教学实践心得 抛物线及其标准方程的教学价值的挖掘与思考 “抛物线及其标准方程” 是高中数学教材选修 2-1 第二章第四部分的第一节课。 此节是 建立在已学过圆、椭圆、双曲线(特别是后两者)的基础上,由圆锥曲线的第二定义展开, 得到的一类特殊的曲线,同时也弥补了离心率为 1 的情况。同时,抛物线的定义也为后续抛 物线的几何性质做了铺垫。所以“抛物线及其标准方程”这节课不仅在教材中起到了承上启 下的作用,同时也对圆锥曲线提出了统一的定义(第二定义:到焦点的距离与到相应准线的 距离的比为常数(e) ) 。 秉着“以人为本”的教育方针,思考数学这门学科有什么用,对学生的未来会带来什么 影响为宗旨。本节课设计时,将课堂交给学生,由学生作图——建系——列式——化简,最 终确定抛物线的标准方程。在整个教学过程中,教师始终处于一个引导的地位,所有结论均 由学生得出,教师进行适当的归纳。在教学过程中,始终扣紧“生活中有数学,数学中有生 活”的主题,从生活中引入数学,最终解答生活中的问题,使学生对数学进行全新的认识, 颠覆学生“数学在生活中只是计算”的概念。多种手段的应用,多方面的启发,多角度的切 入是这堂课能够活跃的根本。 当然,在教学过程中也暴露了一些问题 1. 实验主体的能力差异 学生动手能力的参差不齐导致在抛物线画法的实验中, 即使我们老师亲力亲为, 现场指 导下, 还是有部分学生靠临摹都无法按规定独立完成作图。 显然学生自己动手操作能加深学 生对于知识的理解与掌握, 让偶尔的实验无法锻炼学生的动手能力, 从而也给教学带来极大

的困扰。 加强数学教学中的学生动手实验是我们改革的一个目标。 对于课堂的整体驾驭能力, 以及同法情况的处理是本人今后要加强的一个方面。 2. 教学设备的配置 为了确保实验能够成功却不占用过多的时间, 本次课的实验器材都是老师预先进行细致 的加工,其实这占用了老师很多的准备时间。按往常教学来说,我们老师根本没这么多时间 对每一次的课堂进行器材的准备。 数学实验室的建立和基本器材的充分准备以及多媒体设备 的普及是我们数学改革面临的一个大问题,另外一些常用软件:比如几何画板、数学公式编 辑器等的培训也是我们数学教学目前要解决的问题。 同时, 对于道具的选着和改进也是目前 本人要改进的一个方面。 3. 数学教学的目的 “我们教学时该传授的是什么?” 是困扰我们教师的一大问题。 “解决一类问题的通法” 是我们要始终维持的一种理念。 计算机程序的设计很好的解决了这个问题, 那么我们教学生 对于事物的探究过程是否也能时时处处贯彻这种理念?比如本次课堂中:数形结合的思想、 方程的思想等的贯彻甚至于直接告诉学生 “这样做都可以解决” 的理念以及这些理念贯彻的 最合适时间的选择是我在今后教学过程中要加强的方面。 4. 数学建模的思想 数学的作用是将生活的实例帮到我们纸张上, 再将纸张上的研究成果返回生活中, 从而 改造我们的世界。 如何教会学生在现实和抽象之间构建起桥梁, 是我们能够让学生对数学引 起兴趣的根本所在。数学有什么用?数学怎么用?是我们永远思考的主题。 以上是我对这次教学的一些思考,请各位专家指导,谢谢! 三、专家点评 由于学生在初中已经学过二次函数, 并且清楚二次函数的图象是抛物线, 因此如何让学 生自然地接受抛物线的定义、体会引入抛物线定义的必要性和合理性是教学的难点。 本节课分别从教和学的角度设计了两条的线索,引导学生理解掌握抛物线的定义。 线索一: 教师通过生活实例引入——演示实验——得出结论——回归生活。 让学生很自 然地感受到生活中有数学,数学存在生活中,让学生深刻体会到数学在生活中的用处,极大 引起学生对数学的兴趣。 线索二:学生通过自己做出抛物线——建系——列式——化简——自行比较得出结论。 学生亲身经历整个过程,有自己的思考与领悟,在不停纠错的过程中得出自己的结论,记忆 形象深刻。 在双线索的教学设计下,为了满足了不同层次的学生实际,培养学生的合作学习能力, 设计了学生四人一组的合作方案,让学生相互帮助,共同完成图形的绘制和方程的推导,效 果较好。 本节课教学目标明确,教学重点突出,教学手段多样且贴近学生实际,教学效果好。在

整个教学过程中,教师始终坚持以学生为本,较好地培养了学生运算推理能力、动手实践能 力。 让学生分组合作支手实验作出抛物线的轨迹, 引导学生从作图实验中抽象出抛物线的定 义,是一种很好的创新与尝试, 符合“做中学”的数学课程理念。在学生实验用具的准备上, 教师进行了精心的设计,对传统教具进行了改革,提高了实验的成功率,让整个教学过程顺 利流畅。 在教学中教师注重学生对所学知识的建构, 从多个角度解释了二次函数的图象与抛物线 的一致性。 本节课学生始终是在教师的指导下开展学习活动, 教师没有把结论直接告诉学生, 例如如何建立坐标系、 如何列式、 如何化简等, 教师是通过对学生多种建系方法的分析评价, 学生自行动手建系、 列式、 化简, 最后教师与学生一起选出具有最简方程的建系方法。 另外, 在教学过程中,教师合理地使用了多媒体技术,将教学内容与信息技术有机整合,取得了很 好的效果。当然,本节课也存在着一些不足之处。例如一些文字的表述不够规范,作业的布 置没有选择性等。 总体上来讲,本节课是一堂较为成功的创新课。 点评人:厦门双十中学 李海北


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