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三角函数的图像与性质复习教案


从心而悟

由学而通

授课教案(
学员姓名:刘雯婷 学员年级:高二 教学标题

11 月第 4 次课)

授课教师:杨江超 所授科目:数学 上课时间:2013 年 11 月 24 日 10:00 至 12:00 共 2 小时 三角函数的图像与性质

( 1) .能画出 y=sin x, y=cos x 的图像,了解三角函数的周期性; (2) .借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π ],正切函数在(-π /2, π /2)上的性质(如单调性、最大和最小值、图像与 x 轴交点及奇偶性等) ; 教学目标

(其中A ? 0,? ? 0) (3) .函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 图像性质及常见问题
的处理方法

上次作业完成 情况 授课内容: 一、教学内容概括 1、 《三角函数的图像及性质》是人教版必修 4 第一章 1.4 节的内容.所用时间为一课时. 2、近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函数的图象与性质的考查,因为函数 的性质是研究函数的一个重要内容,是学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解决生产实际问 题的工具,因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想,把图象 与性质结合起来,即利用图象的直观性得出函数的性质,或由单位圆上线段表示的三角函数值来获 得函数的性质,同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性 质,又能熟练地运用数形结合的思想方法。 二、教学目标分析 1、知识与技能: ( 1) .能画出 y=sin x, y=cos x 的图像,了解三角函数的周期性; (2) .借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π ],正切函数在(-π /2,π /2)上的性质 (如单调性、最大和最小值、图像与 x 轴交点及奇偶性等) ;

(其中A ? 0,? ? 0) (3) .函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 图像性质及常见问题的处理方法
2、过程与方法:培养学生应用所学知识解决问题的能力,独立思考能力,规范解题的标准。 3、情感态度与价值观:培养学生全面的分析问题和认真的学习态度,渗透辩证唯物主义思想。

教 学 重 点:使学生掌握三角函数图像及性质,并能应用解决问题 教学难点、关键:正弦函数,余弦函数的图像及性质应用方法和技巧 教 学 方 法:启发、引导、研讨相结合 教 学 手 段:结合学生复习情况,使用多媒体课件,提高教学的效率 教 学 课 时:2 课时
三 导言:预测未来高考对本讲内容的考察为: 1.题型为 1 道选择题(求值或图象变换) ,1 道解答题(求值或图像变换) ; 2.热点问题是三角函数的图象和性质,特别是 y=Asin(wx+φ )的图象及其变换; 二、新课 要点精讲 1、图像

1

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y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2 -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

4?

x

2、三角函数的单调区间:

(其中A ? 0,? ? 0) 3、函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B
最大值是 ,最小值是 ,周期是 ,频率是 ,相位是 ,初相是 ;其图象的对称轴是直线 , 凡是该图象与直线 的交点都是该图象的对称中心。 4.由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ω x+ ? )的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径, 才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现 无论哪种变形,请 切记每一个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0=平移| ? |个单位,再将图象上各点的横坐标
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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变为原来的

1

?

倍(ω >0),便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 =平移

1

|? |

?

倍(ω >0), 再沿 x 轴向左( ? >0)或向右( ? <0

5.由 y=Asin(ω x+ ? )的图象求其函数式: 给出图象确定解析式 y=Asin(ω x+ ? )的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(- 突破口,要从图象的升降情况找准 第一个零点的位置。 .. 6.对称轴与对称中心: y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ? ? ,对称中心为 (k? ,0) 2
?

?

个单位,便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。

? ,0)作为 ?

k ?Z ;

y ? cos x 的对称轴为 x ? k? ,对称中心为 (k? ? 2 ,0) ; 对于 y ? A sin(? x ? ? ) 和 y ? A cos(? x ? ? ) 来说, 对称中心与零点相联系, 对称轴与最值点联系。 7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意 A、 ? 的
正负 利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间; 8.求三角函数的周期的常用方法: 经过恒等变形化成“ y ? A sin(? x ? ? ) 、 y ? A cos(? x ? ? ) ”的形式,在利用周期公式,另外 还有图像法和定义法。
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2

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9.五点法作 y=Asin(ω x+ ? )的简图: 五点取法是设 x=ω x+ ? ,由 x 取 0、 作图。

π 3π 、π 、 、2π 来求相应的 x 值及对应的 y 值,再描点 2 2

四.典例解析 题型 1:三角函数的图象 例 1. (2000 全国,5)函数 y=-xcosx 的部分图象是(



例 2. (2002 上海,15)函数 y=x+sin|x|,x∈[-π ,π ]的大致图象是(



点评:利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练地 运用数形结合的思想方法。 题型 2:三角函数图象的变换

1 π 例 3.试述如何由 y= sin(2x+ )的图象得到 y=sinx 的图象。 3 3
例 4. (2003 上海春,15)把曲线 ycosx+2y-1=0 先沿 x 轴向右平移 移 1 个单位,得到的曲线方程是( A. (1-y)sinx+2y-3=0 3=0 C. (y+1)sinx+2y+1=0 )

? 2
I

个单位,再沿 y 轴向下平

B. (y-1)sinx+2y-
D. -(y+1)sinx+2y+1=0
-

300

例 5.已知电流 I 与时间 t 的关系式为 I ? A sin(?t ? ? ) 。

1 900

o

1 180

t

-300

3

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(1)右图是 I ? A sin(?t ? ? ) (ω >0, | ? |? 在一个周期内的图象,根据图中数据求

? ) 2

I ? A sin(?t ? ? )
的解析式; (2)如果 t 在任意一段

1 秒的时间内,电流 I ? A sin(?t ? ? ) 都能取得最大值和最小值, 150

那么ω 的最小正整数值是多少? 点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言.其中,读图、识图、用图是形数结合的 有效途径。 例 6. (1) (2003 上海春,18)已知函数 f(x)=Asin(ω x+ ? ) (A>0,ω >0,x∈R)在一个周期 内的图象如图所示,求直线 y=

3 与函数 f(x)图象的所有交点的

坐标。 点评:本题主要考查三角函数的基本知识,考查逻辑思维能力、 分析和解决问题的能力。 例 7.求下列函数 y= 五

1 π 2x sin( - )的单调区间; 2 4 3



小结: 1.数形结合是数学中重要的思想方法,在中学阶段,对各类函数的研究都离不开图象,很多函 数的性质都是通过观察图象而得到的。 2.作函数的图象时,首先要确定函数的定义域 。 3.对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根据周期 性作出整个函数的图象。 作业:把自己的作业题签认真加以做好,补充所缺欠的知识点。 板书设计:
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六、

§课题 一.正弦函数,余弦函数形式及图像; 二.典型例题及解题方法; 三.小结:解题方法归纳。

七、 总结与反思:反思学习过程,对研究正弦函数,余弦函数的图像,性质,进行概括,深化认识。 三角函数是一类特殊的周期函数,在研究三角函数时,既可以联系物理、生物、自然界中的周期现 象,也可以从已学过的指数函数,对数函数、幂函数等得到启发,还要注意与锐角三角函数建立联 系。

4

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一、选择题
1.已知函数 f(x)=2sin ? x( ? >0)在区间[ ?

? ?
3 4
,

]上的最小值是-2,则 ? 的最小值等于( C.2 D.3



A.

2 3

B.

2.若函数 y ? cos(? x ?

?
3

3 2

) (? ? 0) 的图象相邻两条对称轴间距离为
B. 12 C. 2

? ,则 ? 等于 2
D.4



A.

1 2

3.将函数 y ? sin( x ?

?
6

)( x ? R ) 的图象上所有的点向左平行移动

? 个单位长度, 再把图象上各点的横 4

坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象的解析式为 A. y ? sin(2 x ? C. y ? sin( ?
4.函数 y ? cos(2 x ?

x ? )( x ? R ) 2 12
?
6

5? )( x ? R) 12

B. y ? sin( ?

x 5? )( x ? R) 2 12 x 5? )( x ? R) D. y ? sin( ? 2 24
/ /

) ? 2 的图像 F 按向量 a 平移到 F ,F 的解析式 y=f(x),当 y=f(x)为奇函数时,向量 a

可以等于

? A. ( ,?2) 6

? B. ( ,2) 6

C. (?

?
6

,?2)

D. (?

?
6

,2)

5.将函数 y ? sin x 的图象向左平移 ? (0 ? ? ? 2? ) 个单位后,得到函数 y ? sin( x ?

?
6

) 的图象,则 ?

等于( A.

) B.

? 6

7? 6

C.

6.函数 y

? sin 2x ? 3 cos2x ( ?
B. ?? 2,0?

?
6

11? 6

D.

?x?

?
6

5? 6

) 的值域为
C. ?0,2? D. [? 3,0]

A. ?? 2,2?

7.将函数

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变),

再将所得的图象向左平移

个单位,得到的图象对应的解析式是





A.

B.

C.

D.

5

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8.函数 f(? ) =

sin? -1 的最大值和最小值分别是 cos? -2 3 (B) 最大值不存在和最小值 4 3 (D) 最大值不存在和最小值-4 )

(

)

4 (A) 最大值 3 和最小值 0 4 (C) 最大值 -3 和最小值 0
9 . t ? sin ? ? cos ? 且 sin
3

? ? cos3 ? <0,则 t 的取值范围是(

A. ? 2 ,0

?

?

B. ? 2 , 2

?

?

C. ?? 1,0? ? 1, 2

?

?

D. ? 3,0 ?

?

? ? 3,???

10.把函数 y ? f ( x) 的图象沿着直线 x ? y ? 0 的方向向右下方平移 2

2 个单位,得到函数

y ? sin 3x 的图象,则



) B、 y ? sin(3x ? 6) ? 2 D、 y ? sin(3x ? 6) ? 2

A、 y ? sin(3x ? 2) ? 2 C、 y ? sin(3x ? 2) ? 2

二、填空题
11.设函数

[来源:学科网 ZXXK]

f ( x) ? cos( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ). 若 f ( x) ? f ?( x) 是奇函数,则 ? =

.

12.方程 2 cos( x ?

?
?
4
6

) ? 1 在区间 (0, ? ) 内的解是



13.函数 y ? 2 sin(

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间

14. 已 知 x ? R , 则 函 数

sin x ? cos x ? ? f ( x) ? max ?sin x,cos x, ? 的最大值与最小值的和等 2 ? ?





三、解答题
15.△ABC 的三个内角为 A、B、C,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos

B?C 取得最大值,并求出这个最大 2

值.

6

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从心而悟
[来源:学科网]

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[来源:学+科+网]

16.已知函数 f(x)=sin x+

2

3 xcosx+2cos2x,x ? R.

(I)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区 间; (Ⅱ)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?

17.向量 a = (cosx + sinx, 2 cosx),b = (cosx – sinx, 2 sinx),f (x) = a·b.

(Ⅰ)求函数 f (x)的单调区间; (Ⅱ)若 2x2 – ? x≤0,求函数 f (x)的值域.

作业:

学员课堂表现:

签字确认

学员_____________

教师_____________
7

教研主任_____________
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8

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