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棱柱和棱椎的外接球和内切球


简单几何体的外切球与内接球的计算
一、棱柱与球 1、正棱柱具备内切球的条件:侧棱长与底面边长有一定的运算关系。 分析正三、四、六棱柱具备内切球时,基侧棱长与底面边长的比例。其中正三棱柱的侧棱与底面连长 比值为 3:1,正四棱柱的侧棱与底面连长的比值为 1:1;正六棱柱的侧棱与底面连长的比值为 3:3.

2、直棱柱的外接球球心位置:上下两底中心连线的中点。[分析原因] 注:长方体和正方体的外接球直径为体对角线,外接球球心为体对角线的中点。

例:直三棱柱中,底面边长分别为 4,4,4 2;侧棱长为 3,计算外接球的表面积。

二、棱锥与球 1、棱锥的内切球半径=S
3V


[分析过程:等体积法]

例:正三棱锥 P-ABC 中,侧棱长为 8,底面边长 6,计算内切球半径。 例:四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,边长为 4,侧棱 PA 垂直面 ABCD,长度为 4,计算内

切球半径。 2、棱锥的外接球半径的计算。 1、利用外接球球心的意义求普通棱锥的外接球半径 注:棱锥的外接球球心就是确定一点,到棱锥所有顶点的距离都相等,并且该距离就是半径。[主要体现在 折叠过程中找线段相等的条件] 例: 已知矩形 ABCD, AB=3, BC=4, 沿对角线 AC 进行折叠, 形成三棱锥 D-ABC,计算外接球的表面积。 分析:对角线 AC 的中点就是外接球的球心。

2、正棱锥的外接球球心一定顶点与底面中心连线上(或延长线上) ,分析原因。 例:已知正三棱锥的侧棱长与底面连长相等,计算外接球与内切球的表面积之比。[9:1] 注:外接球与内切球半径为 3:1,且两球球心重合,长度分别为高的4 和 4。 例 : 正 四 棱 锥 P - ABCD 的 五 个 顶 点 在 同 一 个 球 面 上 , 若 底 面 边 长 为 4 , 侧 棱 长 为 2 6,则此球的表面积为(36π)
3 1

3、共顶点的三条棱两两垂直时,把三棱锥放入所对应的长方体中,它们所对应的外接球 为同一个球,[棱锥的外接球 棱柱的外接球]

例:三棱锥 P-ABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两垂直,PA=1,PB=2,PC=3,且这个三棱锥的顶 点都在同一个球面上,则这个球面的表面积为(14π) 例:已知 P、A、B、C、D 是球 O 的球面上的五点,正方形 ABCD 的连长为 2 3,PA 垂直面 ABCD,PA =2 6,则此球的体积为(32 3π) 三、圆锥的内切球以及内接圆柱的相关计算 思路:画轴截面后,找到相似三角形,研究母线,圆锥半径、球半径之间的运算关系 例:若圆锥的高等于其内切球半径长的 3 倍,则圆锥侧面积与球面积之比为(3:2) 例:圆锥的高和底面半径相等,它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等,求圆柱的表面积和圆锥的 表面积的比值为( 2 ? 1) 四、若球与几何体的棱相切时,则对棱之间的距离就是球的直径。 注:对棱之间的距离 两条直线的距离 平行直线之间的距离 异面直线之间的距离 公垂线段的长度

例:若正方体的棱长为 6,则与其侧棱都相切的球的直径为:

例:若正四面体的棱长为 6,则与棱都相切的球的直径为: 例:正三棱锥的侧棱长为 6,底面连长为 4,则与棱都相切的球的直径为:


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