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2011年高三数学一轮复习精品导学案:第八章 平面解析几何(8.1直线与方程)


2011 年高三数学一轮复习精品导学案:第八章 平面解析几何
【知识特点】
1、本章内容主要包括直线与方程、圆与方程、圆锥曲线,是解析几何最基本,也是很重 要的内容,是高中数学的重点内容,也是高考重点考查的内容之一; 2、本章内容集中体现了用坐标法研究曲线的思想与方法,概念、公式多,内容多,具有 较强的综合性; 3、研究圆锥曲线的方法很类似,因此可利用类比的方法复习椭圆、双曲线、抛物线的定 义与几何性质,掌握解决解析几何问题的最基本的方法。

【重点关注】
1、关于直线的方程,直线的斜率、倾斜角,几种距离公式,两直线的位置关系,圆锥曲 线的定义与性质等知识的试题,都属于基本题目,多以选择题、填空题形式出现,一般涉及 两个以上的知识点,这些将是今后高考考查的热点; 2、关于直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系的题目出现次数较多,既有选择题、填 空题,也有解答题。既考查基础知识的应用能力,又考查综合运用知识分析问题、解决问题 的能力; 3、直线与圆锥曲线联系在一起的综合题多以高档题出现,要求学生分析问题的能力,计 算能力较高; 4、注重数学思想方法的应用 解析法、数形结合思想、函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论思想及待定 系数法在各种题型中均有体现,应引起重视。

【地位和作用】
解析几何是 17 世纪数学发展的重大成果之一,其本质是用代数方法研究图形的几何性 质,体现了数形结合的重要数学思想。在本模块中,学生将在平面直角坐标系中建立直线和 圆的代数方程,运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系,并了解空间直角坐标 系。体会数形结合的思想,初步形成用代数方法解决几何问题的能力。 在平面解析几何初步的教学中,教师应帮助学生经历如下的过程:首先将几何问题代数 化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题; 分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终,

帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。 从新课改近两年来的高考信息统计可以看出,命题呈现出以下特点: 1、各种题型均有所体现,分值大约在 19-24 分之间,比重较高,以低档题、中档题为主; 2、主要考查直线及圆的方程,圆锥曲线的定义、性质及综合应用,符合考纲要求,这些 知识属于本章的重点内容,是高考的必考内容,有时还注重在知识交汇点处命题; 3、预计本章在今后的高考中仍将以直线及圆的方程,圆锥曲线的定义、性质及直线与圆 锥曲线的位置关系为主命题,且难度有所降低;更加注重与其他知识交汇,充分体现以能力 立意的命题方向。

第一节
【高考目标定位】
一、直线的倾斜角与斜率 (一)考纲点击

直线与方程

1、理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式; 2、能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。 (二)热点提示 1、直线的倾斜角和斜率、两直线的位置关系是高考热点; 2、主要以选择、填空题的形式出现,属于中低档题目。 二、直线的方程 (一)考纲点击 1、掌握确定直线位置的几何要素; 2、掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点及一般式) ,了解斜截式与一次函数的关系。 (二)热点提示 1、直线的方程是必考内容,是基础知识之一; 2、在高考中多与其他曲线结合考查,三种题型可出现,属于中低档题。 三、直线的交点坐标与距离公式 (一)考纲点击 1、能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标; 2、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离。 (二)热点提示

1、本节重点体现一种思想——转化与化归的思想,这种思想是高考的热点之一; 2、本部分在高考中主要以选择、填空为主,属于中低档题目。

【考纲知识梳理】
一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点: ⅰ.与 x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ②直线与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0 0 . ③倾斜角 ? 的范围 00 ? ? ? 1800 . (2)直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为 900 的直线斜率不存在。 ②经过两点 的直线的斜率公式是

③每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率。 2、两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1 , l2 ,其斜率分别为 k1 , k 2 ,则有 l1 / /l2 ? k1 ? k2 。特别地,当 直线 l1 , l2 的斜率都不存在时, l1与l2 的关系为平行。 (2)两条直线垂直

k2 ? ?1 如果两条直线 l1 , l2 斜率存在,设为 k1 , k 2 ,则 l1 ? l2 ? k1 ?
注:两条直线 l1 , l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确;由两直线的斜率之 积为-1,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1。如果 l1 , l2 中有一 条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 0 时, l1与l2 互相垂直。

二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 点斜式 率 斜截式 k 为斜率, b 是直线在 y 轴上的截距 方程的形式 已知条件 为直线上一定点,k 为斜 局限性 不包括垂直于 x 轴的 直线 不包括垂直于 x 轴的 直线 两点式 定点 截距式 a 是直线在 x 轴上的非零截距, b是 直线在 y 轴上的非零截距 一般式 A,B,C 为系数 是直线上两 不包括垂直于 x 轴和 y 轴的直线

不包括垂直于 x 轴和 y 轴或过原点的直线 无限制,可表示任何 位置的直线

注: 过两点 定。 (1)若

的直线是否一定可用两点式方程表示? (不一 ,直线垂直于 x 轴,方程为 , 直 线 垂 直 于 y 轴 , 方 程 为 ,直线方程可用两点式表示) ; (2)若 ;( 3 ) 若

2、线段的中点坐标公式 若点 的坐标分别为 ,且线段 的中点 M 的坐标为

(x,y) ,则

此公式为线段

的中点坐标公式。

三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是 ,

两条直线的交点坐标就是方程组

的解,若方程组有唯一解,则这两

条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平 行;反之,亦成立。 2.几种距离 (1)两点间的距离 平 面 上 的 两 点 间 的 距 离 公 式

特别地,原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离 (2)点到直线的距离



到直线

的距离



(3)两条平行线间的距离 两 条 平 行 线 间 的 距 离

注: (1)求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式; (2)求两条平行线间的距离时,必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套 用公式计算。

【热点难点精析】
一、直线的倾斜角与斜率 (一)直线的倾斜角 ※相关链接※

2.已知斜率 k 的范围,求倾斜角 ? 的范围时,若 k 为正数,则 ? 的范围为 (0, 集,且 k=tan ? 为增函数;若 k 为负数,则 ? 的范围为 (

?
2

) 的子

?
2

, ? ) 的子集,且 k=tan ? 为增函数。

若 k 的范围有正有负,则可所范围按大于等于 0 或小于 0 分为两部分,针对每一部分再根据 斜率的增减性求倾斜角范围。 ※例题解析※ 〖例〗已知直线的斜率 k=-cos

? ( ? ∈R).求直线的倾斜角 ? 的取值范围。

思路解析:cos ? 的范围 ? 斜率 k 的范围 ? tan ? 的范围 ? 倾斜角 ? 的取值范围。 解答:

? ?1 ? cos ? ? 1,??1 ? ? cos ? ? 1.即 ? 1 ? k ? 1,??1 ? tan ? ? 1, ?0 ? ? ?

?
4



3? ? ? ??, 4

? ? 3? ? ? 倾斜角?的范围为[0, ] ? ? , ? ? . 4 ? 4 ?
(二)直线的斜率及应用 ※相关链接※ 1、斜率公式: k ?

y2 ? y1 与两点顺序无关,即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同; x2 ? x1

2、求斜率的一般方法: (1)已知直线上两点,根据斜率公式 k ?

y2 ? y1 ( x2 ? x1 ) 求斜率; x2 ? x1

(2)已知直线的倾斜角 ? 或 ? 的某种三角函数根据 k ? tan ? 来求斜率; 3、利用斜率证明三点共线的方法: 已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), 若 x1 ? x2 ? x3或k AB ? k AC , 则有 A、 B、 C 三点共线。 注:斜率变化分成两段, 900 是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论。 ※例题解析※ 〖例〗设 a, b, c 是互不相等的三个实数,如果 A(a, a )、B(b, b )、C (c, c ) 在同一直线 上,求证: a ? b ? c ? 0 思路解析:若三点共线,则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。
3 3 3

解答:

(三)两条直线的平行与垂直 〖例〗已知点 M(2,2) ,N(5,-2) ,点 P 在 x 轴上,分别求满足下列条件的 P 点坐标。 (1)∠MOP=∠OPN(O 是坐标原点) ; (2)∠MPN 是直角。 思路解析:∠MOP=∠OPN ? OM//PN,∠MPN 是直角 ? MP ? NP,故而可利用两直线 平行和垂直的条件求得。 解答:

设P ( x, 0), (1) ? ?MOP ? ?OPN ,? OM / / NP.? kOM ? k NP 又kOM ? ?1 ? 2?0 0 ? (?2) 2 ? 1, k NP ? ? ( x ? 5), 2?0 x?5 x?5

2 ,? x ? 7, 即P (7, 0). x?5 (2) ? ?MPN ? 900 ,? MP ? NP,? k MP ?k NP ? ?1.

2 2 2 2 ( x ? 2), k NP ? ( x ? 5),? ? ? ?1, 2? x x ?5 2? x x ?5 解得x ? 1或x ? 6, 又k MP ? 即P (1, 0)或(6, 0).
注: (1)充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决本题的关键,对于斜率都存在 且不重合的两条直线 l1 和 l 2 , 直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意。 (2)注意转化与化归思想的应用。 (3)利用斜率的几何意义可以证明不等式,利用两斜率之间的关系可以判断两直线的平 行或垂直,数形结合的思想方法可帮助我们很直观地分析问题,抓住问题的实质。 二、直线的方程 。若有一条

(一)直线方程的求法 ※相关链接※ 1、求直线方程应先选择适当的直线方程形式并注意各种形式的适用条件。基本方法包括 利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量。 用待定系数法求直线方程的步骤: (1)设所求直线方程的某种形式; (2)由条件建立所求参数的方程(组) ; (3)解这个方程(组)求参数; (4)把所求的参数值代入所设直线方程。 2、求直线方程时,首先分析具备什么样的条件;然后恰当地选用直线方程的形式准确写 出直线方程。要注意若不能断定直线具有斜率时,应对斜率存在与不存在加以讨论。在用截 距式时,应先判断截距是否为 0。若不确定,则需分类讨论。 ※例题解析※ 〖例〗求过点 P(2,-1) ,在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a、b,且满足 a=3b 的直线方程。 思路解析:对截距是否为 0 分类讨论 ? 设出直线方程 ? 代入已知条件求解 ? 得直线方 程。 解答: 当 a=3,b≠0 时, 设所求直线方程为

x y x y 即 ? ? 1, ? ?1 . 又直线过点 2 ( ,P ,1 ) a b 3b b

?

2 ?1 1 ? ? 1, 解得b ? ? .所求直线方程为x ? 3 y ? 1 ? 0. 3b b 3 当a ? 3b ? 0时,则所求直线过原点,可设方程为y ? kx(k ? 0). 1 又直线过点P(2, ?1), 则 ? 1 ? 2k , k ? ? . 2 1 所求直线方程为y ? ? x. 2 1 综上所述,所求直线方程为x ? 3 y ? 1 ? 0或y ? ? x. 2
(二)用一般式方程判定直线的位置关系 ※相关链接※ 两条直线位置关系的判定 已知直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,则 (1)

l1 / / l2 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0且A1C2 ? A2C1 ? 0(或B1C2 ? B2C1 ? 0) A B C 或记为: 1 ? 1 ? 1 ( A2、B2、C2不为0). A2 B2 C2
(2) l1 / /l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0. (3)

(4)

※例题解析※ 〖例〗 已知直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? (a ? 1) y ? a ? 1 ? 0 , (1) 试判断 l1 与 l 2
2

是否平行; (2) l1 ⊥ l 2 时,求 a 的值。 思路解析:可直接根据方程的一般式求解,也可根据斜率求解,所求直线的斜率可能不 存在,故应按 l 2 的斜率是否存在为分类标准进行分类讨论。 解答: (1)方法一:

由A1 B2 ? A2 B1 ? 0, 得a (a ? 1) ? 1? 2 ? 0,由A1C2 ? A2C1 ? 0, 得a (a 2 ? 1) ? 1? 6 ? 0,
2 ? ?a(a ? 1) ? 1? 2 ? 0 ?a ? a ? 2 ? 0 ? l1 / / l2 ? ? 2 ?? 2 ? a ? ?1, a ( a ? 1) ? 6 ?a(a ? 1) ? 1? 6 ? 0 ? ? 故当a ? ?1时,l1 / / l2,否则l与l2不平行.

方法二:

当a ? 1时,l1 : x ? 2 y ? 6 ? 0, l2 : x ? 0, l1不平行于l2; 当a ? 0时,l1 : y ? ?3, l2 : x ? y ? 1 ? 0, l1不平行于l2; 当a ? 1且a ? 0时,两直线可化为 a 1 x ? 3, l2 : y ? x ? (a ? 1), 2 1? a 1 ? a ?? ? l1 / / l2 ? ? 2 1 ? a , 解得a ? ?1, ? ??3 ? ?(a ? 1) l1 : y ? ? 综上可知,a ? ?1时,l1 / / l2,否则l1与l2不平行.
(2)方法一: 由 A1 A2 ? B1B2 ? 0得a ? 2(a ? 1) ? 0 ? a ? 方法二:

2 . 3

当a ? 1时,l1 : x ? 2 y ? 6 ? 0, l2 : x ? 0, l1与l2不垂直,故a ? 1不成立. a 1 x ? 3, l2 : y ? x ? (a ? 1), 2 1? a a 1 a 由(? )? ? ?1 ? a ? . 2 1? a 3 当a ? 1时,l1 : y ? ?
(三)直线方程的应用 ※相关链接※ 利用直线方程解决问题,可灵活选用直线方程的形式,以便简化运算。一般地,已知一 点通常选择点斜式;已知斜率选择斜截式或点斜式;已知截距或两点选择截距式或两点式。 另外,从所求的结论来看,若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长,常选用截距式 或点斜式。 注: (1)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程形式,要注意在这两种形式中所要求直 线的斜率存在。 (2) “截距”并非“距离” ,可以是正的,也可以是负的,还可以是 0。 ※例题解析※

〖例〗如图,

过点 P(2,1)作直线 l ,分别为交 x、y 轴

正半轴于 A、B 两点。 (1)当⊿AOB 的面积最小时,求直线 l 的方程; (2)当|PA|·|PB|取最小值时,求直线 l 的方程。 思路解析:求直线方程时,要善于根据已知条件,选取适当的形式。由于本题中给出了 一点,且直线与 x、y 轴在正方向上分别相交,故有如下常见思路: ①点斜式:设 l 的方程为 ,分别求出 A、B 的坐标,根据题目要求

建立目标函数,求出最小值并确立最值成立的条件;

②截距式:设 l 的方程为 标函数,求最小值及最值成立的条件;

,将点(2,1)代入得出 a 与 b 的关系,建立目

③根据题意,设出一个角,建立目标函数,利用三角函数的有关知识解决。 解答: (1)方法一:设 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2)(k ? 0) ,则 A(2 ?

1 ,0), B( o,1 ?2 k), k

1 1 1 1 1 ? S ? AOB ? (2 ? )(1 ? 2k ) ? 2 ? 2 ? (?4k ? ) ? 2 ? ?2 (?4k )(? ) ? 4, k 2 k 2 k 1 1 当且仅当 ? 4k ? ? ,即k ? ? 时取等号. k 2 1 1 ? k <0, ? k ? ? ,故所求直线的方程为y ? 1 ? ? ( x ? 2), 即x ? 2 y ? 4 ? 0. 2 2

方法二: 设所求直线方程为

由已知得



于是

。当且仅当

,即

时,

取最大值

1 ,此时 4


取最小值 4 。故所求的直线 l 的方程为

,即

方法三:设所求直线方程为

,由已知得

(2)方法一:

1 设直线l : y ? 1 ? k ( x ? 2)(k ? 0), 分别令y ? 0, x ? 0得A(2 ? , 0), B(0,1 ? 2k ). k 由 | PA |? | PB |? (4 ? 4k 2 )(1 ? 1 1 1 ) ? 8 ? 4( k 2 ? 2 ) ? 4.当且令当k 2 ? 2 , 2 k k k 即k ? ?1时, | PA |? | PB | 取得最小值. 又k ? 0,? k ? ?1, 这时l的方程是x ? y ? 3 ? 0.
方法二:

设?BAO ? ? (0 ? ? ? ?

?
2

), 过P作PE ? x轴于E , 作PF ? y轴于F .

| PE | | FP | ? sin ? , ? cos ? . | AP | | BP |

1 1 ,| BP |? . sin ? cos ? 2 4 ?| AP |? | BP |? ? . sin ? cos ? sin 2? 又 | PE |? 1| FP |? 2,?| AP |? ?? ? (0, ),? 0 ? sin 2? ? 1, 当 sin 2? ? 1,即? ? 时,原式取得最小值. 2 4 ? k ? ?1.? l的方程是x ? y ? 3 ? 0.
注:解析法解决实际问题,就是在实际问题中建立直角坐标系,用坐标表示点,用方程 表示曲线,从而把问题转化为代数问题,利用代数的方法使问题得到解决。 三、直线的交点坐标与距离公式 (一)有关距离问题 ※相关链接※ 1、点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式,应熟练掌握。 2、点到几种特殊直线的距离

?

?

(1)点 P( x0 , y0 ) 到 x 轴的距离 d ?| y0 | 。 (2)点 P( x0 , y0 ) 到 y 轴的距离 d ?| x0 | . (3)点 P( x0 , y0 ) 到与 x 轴平行的直线 y=a 的距离 d ?| y0 ? a | 。 (4)点 P( x0 , y0 ) 到与 y 轴平行的直线 x=b 的距离 d ?| x0 ? a | . 注:点到直线的距离公式当 A=0 或 B=0 时,公式仍成立,但也可不用公式而直接用数形 结合法来求距离。 ※例题解析※ 〖例〗已知点 P(2,-1) 。 (1)求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (2)求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明 理由。 思路解析:设出直线方程 ? 由点到直线距离求参数 ? 判断何时取得最大值并求之。 解答: (1)过 P 点的直线 l 与原点距离为 2,而 P 点坐标为(2,-1) ,可见,过 P(2,-1) 且垂直于 x 轴的直线满足条件。此时 l 的斜率不存在,其方程为 x=2。若斜率存在,设 l 的方

程为 y+1=k(x-2),即 kx-y-2k-1=0.由已知,得 为 3x-4y-10=0. 综上,可得直线 l 的方程为 x=2 或 3x-4y-10=0.

,解得 k ?

3 。此时 l 的方程 4

(2) 作图可得过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且与 PO 垂直的直线, 由 l ⊥OP, 得 kl kOP ? ?1, 所以 kl ? ?

1 ? 2, 由直线方程的点斜式得 y+1=2(x-2),即 2x-y-5=0.即直线 kOP

2x-y-5=0 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线,最大距离为

| ?5 | ? 5。 5

(3)由(2)可知,过 P 点不存在到原点距离超过 5 的直线,因此不存在过 P 点且到原 点距离为 6 的直线。 (二)有关对称问题 ※相关链接※

常见的对称问题: (1)中心对称 ①若点 及 关于 对称,则由中点坐标公式得

②直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它 们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用 ,由点斜式得到所求直线方程。 (2)轴对称 ①点关于直线的对称 若两点 的中点在对称轴 l 上,而且连接 关于直线 l : Ax+By+C=0 对称, 则线段 的直线垂直于对称轴 l 上,由方程组

可得到点 P 1 关于 l 对称的点 P 2 的坐标 ? x2 , y2 ? (其中 A ? 0, x1 ? x2 ) ②直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相 交;二是已知直线与对称轴平行。 ※例题解析※ 〖例〗求直线 l1 : y ? 2 x ? 3 关于直线 l : y ? x ? 1 对称的直线 l 2 的方程。 思路解析:转化为点关于直线的对称问题,利用方程组求解。 解答:方法一:由 ?

? y ? 2x ? 3 知直线 l1 与 l 的交点坐标为(-2,-1) ,设直线 l 2 的方程为 ? y ? x ?1

y+1=k(x+2),即 kx-y+2k-1=0.在直线 l 上任取一点(1,2) ,由题设知点(1,2)到直线 l1 、 l 2 的 距离相等,由点到直线的距离公式得

| k ? 2 ? 2k ? 1| (?1) 2 ? k 2

?

| 2? 2?3| 22 ? (?1) 2

,解得 k ?

1 (k ? 2舍去) , 2

∴直线 l 2 的方程为 x-2y=0. 方法二:设所求直线上一点为 P(x,y),则在直线 l1 上必存在一点 P 1 ( x0 , y0 ) 与点 P 关于 直线对称。 由题设:直线 PP 1 与直线 l 垂直,且线段 PP 1 的中点 P 2(

x ? x0 y ? y0 , ) 在直线上。 2 2

? y0 ? y ? 1 ? ?1 ? ? x0 ? y ? 1 ? x0 ? x , 变形得 ? , 代入直线 l1 : y ? 2 x ? 3 得 x+1=2(y-1)+3, ∴? y ? x ? 1 y ? y x ? x 0 ? ? 0 0 ? ?1 ? ? 2 2
整理得 x-2y=0. 所以所求直线方程为 x-2y=0. (三)解析法(坐标法)应用 〖例〗 (12)如图,已知 P 是等腰三角形 ABC 的底边 BC 上一点,PM⊥AB 于 M,PN⊥AC 于 N,用解析法证明|PM|+|PN|为定值。

思路解析: 建立直角坐标系利用点到直线的距离公式求出|PM|和|PN|的长度。 解答:过点 A 作 AO⊥BC,垂足为 O,以 O 为原点,建立如图所示的直角坐标,????? 1分

设 B(-a,0) ,C(a,0)(a>0),A(0,b),P( x1 ,0),a,b 为定值, x1 为参数,-a≤ x1 ≤a, ∴ AB 的 方 程 是 bx-ay+ab=0,AC 的 方 程 是

bx+ay-ab=0,????????????????????4 分

由点到直线的距离公式得

??????7 分

∵a>0,b>0,∴ab>0,-ab<0,把原点坐标代入 AB,AC 方程左端分别得 ab,-ab,且点 P 在直线 AB, AC 的下方,∴b x1 +ab>0,b x1 - ab<0,??????????????????10 分



??12 分 注:解析法(坐标法)即通过建立平面直角坐标系,把几何问题转化成代数问题,用处

理代数问题的方法解决,这种方法是联系平面解析几何的纽带。求定值问题,应先表示出要 证明为定值的式子,最后出现定值。

【感悟高考真题】
1. (2010 安徽文数) (4)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 (A)x-2y-1=0 4.A 【解析】设直线方程为 x ? 2 y ? c ? 0 ,又经过 (1, 0) ,故 c ? ?1 ,所求方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 【方法技巧】 因为所求直线与与直线 x-2y-2=0 平行, 所以设平行直线系方程为 x ? 2 y ? c ? 0 , 代入此直线所过的点的坐标,得参数值,进而得直线方程.也可以用验证法,判断四个选项中 方程哪一个过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行. 2. (2010 上海文数)7.圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离
2 2

(B)x-2y+1=0

(C)2x+y-2=0

(D)x+2y-1=0

d? 3 。
解析:考查点到直线距离公式 圆心(1,2)到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 距离为 3. (2010 山东理数) (16) 已知圆 C 过点 (1, 0) , 且圆心在 x 轴上, 直线 l : y ? x ? 1 补圆 C 所截得的弦长为 2 2 , 则过圆心有与直线 l 垂直的直线的方程为 【解析】由题意,设所求的直线方程为 x+y+m=0 ,设圆心坐标为 (a,0) ,则由题意知:

3 ?1 ? 4 ? 2 ? 4 5

?3

(

| a-1| 2 ) +2=(a-1) 2 ,解得 a=3 或-1,又因为圆心在 x 轴的正半轴上,所以 a=3 ,故圆心坐标 2

为(3,0) ,因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以有 3+0+m=0 ,即 m=-3 ,故所求的直

线方程为 x+y-3=0 。 【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系,考查了同学们解 决直线与圆问题的能力。 4 . ( 2008 年 · 全 国 二 11 ) 等 腰 三 角 形 两 腰 所 在 直 线 的 方 程 分 别 为 x ? y ? 2 ? 0 与

x ? 7 y ? 4 ? 0 ,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为( A
A.3 B. 2 C. ?



1 3

D. ?

1 2

【考点精题精练】
一、选择题 1.倾斜角为 45?,在 y 轴上的截距为 ?1 的直线方程是(B) A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

2.倾斜角为 45?,在 y 轴上的截距为 ? 1的直线方程是( D ) A. y ? x ? 1 C. y ? ? x ? 1 3.过点 B. y ? ? x ? 1 D. y ? x ? 1

M ? 2,1?

的直线 l 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 P、Q 两点,且

MQ ? 2 MP

,则

直线 l 的方程为(D) A.x+2y-4=0 B.x-2y=0 C.x-y-1=0 D.x+y-3=0 ( B )

4.点 P(2,3)到直线:ax+(a-1)y+3=0 的距离 d 为最大时,d 与 a 的值依次为 A.3,-3 B.5,1 C.5,2 D.7,1

5.在平面直角坐标系中,点 A(1,2)、点 B(3,1)到直线 l 的距离分别为 1 和 2,则符合条件 的直线条数为 ( B ) A.3 6.已知点 B.2 C.4 到直线 D.1 的距离相等,则实数 的值等于( C )

A.

B.

C.

D.

7.已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为( B )

A.

0

B.

?8

C.

2

D.

10

解析: k ?

4?m ? ?2, m ? ?8 m?2


8.已知 ab ? 0, bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c 通过( C A. 第一、二、三象限 B. C. 第一、三、四象限 D. 第一、二、四象限 第二、三、四象限

a c a c y ? ? x ? , k ? ? ? 0, ? 0 b b b b 解析:
9.若方程 (2m ? m ? 3) x ? (m ? m) y ? 4m ? 1 ? 0 表示一条直线,则实数 m 满足( C )
2 2

A. C.

m?0 m ?1
2 2

B. D.

m??

3 2

3 m ? 1, m ? ? , m ? 0 2

解析: 2m ? m ? 3, m ? m 不能同时为 0 10.若点 到直线 的距离为 4,且点 在不等式 表示的平

面区域内,则实数 的值为(D) A.7 11 . 设 B.-7 C.3 分 别 是 与 A.平行 12.过原点和 B.垂直 C.重合 D.-3 中 所 对 边 的 边 长 , 则 直 线 的位置关系是( B ) D.相交但不垂直

在复平面内对应点的直线的倾斜角为( D )

A. 二、填空题

B.

C.

D.

13 . ( 2010 届 · 广 东 省梅 州 揭 阳 高 三联 考 ( 理) ) 13 . 函 数 y ? e

2x

图 像 上 的 点到 直 线

2 x ? y ? 4 ? 0 距离的最小值是
14. 11.若直线

_ 5 与

l1 : mx ? y ? 1 ? 0

l2 : x ? 2 y ? 5 ? 0

垂直,则 m 的值是

2



15. 16.已知 A、B、C 三点的坐标分别是(0,-2)、(0,0)、(3,1),若点 M 满足 AM ? 2MC ,

2 2 点 N 满足 AN ? ?3NB , 点 P 满足 PM ? PN , 则 P 点的轨迹方程是 x +y -2x-y=0

.

16.直线 或(-1,2) 三、解答题

为参数)上与点

的距离等于

的点的坐标是 (-3,4)

17. (广东汕头金平区·2010 届高三上联考(文) ) (20)(本小题满分 14 分)

已知函数

f ( x) ? x ?

a 2 f (2) ? 2 ? 2 . 设点 P 是函数图象上的任意一 x 的定义域为 ( 0 , ? ? ) , 且

N. 点,过点 P 分别作直线 y ? x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M 、
(1)求 a 的值; (2 分) (2)问: | PM | ? | PN | 是否为定值?若是,则求出该定值,若不是,则说明理由; (5 分) (3)设 O 为原点,求四边形 OMPN 面积最小值(7 分)

本小题主要考查位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识,考查运算能力和综合解题能力, 满分 14 分,

解答: (1)∵

f (2) ? 2 ?

a 2 ?2? 2 2 ,∴ a ? 2 .
y0 ) ,

(2 分)

(2)点 P 的坐标为 ( x0 ,

y 0 ? x0 ?
则有

2 x0
, x0 ? 0 , (3 分)

| PM |?
由点到直线的距离公式可知:

| x0 ? y 0 | 2

?

1 , | PN |? x 0 x0 , (6 分)

故有 | PM | ? | PN |? 1 ,即 | PM | ? | PN | 为定值,这个值为 1. (7 分) (3)由题意可设 M (t , t ) ,可知 N (0,

y0 ) .(8 分)

∵ PM 与直线 y ? x 垂直,∴ k PM

y0 ? t ? ?1 ? 1 ? ?1 ,即 x 0 ? t ,解得

t?

2 2 1 y 0 ? x0 ? t ? x0 ? ( x0 ? y 0 ) x 0 ,∴ 2 x 0 .(10 分) 2 ,又

S ?OPM ?


1 2 ? 2 2 2 x0



S ?OPN ?

1 2 2 x0 ? 2 2 , (12 分)

S OMPN ? S ?OPM ? S ?OPN ?


1 2 1 ( x0 ? 2 ) ? 2 ? 1 ? 2 2 x0



当且仅当 x0 ? 1 时,等号成立. ∴ 此时四边形 OMPN 面积有最小值 1 ? 2 . (14 分) 18.已知直线 Ax ? By ? C ? 0 , (1)系数为什么值时,方程表示通过原点的直线; (2)系数满足什么关系时与坐标轴都相交; (3)系数满足什么条件时只与 x 轴相交; (4)系数满足什么条件时是 x 轴; (5)设 P x 0 ,y 0 为直线 Ax ? By ? C ? 0 上一点, 证明:这条直线的方程可以写成 A? x ? x 0 ? ? B? y ? y 0 ? ? 0 . 解答: (1)把原点 (0, 0) 代入 Ax ? By ? C ? 0 ,得 C ? 0 ; (2)此时斜率存在且不为零 即 A? 0且B ? 0; (3)此时斜率不存在,且不与 y 轴重合,即 B ? 0 且 C ? 0 ; (4) A ? C ? 0, 且 B ? 0 (5)证明:? P ? x0,y0 ? 在直线 Ax ? By ? C ? 0 上

?

?

? Ax0 ? By0 ? C ? 0, C ? ? Ax0 ? By0

? A ? x ? x0 ? ? B ? y ? y0 ? ? 0 .


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