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2013年8月份高一分班数学考试及详细答案


一.选择题(共 7 小题) 1. (2012?平谷区二模)如图是一个长方体,AB=3,BC=5,AF=6,要在长方体上系一根绳子连接 AG,绳子与 DE 交于点 P,当所用绳子的长最短时,AP 的长为( )

A.10

B.

C.8

D.

2.用标有 1 克,2 克,6 克,26 克的法码各一个,在一架无刻度的天平上称量重物,如果天平两端均可放置法码, 那么可以称出的不同克数(正整数的重物)的种数共有( ) A.15 种 B.23 种 C.28 种 D.33 种
2

3.若 f(x)=ax +bx,对于任意 x,都有 A.0
4 2

成立,则 a+b 的值是( C.2 ) C.﹣2 )

) D.3

B.1

4.函数 y=x +2x ﹣1,﹣1≤x≤1 的最小值为( A.2 B.﹣1

D.0

5.设 G 是△ ABC 的重心,且 AG=6,BG=8,CG=10,则三角形的面积为( A.58 B.66 C.72

D.84

6. (2007?东城区一模)将正奇数按下表排成 5 列:

根据上面规律,2007 应在( ) A.125 行,3 列 B.125 行,2 列

C.251 行,2 列

D.251 行,5 列

7.已知关于 x 的方程|5x﹣4|+a=0 无解,|4x﹣3|+b=0 有两个解,|3x﹣2|+c=0 只有一个解,则化简|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a ﹣b|的结果是( ) A.2a B.2b C.2c D.0

二.填空题(共 6 小题) 8. (2012?陆良县模拟)如图,动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第 1 次从原点运动到点(1, 1) ,第 2 次接着运动到点(2,0) ,第 3 次接着运动到点(3,2) ,…,按这样的运动规律,经过第 2013 次运动后, 动点 P 的坐标是 _________ .

9. (2012?丰台区二模) 符号“f”表示一种运算, 它对一些数的运算如下: ,…,







利用以上运算的规律写出 f(n)= _________ (n 为正整数) ;f(1)?f(2)?f(3)…f(100)= _________ .

10. (2009?成都)已知:

(n=1,2,3,…) ,记 b1=2(1﹣a1) 2=2(1﹣a1) ,b (1﹣a2) ,…,bn=2(1

﹣a1) (1﹣a2)…(1﹣an) ,则通过计算推测出 bn 的表达式 bn= _________ . (用含 n 的代数式表示)

11.在密码学中,称直接可以看到的内容为明码,对明码进行某种处理后得到的内容为密码.对于英文,人们将 26 个字母按顺序分别对应整数 0 到 25,现有 4 个字母构成的密码单词,记 4 个字母对应的数字分别为 x1,x2,x3,x4, 已知:整数 x1+2x2,3x2,x3+2x4,3x4 除以 26 的余数分别为 9,16,23,12,则密码的单词是 _________ .

12.已知关于 x 的方程 x +(1﹣a)x ﹣2ax+a =0 有且只有一个实根.则实数 a 的取值范围是 _________

3

2

2



13. 数学拓展课上, 老师定义了一种运算“*”, 对于 n∈N , 满足以下运算性质: .2*2=1, . (1) (2) (2n+2) (2n*2) *2=3 , 则 2n*2 用含 n 的代数式表示为 _________ .

*

三.解答题(共 3 小题) 14. (2012?延庆县二模)阅读下面材料: 小伟遇到这样一个问题:如图 1,在△ ABC(其中∠BAC 是一个可以变化的角)中,AB=2,AC=4,以 BC 为边在 BC 的下方作等边△ PBC,求 AP 的最大值. 小伟是这样思考的:利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点 B 为旋转中心将△ ABP 逆时针 旋转 60°得到△ A′BC,连接 A′A,当点 A 落在 A′C 上时,此题可解(如图 2) . 请你回答:AP 的最大值是 _________ . 参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题: 如图 3,等腰 Rt△ ABC.边 AB=4,P 为△ ABC 内部一点,则 AP+BP+CP 的最小值是 _________ . (结果可以不 化简)

15. (2008?江西模拟)我们给定两个全等的正方形 ABCD、AEFG,它们共顶点 A(如图 1) ,可以绕顶点 A 旋转, CD,EF 相交于点 P,以下各问题都以此为前提. 问题要求:

(1)连接 BE、DG(如图 2) ,求证:BE=DG,BE⊥DG; (2)连接 BG、CF(如图 3) ,有三个结论: ①BG∥CF; ②△ABG∽△PCF; ③△ABG 与△ PCF 位似. 请你从①,②,③三个结论中选择一个进行证明: (说明:选①做对的得 3 分,选②做对的得 4 分,选③做对的得 5 分)

(3) 连接 BE、 (如图 4)求 CF ,

的值.

16.已知(2x+3) =a0x +a1x +a2x +a3x+a4, 求: (1)a0+a1+a2+a3+a4; (2)a0﹣a1+a2﹣a3+a4 (3)a0+a2+a4.

4

4

3

2

2013 年 8 月份高一分班
参考答案与试题解析
一.选择题(共 7 小题) 1. (2012?平谷区二模)如图是一个长方体,AB=3,BC=5,AF=6,要在长方体上系一根绳子连接 AG,绳子与 DE 交于点 P,当所用绳子的长最短时,AP 的长为( )

A.10

B.

C.8

D.

考点: 平面展开-最短路径问题. 专题: 计算题. 分析: 将长方体右侧的面展开,与上面的面在同一个平面内,如图所示,连接 AG,此时所用的绳子最短,由正方 体的中平行的棱长相等,得到 DC=AB=EG=3,AD=BC=5,DE=AF=6,由 EG 与 AD 平行,得到两对内错 角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形 EPG 与三角形 APD 相似,由相似得比例,将 EG,AD 的长代入求出 EP 的长,进而求出 PD 的,在直角三角形 APD 中,由 AD 与 PD 的长,利用勾股定 理即可求出 AP 的长. 解答: 解:将长方体右侧的面展开,与上面的面在同一个平面内,连接 AG,与 ED 交于 P 点,此时绳子的长最短, 如图所示: 可得出:DC=AB=EG=3,AD=BC=5,DE=AF=6, ∵EG∥AD, ∴∠EGP=∠DAP,∠PEG=∠PDA, ∴△EPG∽△DPA,
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=

=

,即 =



解得:EP= , ∴PD=ED﹣EP=6﹣ = 在 Rt△ APD 中,PD= 根据勾股定理得:AP= 故选 D , ,AD=5, = .

点评: 此题考查了平面展开﹣最短路径问题,涉及的知识有:平行线的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定 理,利用了转化及数形结合的思想,立体图形的最短路径问题常常转化为平面图形,利用两点之间线段最 短来解决. 2.用标有 1 克,2 克,6 克,26 克的法码各一个,在一架无刻度的天平上称量重物,如果天平两端均可放置法码, 那么可以称出的不同克数(正整数的重物)的种数共有( ) A.15 种 B.23 种 C.28 种 D.33 种 考点: 加法原理与乘法原理. 分析: 此题主要分一端放砝码,另一端不放砝码时求得可称重物的克数有多少种,另种情况两端都有砝码,求得 可称重物的克数有多少种,去掉相同的克数,由此问题得解. 解答: 解:一端放砝码,另一端不放砝码, ①当天平的一端放 1 个砝码,另一端不放砝码时,可以称量重物的克数有 1 克,2 克,6 克,26 克; ②当天平的一端放 2 个砝码,另一端不放砝码时,可以称量重物的克数有 3 克,7 克,8 克,27 克,28 克, 32 克; ③当天平的一端放 3 个砝码,另一端不放砝码时,可以称量重物的克数有 9 克,29 克,33 克,34 克; ④当天平的一端放 4 个砝码时,可以称量重物的克数有 35 克. 两端都有砝码, ①当天平的一端放 1 个砝码,另一端也放 1 个砝码时,可以称量重物的克数有 1 克,4 克,5 克,20 克,24 克,25 克; ②当天平的一端放 1 个砝码,另一端放 2 个砝码时,可以称量重物的克数有 3 克,5 克,7 克,18 克,19 克,21 克,22 克,23 克,25 克,27 克,30 克,31 克; ③当天平的一端放 1 个砝码,另一端放 3 个砝码时,可以称量重物的克数有 17 克,23 克,31 克,33 克; ④当天平的一端放 2 个砝码,另一端也放 2 个砝码时,可以称量重物的克数有 19 克,21 克,29 克. 去掉重复的克数后,可称重物的克数有 1~9 克,17~35 克共有 28 种. 点评: 此题主要分两种不同情况讨论,每一种情况再分若干情况继续讨论,最后两者结合,根据题意,求出问题 的答案,解答时注意不重不漏.
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3.若 f(x)=ax +bx,对于任意 x,都有 A.0 B.1

2

成立,则 a+b 的值是( C.2

) D.3

考点: 一元二次不等式. 分析: 2 根据 (x) f =ax +bx, 对于任意 x, 都有
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成立, 即当 x=1 时, 1) ( =a+b, f 于是可知 1≤a+b≤1,

即可求出 a+b 的值. 解答: 解:∵f(x)=ax +bx,对于任意 x,都有 ∴当 x=1 时,1≤a+b≤1, 故 a+b=1, 故选 B.
2

成立,

点评: 本题主要考查一元二次不等式的知识点,解答本题的关键是熟练掌握不等式恒成立的知识,此题难度不大. 4.函数 y=x +2x ﹣1,﹣1≤x≤1 的最小值为( A.2 B.﹣1
4 2

) C.﹣2 D.0

考点: 二次函数在给定区间上的最值. 分析: 先配方,再根据非负数的性质,结合 x 的取值范围求解. 4 2 2 2 解答: 解:∵y=x +2x ﹣1=(x +1) ﹣2,﹣1≤x≤1, 4 2 2 ∴当 x=0 时,函数 y=x +2x ﹣1,﹣1≤x≤1 的最小值为(0+1) ﹣2=﹣1. 故选 B. 点评: 本题考查了四次函数研究最值问题,注意题目中的范围的限制.
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5.设 G 是△ ABC 的重心,且 AG=6,BG=8,CG=10,则三角形的面积为( A.58 B.66 C.72

) D.84

考点: 三角形的重心;三角形的面积. 专题: 计算题. 分析: 延长 AG 到 G',与 BC 相交于 D,使 DG=DG′,则△ BDG≌△CDG′,所以 CG'=BG=6,根据重心的性质 可求得 DG=DG′=3,则 GG'=6,又 CG=10,所以△ CGG'是直角三角形,并可求得其面积,从而得出△ BGC 的面积,即可求得△ ABC 的面积. 解答: 解:延长 AG 到 G',与 BC 相交于 D,使 DG=DG′,则△ BDG≌△CDG′, ∴CG′=BG=8,
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∵DG= AG=3, ∴DG=DG′=3, ∴GG′=6, ∵CG=10, ∴△CGG′是直角三角形, ∴S△ GBC=S△ CGG′= ×8×6=24, ∴S△ ABC=3S△ GBC=72. 故选 C.

点评: 此题考查了重心的概念和性质:三角形的重心是三角形三条中线的交点,且重心到顶点的距离是它到对边 中点的距离的 2 倍. 6. (2007?东城区一模)将正奇数按下表排成 5 列:

根据上面规律,2007 应在(



A.125 行,3 列

B.125 行,2 列

C.251 行,2 列

D.251 行,5 列

考点: 规律型:数字的变化类. 专题: 规律型. 分析: 观察第二、三、四列的数的排列规律,发现第三列数规律容易寻找,第三列数:3,11,19,27,…规律为 8n﹣5, 因为 2007=250×8+7=251×8﹣1,所以,2007 应该出现在第一列或第五列, 又因为第 251 行的排列规律是奇数行,数是从第二列开始从小到大排列,所以 2007 应该在第 251 行第 5 列 解答: 解:∵2007=250×8+7=251×8﹣1,∴2007 在第 251 行, ∵第三列数:3,11,19,27,…规律为 8n﹣5,∴2007 应该出现在第一列或第五列, ∴2007 应该在第 251 行第 5 列, 故选 D. 点评: 本题考查了数字的排列规律,找到相应行的规律是解决问题的关键.
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7.已知关于 x 的方程|5x﹣4|+a=0 无解,|4x﹣3|+b=0 有两个解,|3x﹣2|+c=0 只有一个解,则化简|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a ﹣b|的结果是( ) A.2a B.2b C.2c D.0 考点: 含绝对值符号的一元一次方程. 专题: 计算题. 分析: 根据关于 x 的方程|5x﹣4|+a=0 无解,|4x﹣3|+b=0 有两个解,|3x﹣2|+c=0 只有一个解,可判断出 a,b,c 的 取值范围,进而求解. 解答: 解:根据关于 x 的方程|5x﹣4|+a=0 无解,可得出:a>0, 由|4x﹣3|+b=0 有两个解,可得出:b<0, 由|3x﹣2|+c=0 只有一个解,可得出;c=0, 故|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|可化简为:|a|+|b|﹣|a﹣b|=a﹣b﹣a+b=0. 故选 D. 点评: 本题考查了含绝对值符号的一元一次方程,难度不大,关键是根据已知条件判断出 a,b,c 的取值范围.然 后化简.
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二.填空题(共 6 小题) 8. (2012?陆良县模拟)如图,动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第 1 次从原点运动到点(1, 1) ,第 2 次接着运动到点(2,0) ,第 3 次接着运动到点(3,2) ,…,按这样的运动规律,经过第 2013 次运动后, 动点 P 的坐标是 (2013,1) .

考点: 点的坐标. 专题: 压轴题;规律型. 分析: 根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数,纵坐标为 1,0,2,0,每 4 次一轮这一 规律,进而求出即可. 解答: 解:根据动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第 1 次从原点运动到点(1,1) , 第 2 次接着运动到点(2,0) ,第 3 次接着运动到点(3,2) , ∴第 4 次运动到点(4,0) ,第 5 次接着运动到点(5,1) ,…, ∴横坐标为运动次数,经过第 2011 次运动后,动点 P 的横坐标为 2013,
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纵坐标为 1,0,2,0,每 4 次一轮, ∴经过第 2013 次运动后,动点 P 的纵坐标为:2013÷4=503 余 1, 故纵坐标为四个数中第一个,即为 1, ∴经过第 2013 次运动后,动点 P 的坐标是: (2013,1) , 故答案为: (2013,1) . 点评: 此题主要考查了点的坐标规律,培养学生观察和归纳能力,从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解 答本题的关键.

9. (2012?丰台区二模) 符号“f”表示一种运算, 它对一些数的运算如下: ,…, 利用以上运算的规律写出 f(n)=







(n 为正整数) ;f(1)?f(2)?f(3)…f(100)= 5151 .

考点: 分式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 由已知的一系列等式,归纳总结表示出 f(n) ;由得出的 f(n) ,分别令 n=1,2,3,…,100,代入所求式 子 f(1)?f(2)?f(3)…f(100)中,约分后计算,即可得到结果. 解答: 解:由题意总结得:f(n)=1+ ;f(n)=
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f(1)= ;f(2)= ;f(3)=1+ = ;f(4)=1+ = ;f(5)=1+ = ; f(6)=1+ = ,…,f(99)=1+ = ,f(100)=1+ × = = , =5151.

则 f(1)?f(2)?f(3)…f(100)= × × × ×… 故答案为:1+ ;5151

点评: 此题考查了分式的混合运算,分式的加减运算关键是通分,通分的关键是找最简公分母;分式的乘除运算 关键是约分,约分的关键是找公因式.

10. (2009?成都)已知:

(n=1,2,3,…) ,记 b1=2(1﹣a1) 2=2(1﹣a1) ,b (1﹣a2) ,…,bn=2(1

﹣a1) (1﹣a2)…(1﹣an) ,则通过计算推测出 bn 的表达式 bn=

. (用含 n 的代数式表示)

考点: 规律型:数字的变化类. 专题: 压轴题;规律型. 分析: 根据题意按规律求解:b1=2(1﹣a1)=2×(1﹣ )= =
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b2=2(1﹣a1) (1﹣a2)= ×(1﹣ )= = ….所以可得:bn 的表达式 bn= 解答: .



解:根据以上分析 bn=2(1﹣a1) (1﹣a2)…(1﹣an)=



点评: 本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变

化,是按照什么规律变化的.本题中表示 b 值时要先算出 a 的值,要注意 a 中 n 的取值. 11.在密码学中,称直接可以看到的内容为明码,对明码进行某种处理后得到的内容为密码.对于英文,人们将 26 个字母按顺序分别对应整数 0 到 25,现有 4 个字母构成的密码单词,记 4 个字母对应的数字分别为 x1,x2,x3,x4, 已知:整数 x1+2x2,3x2,x3+2x4,3x4 除以 26 的余数分别为 9,16,23,12,则密码的单词是 hope . 考点: 带余除法. 专题: 应用题. 分析: 解答本题之前首先要理解题意, 由题意知 a 对应 0, 对应 1, 对应 25, b …z 再根据整数 x1+2x2, 2, 3+2x4, 3x x 3x4 除以 26 的余数分别为 9,16,23,12 进行解答,即可得到答案. 解答: 解: (1)从题中知 x1,x2,x3,x4 是四个英文字母的明码,所以它们只是代码,与数字没有关系,不要被 1, 2,3,4 混淆
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(2)从题中知 a 对应 0,b 对应 1,…z 对应 25. (明码加 1 得到字母的序号) (3)计算 x1,x2,x3,x4 的数值.从“整数 x1+2x2,3x2,x3+2x4,3x4 除以 26 的余数分别为 9,16,23, 12”中找答案. 首先发现 3x4 的余数是 12 这项比较好算,推测 3x4 可能是 12,x4 可能是 4,x4 可能代表“e”. 然后根据 x3+2x4 除以 26 的余数是 23,推测整个式子的数值可能是 23,把 x4 的值代入,得到 x3 的值为 15, 代表 p. 3x2 除以 26 的余数是 16,而 16 无法被 3 整除,考虑 16+26,即 42,猜测 x2 为 42 除以 3,得 14,代表 o 同样方法可以推测 x1 的值为 7,代表 h (4)检验单词的正确性,hope 合适. 故答案为 hope. 点评: 本题主要考查带余数除法的知识点,解答本题的关键是理解好整数 x1+2x2,3x2,x3+2x4,3x4 除以 26 的余 数分别为 9,16,23,12 这句话得含义. 12.已知关于 x 的方程 x +(1﹣a)x ﹣2ax+a =0 有且只有一个实根.则实数 a 的取值范围是
3 2 2



考点: 提公因式法与公式法的综合运用;根的判别式. 分析: 先把原方程变形,得到方程的一个根和一个一元二次方程,然后利用根的判别式判定. 解答: 解:原方程变形为(x﹣a) 2+x﹣a)=0, (x 2 得 x=a 或 x +x﹣a=0, 3 2 2 因为方程 x +(1﹣a)x ﹣2ax+a =0 有且只有一个实根, 所以 x=a 是方程的唯一实根,
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所以方程 x +x﹣a=0 无实根, 故△ =1+4a<0, 所以 a<﹣ . 故答案为:a<﹣ . 点评: 本题考查了多项式的因式分解和一元二次方程根的判别式,解题的关键是将等式应用因式分解知识准确变 形. 13. 数学拓展课上, 老师定义了一种运算“*”, 对于 n∈N , 满足以下运算性质: .2*2=1, . (1) (2) (2n+2) (2n*2) *2=3 , n﹣1 则 2n*2 用含 n 的代数式表示为 3 .
*

2

考点: 专题: 分析: 解答:

列代数式. 新定义. 根据:①2※2=1;②(2n+2)※2=3(2n※2) ,判断数列{(2n※2)}是等比数列,即可求得其通项公式. 解:∵2※2=1, (2n+2)※2=3(2n※2) , ∴[2(n+1)※2]÷(2n※2)=3 ∴{ (2n※2)}是以 1 为首项,3 为公比的等比数列,
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∴第 n 项是:3 . n﹣1 故答案是:为 3 . 点评: 本题考查对新定义的理解及等比数列的定义和通项公式的求法,旨在考查学生的观察分析和归纳能力,属 基础题. 三.解答题(共 3 小题) 14. (2012?延庆县二模)阅读下面材料: 小伟遇到这样一个问题:如图 1,在△ ABC(其中∠BAC 是一个可以变化的角)中,AB=2,AC=4,以 BC 为边在 BC 的下方作等边△ PBC,求 AP 的最大值. 小伟是这样思考的:利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点 B 为旋转中心将△ ABP 逆时针 旋转 60°得到△ A′BC,连接 A′A,当点 A 落在 A′C 上时,此题可解(如图 2) . 请你回答:AP 的最大值是 6 . 参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题: 如图 3,等腰 Rt△ ABC.边 AB=4,P 为△ ABC 内部一点,则 AP+BP+CP 的最小值是 (或不化简为 ) . (结果可以不化简)

n﹣1

考点: 旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;勾股定理;等腰直角三角形. 专题: 几何综合题. 分析: (1) 根据旋转的性质知 A′A=AB=BA′=2, AP=A′C, 所以在△ AA′C 中, 利用三角形三边关系来求 A′C 即 AP 的长度; (2) B 为中心, APB 逆时针旋转 60°得到△ A'P'B. 以 将△ 根据旋转的性质推知 PA+PB+PC=P'A′+P'B+PC. 当 A'、 P、 四点共线时,P'A′+P'B+PC) P'、 C ( 最短, 即线段 A'C 最短. 然后通过作辅助线构造直角三角形 A′DC, 在该直角三角形内利用勾股定理来求线段 A′C 的长度. 解答: 解: (1)如图 2,∵△ABP 逆时针旋转 60°得到△ A′BC, ∴∠A′BA=60°,A′B=AB,AP=A′C ∴△A′BA 是等边三角形, ∴A′A=AB=BA′=2, 在△ AA′C 中,A′C<AA′+AC,即 AP<6, 则当点 A′A、C 三点共线时,A′C=AA′+AC,即 AP=6,即 AP 的最大值是:6; 故答案是:6.
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(2)如图 3,∵Rt△ ABC 是等腰三角形,∴AB=BC. 以 B 为中心,将△ APB 逆时针旋转 60°得到△ A'P'B.则 A'B=AB=BC=4,PA=P′A′,PB=P′B, ∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC.

∵当 A'、P'、P、C 四点共线时, (P'A+P'B+PC)最短,即线段 A'C 最短, ∴A'C=PA+PB+PC, ∴A'C 长度即为所求. 过 A'作 A'D⊥CB 延长线于 D. ∵∠A'BA=60°(由旋转可知) , ∴∠1=30°. ∵A'B=4, ∴A'D=2,BD=2 , ∴CD=4+2 . 在 Rt△ A'DC 中 A'C= ∴AP+BP+CP 的最小值是:2 +2 故答案是:2 +2 (或不化简为 = (或不化简为 ) . = ) . =2 +2 ;

点评: 本题综合考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质.注意:旋 转前、后的图形全等. 15. (2008?江西模拟)我们给定两个全等的正方形 ABCD、AEFG,它们共顶点 A(如图 1) ,可以绕顶点 A 旋转, CD,EF 相交于点 P,以下各问题都以此为前提. 问题要求: (1)连接 BE、DG(如图 2) ,求证:BE=DG,BE⊥DG; (2)连接 BG、CF(如图 3) ,有三个结论: ①BG∥CF; ②△ABG∽△PCF; ③△ABG 与△ PCF 位似. 请你从①,②,③三个结论中选择一个进行证明: (说明:选①做对的得 3 分,选②做对的得 4 分,选③做对的得 5 分)

(3) 连接 BE、 (如图 4)求 CF ,

的值.

考点: 位似变换;全等三角形的判定;正方形的性质;旋转的性质;相似三角形的判定与性质. 专题: 证明题;开放型. 分析: (1)根据正方形的性质,即可得 AB=AD,∠BAE=90°﹣∠EAD=∠DAG,AE=AG,由边角边判定方法即 可证得△ ABE≌△ADG,即 BE=DG;∵△ABE≌△ADG,AB⊥AD,AE⊥AG,所以△ ADG 可以看成由 △ ABE 绕顶点 A 旋转 90°,即 BE⊥DG; (2)根据等边对等角即可证得 BG∥CF;根据平行线的性质可的对应角相等,即可证得②△ABG∽△PCF;
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续②连接 AP 交 GF 的延长线于 Q1,交 BC 的延长线于 Q2,由位似的性质即可求得; (3)连接 AC,AF 可证得△ ABE∽△ACF,根据相似三角形的性质即可求得. 解答: 解: (1)证明:∵AB=AD,∠BAE=90°﹣∠EAD=∠DAG,AE=AG ∴△ABE≌△ADG,即 BE=DG. 分) (2 分别延长 GD,BE 交于点 M 交 EF 于点 N, ∵∠CEN+ENM=∠MEN+∠AGD=∠BEA+∠NEM=90° ∴BE⊥GD (∵△ABE≌△ADG, AB⊥AD, AE⊥AG, ∴△ADG 可以看成由△ ABE 绕顶点 A 旋转 90°, BE⊥DG. 即 ) (3 分) (2)证明:①∵AB=AG, ∴∠ABG=∠AGB,∠CBG=∠FGB. ∴∠GBC=∠BGF, 又∵BC=GF, ∴∠BCF=∠GFC, 又∵∠CBG+∠FGB+∠BCF+∠GFC=360°, ∴∠CBG+∠BCF=180°,即 BG∥CF; 分) (6 ②续①又∵AB∥PC,AG∥PF, ∴∠ABG=∠PCF,∠AGB=∠PFC 即△ ABG∽△PCF; 分) (7 ③续②连接 AP 交 GF 的延长线于 Q1,交 BC 的延长线于 Q2, 则 = , = ,而 AB=AG,PC=PF



=

,亦有

=

,Q1P=Q2P

∴Q1,Q2 重合,即 BC,AP,GF 相交于点 Q,△ ABG 与△ PCF 位似. 分) (8 (3)连接 AC,AF 可证得△ ABE∽△ACF, = . (10 分)

点评: 此题考查了相似三角形与全等三角形的性质与判定,解题的关键是要注意数形结合思想的应用.还要注意 辅助线的选择. 16.已知(2x+3) =a0x +a1x +a2x +a3x+a4, 求: (1)a0+a1+a2+a3+a4; (2)a0﹣a1+a2﹣a3+a4 (3)a0+a2+a4. 考点: 代数式求值. 分析: 由于本题 x 未知,故可随意赋值,以便求出所求的代数式的解, (1)可直接令 x=1,便得代数式的值, (2) 同理可令 x=﹣1,便得代数式的值. (3)将(1) (2)所得代数式相加即可得出 a0+a2+a4 的值. 4 4 3 2 解答: 解: (1)∵(2x+3) =a0x +a1x +a2x +a3x+a4, ∴令 x=1,得 625=a0+a1+a2+a3+a4, 即得 a0+a1+a2+a3+a4=625;
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4

4

3

2

(2)∵(2x+3) =a0x +a1x +a2x +a3x+a4, ∴令 x=﹣1,得 1=a0﹣a1+a2﹣a3+a4, 即得 a0﹣a1+a2﹣a3+a4=1; (3)∵a0+a1+a2+a3+a4+a0﹣a1+a2﹣a3+a4=2(a0+a2+a4) , ∴2(a0+a2+a4)=625+1=626, 两边同时除以 2 得:a0+a2+a4=313. 点评: 本题主要考查代数式求值问题,可利用已知中恒等式,进行赋值,灵活应用,便可得出所求结果,要认真 掌握.

4

4

3

2


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