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三垂线定理及其逆定理


三垂线定理及其逆定理习题课 1.已知 P 是平面 ABC 外一点, PA ? ABC, AC ? BC 。 求证: PC ? BC 。
A C P

B

2.已知 PA ? 正方形 ABCD 所在平面, O 为对角线 BD 的中点。 求证: PO ? BD, PC ? BD 。
P

A


D

O B C

3.在正方体 AC1 中,求证: AC ? B1D1, AC ? BC1 ; 1 1
D1 C1

A1 D

B1

C

A

B

4.在空间四边形 ABCD 中,设 AB ? CD, AC ? BD 。 求证: (1) AD ? BC ; (2)点 A 在底面 BCD 上的射影是 ?BCD 的垂心;
B

A

D

C

5.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面 内的射影在这个角的平分线上

6. 已 知 : R t? A B C , ?A ? , A B ? 3 , A C ? 4, PA 是 面 ABC 的 斜 线 , 中 2
?P A B ? ? P A c? 。 3 (1)求 PA 与面 ABC 所成的角的大小; (2)当 PA 的长度等于多少的时候, P 在平面 ABC 内的射影恰好落在边 BC 上; 点
P

?

?

B

A C

作业: 1.填空 (1)在四面体 ABCD 中,对棱互相垂直,则 A 在底面 BCD 上的射影是底面 BCD 的 心。 (2)在四面体 ABCD 中,AB、AC、AD互相垂直,则 A 在底面 BCD 上的射影 是底面 BCD 的 心 (3)在四面体 ABCD 中,AB=AC=AD,则 A 在底面 BCD 上的射影是底面 BCD 的 心。 (4)在四面体 ABCD 中,顶点 A 到 BC、CD、DB 的距离相等,则 A 在底面 BCD 上的射影是底面 BCD 的 心。 2.正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 , E , F 分别是 A1 A, AB 上的点, EC1 ? EF . 求证: EF ? EB1 。

3.已知: PA ? 平面 PBC , PB ? PC, M 是 BC 的中点。 求证: BC ? AM ;

P

C A M B

4.正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中棱长 a ,点 P 在 AC 上,Q 在 BC1 上,AP=BQ=a, (1)求直线 PQ 与平面 ABCD 所成角的正切值; (2)求证:PQ⊥AD.

5.在正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,设 E 是棱 AA1 上的点,且 A1E : EA ? 1: 2 ,F 是棱 AB 上的点, ?C1EF ?

?
2

。求 AF:FB。

6.点 P 是 ?ABC 所在平面外一点,且 PA⊥平面 ABC。若 O 和 Q 分别是Δ ABC 和 Δ PBC 的垂心,试证:OQ⊥平面 PBC。

7. 已 知 ?EAF 在 平 面

?

内 , AT ? ? , P ?? , ?PAE ? ?PAF ,

?EAT ? ?FAT , PD ? ? , D ?? 。求证: D ? AT ;


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