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2013年北京市大兴区高三数学一模文科试题及答案


大兴区 2013 年高三统一练习

数学(理科)
一、选择题 (1)复数 (1 + i) 2 的值是 (A)2 (B) - 2 (C) 2i (D) - 2i

2 (2)设集合 A = { x | x > 1} , B = { x | lo g 2 x > 0 |} ,则 A ? B 等于

(A

) { x | x (C) { x | x

? 1}

(B) { x | x ? 0 } (D) { x | x ? ? 1, 或 x ? 1}
开始

? ? 1}

(3)执行如图所示的程序框图.若 n ? 4 ,则输出 s 的值是 (A)-42 (C) 11 (B) -21 (D) 43
1

输入 n
s=1,i=1

(4)设 y1 ? 4 0 .7 , y 2 ? 8 0 .4 5 , y 3 ? ( ) ? 1 .5 ,则
2
i ? i ?1
s = s + (- 2)
i

(A) y 3 > y1 > y 2 (C) y1 > y 2 > y 3

(B ) y 2 > y1 > y 3 (D) y1 > y 3 > y 2

i≤ n?

(5)已知平面 ? , ? ,直线 m , n ,下列命题中不正确的是 . (A)若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? (B)若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ? ? (C)若 m ∥ ? , ? ? ? ? n ,则 m ∥ n (D)若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? .
1 ? co s x
2



否 输出 s

结束

(6)函数 f ( x ) ? (A)在 ( ?

co s x
π π , ) 上递增 2 2

(B)在 ( ?

π 2

, 0 ] 上递增,在 (0,

π 2

) 上递减

(C)在 ( ?

π π , ) 上递减 2 2

(D)在 ( ?

π 2

, 0] 上递减,在 (0,

π 2

) 上递增

2 2 2 (7) 若实数 a , b 满足 a + b ≤ 1 , 则关于 x 的方程 x - 2 x + a + b = 0 无实数根的概率为 .

(A) (C)

1 4

(B) (D)
2

3 4 π- 2 4π

3π + 2 4π

(8)抛物线 y = x (- 2 ≤ x ≤ 2) 绕 y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转 体内水平放入一个正方体, 使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐, 则此正方体的棱 长是 (A)1 (C) 2 2 (B)2 (D) 4

二、填空题 (9)函数 f( )? i x ox x sn c s 的最小正周期是 (10)已知中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的离心率为 程是 (11) 已知矩形 ABCD 中,A B = 2 , = 1 , F 分别是 BC、 的中点, ( A E + A F ) A C E、 CD 则 AD 等于 .
禳 1 镲 镲 n an+ 1 a 镲 铪

3 2

,实轴长为 4,则双曲线的方

??? ?

????

????

(12)已知数列 {a n } , a n + 1 = a n + 2 , a1 =1 ,数列 镲 睚

的前 n 项和为

18 37

,则 n=

.

?2 ? x ? 1 x ? 0 (13)已知函数 f ( x ) ? ? 1 在区间 [- 1, m ] 上的最大值是 1,则 m 的取值范围是 ? ?x 2 ?
x ? 0

. (14)已知函数 f ( x ) 是定义在 (0, +
f [ f ( n )] = 3n ,则 f (2)=
) 上的单调递增函数,且 x ? N 时, f ( x ) ? N ,若
*

*

; f (4) + f (5) =

三、解答题 (15) (本小题满分 13 分) 在 ? B 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, cos A = A C (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 sin C 及 ? B 的面积. A C (16) (本小题满分 13 分) 一次考试结束后,随机抽查了某校高三(1)班 5 名同学的数学与物理成绩如下表: 学生 数学 物理
A1 A2 A3 A4 A5

3 5

,B =

π 4

,b =

2



89 87

91 89

93 89

95 92

97 93

(Ⅰ)分别求这 5 名同学数学与物理成绩的平均分与方差, 并估计该班数学与物理成绩那科更 稳定; (Ⅱ)从以上 5 名同学中选 2 人参加一项活动,求选中的学生中至少有一个物理成绩高于 90 分的概率. (17) (本小题满分 13 分) 如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, D A B C 是等边三角形,D 是 BC 的中点. (Ⅰ)求证:直线 A1D⊥B1C1; (Ⅱ)判断 A1B 与平面 ADC1 的位置关系,并证明你的结论.

(18) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = ( ax + 1)e x . (I)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 a > 0 时,求函数 f ( x ) 在区间 [- 2, 0] 上的最小值.

19.(本小题满分 14 分) 已知动点 P 到点 A(-2,0)与点 B(2,0)的斜率之积为 ? (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)若点 Q 为曲线 C 上的一点,直线 AQ,BQ 与直线 x=4 分别交于 M、N 两点,直线 BM 与椭圆的交点为 D。求线段 MN 长度的最小值。
1 4

,点 P 的轨迹为曲线 C。

(20)(本小题满分 13 分) 已知数列 { a n } 的各项均为正整数,且 a1 ? a 2 ? ? ? a n , 设集合 Ak ? { x | x ?

? ? a,?
i i i ?1

n

i

? ? 1, 或 ? i ? 0, 或 ? i ? 1} 1 ≤ k ≤ n) ( 。

性质 1 若对于 ? x ? A k ,存在唯一一组 ? i ( i ? 1, 2, ? ? ?, k )使 x ? 为完备数列,当 k 取最大值时称数列 { a n } 为 k 阶完备数列。 性质 2 若记 m k ?
( ? a 1 ≤ k ≤ n),且对于任意 x
i i ?1 k

??a
i i ?1

k

i

成立,则称数列 { a n }

≤ m k , x ? Z ,都有 x ? Ak 成立,则称数

列 { a n } 为完整数列,当 k 取最大值时称数列 { a n } 为 k 阶完整数列。 性质 3 若数列 { a n } 同时具有性质 1 及性质 2,则称此数列 { a n } 为完美数列,当 k 取最大值 时 { a n } 称为 k 阶完美数列; (Ⅰ)若数列 { a n } 的通项公式为 a n ? 2 n ? 1 ,求集合 A 2 ,并指出 { a n } 分别为几阶完备数 列,几阶完整数列,几阶完美数列; (Ⅱ)若数列 { a n } 的通项公式为 a n ? 10 合 A n 中所有元素的和 S n 。 (Ⅲ)若数列 { a n } 为 n 阶完美数列,试写出集合 A n ,并求数列 { a n } 通项公式。
n ?1

,求证:数列 { a n } 为 n 阶完备数列,并求出集

2013 年高三统一练习 高三数学(文科)参考答案
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (5)C (2)A (6)D (3)C (7)D (4)A (8)B

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

(9) π

(10 )

x

2

?

y

2

?1

4 15 2

5

(11 )

(12 ) 18

(13)

? ? 1,1?

(14 ) 3 , 15

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)因为 cos A ?
3 5 , A 是 ? ABC 内角 ,所以 sin A ?
4 5
a sin A ? b sin B

,

由正弦定理:



a 4 5

?

2 π sin 4

得: a ?

8 5

(Ⅱ)在 ? AB C 中, sin C ? sin[ ? ? ( A ? B )] ? sin( A ? B )
4 5 1 2 1 2 2 2 8 5 3 5 2 2 7 2 10 7 2 10 28 25

? sin A cos B ? cos A sin B ?

?

?

?

?

? A B C 的面积为: s ?

ab sin C ?

?

?

2?

?

(16) (本小题共 13 分) 解: (I) 5 名学生数学成绩的平均分为: ( 89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97 ) ? 93
5 1

5 名学生数学成绩的方差为:

1 5

[( 89 ? 93 ) ? ( 91 ? 93 ) ? ( 93 ? 93 ) ? ( 95 ? 93 ) ? ( 97 ? 93 ) ] ? 8
2 2 2 2 2

5 名学生物理成绩的平均分为: ( 87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93 ) ? 90
5

1

5 名学生物理成绩的方差为:
1 5 [( 87 ? 90 ) ? ( 89 ? 90 ) ? ( 89 ? 90 ) ? ( 92 ? 90 ) ? ( 93 ? 90 ) ] ?
2 2 2 2 2

24 5

因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数 学成绩稳定. (Ⅱ)设选中的学生中至少有一个物理成绩高于 90 分为事件 A 5 名学生中选 2 人包含基本事件有:
A1 A 2 ,
A1 A 3 , A1 A 4 , A1 A 5 , A 2 A3 , A 2 A4 , A 2 A5 , A3 A 4 , A 3 A 5 , A 4 A5 ,

共 10 个.

事件 A 包含基本事件有: A1 A 4 , A1 A 5 , A 2 A 4 , A 2 A 5 , A3 A 4 , A 3 A 5 , A 4 A5 , 共 7 个.
则 P ( A) ? 7 10
7 10

所以,5 名学生中选 2 人, 选中的学生中至少有一个物理成绩高于 90 分的概率为

.

(17)(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C 1 中, A A1 ? 面 A B C ,所以 A A1 ? B C , 在等边 ? A B C 中,D 是 BC 中点,所以 AD ? BC 因为 在平面 A1 AD 中, A1 A ? AD ? A ,所以 B C ? 面 A1 A D 又因为 A1 D ? 面 A 1 AD ,所以, A1 D ? BC 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C 1 中,四边形 B C C 1 B1 是平行四边形,所以 B1C 1 // BC 所以, A1 D ? B1 C 1 (Ⅱ) 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C 1 中,四边形 A C C 1 A1 是平行四边形, 在平行四边形 A C C 1 A1 中联结 A1C ,交于 AC 1 点 O,联结 DO. 故 O 为 A1C 中点. 在三角形 A1 CB 中,D 为 BC 中点,O 为 A1C 中点,故 DO // A1 B .

因为 D O ? 平 面 D A C 1 , A1 B ? 平 面 D A C 1 ,所以, A1 B // 面 ADC 故, A1 B 与面 ADC 1 平行 (18) (本小题共 14 分) 解:定义域为 R
f ( x ) ? ( ax ? 1) e ? ( ax ? 1)( e ) ? e ( ax ? a ? 1)
' ' x x ' x

1

' x (Ⅰ)①当 a ? 0 时, f ( x ) ? e ? 0 ,则 f ( x ) 的单调增区间为 ( ?? , ?? )

' ②当 a ? 0 时,解 f ( x ) ? 0 得, x ? ?

a ?1 a

' ,解 f ( x ) ? 0 得, x ? ?

a ?1

,
)

则 f ( x ) 的单调增区间为 ( ?

a ?1 a

, ?? ) , f ( x ) 的单调减区间为 ( ?? , ? a ?1 a
' ,解 f ( x ) ? 0 得, x ? ?

a a ?1

' ③当 a ? 0 时,解 f ( x ) ? 0 得, x ? ?

a a ?1

,

a a ?1 a ?1 ) , f ( x ) 的单调减区间为 ( ? , ?? ) 则 f ( x ) 的单调增区间为 ( ?? , ? a a

?a ? 0 ? (Ⅱ) ① 当 ? a ? 1 ? ?2 ?? a ?
a ?1 a

时,

即 当 a ? 1 时,

f ( x ) 在 ( ? 2,?

a ?1 a

) 上是减函数,在

(?

, 0 ) 上是增函数,则函数 f ( x ) 在区间[-2,0]上的最小值为

f (?

a ?1 a

) ? ? ae

?

a ?1 a

?a ? 0 ? ②当 ? a ? 1 ? ?2 ?? a ?

时, 即

当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 [ ? 2 , 0 ] 上是增函数,

则函数 f ( x ) 在区间[-2,0]上的最小值为 f ( ? 2 ) ?

1 ? 2a e
2
a ?1 a

综上: 当 a ? 1 时, f ( x ) 在区间[-2,0]上最小值为 ? ae

?

当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在区间[-2,0]上最小值为

1 ? 2a e
2

(19) (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)设 P ( x , y ) ,由题意知
x
2

k AP ? k BP ? ?

1 4

,即

y x? 2

?

y x?2

??

1 4

( x ? ?2)

化简得曲线 C 方程为: (Ⅱ)思路一

? y ? 1 ( x ? ?2)
2

4

满足题意的直线 AQ 的斜率显然存在且不为零,设其方程为 y ? k ( x ? 2 ) ,

由(Ⅰ)知 k QB ? k ?

?1 4

,所以,设直线 QB 方程为 y ?
?1 2k

?1 4k

( x ? 2) ,

当 x ? 4 时得 N 点坐标为 N ( 4 ,
1 2k 3 6

) ,易求 M 点坐标为 M ( 4 , 6 k )

所以 | MN |? 6 k ?

=| 6k | ?

1 | 2k |

? 2 | 6k | ?

1 | 2k |

?2 3,

当且仅当 k ? ?

时,线段 MN 的长度有最小值 2 3 .

思路二:满足题意的直线 AQ 的斜率显然存在且不为零,设其方程为 y ? k ( x ? 2 ) ,
? x2 2 ? y ?1 ? 联立方程: ? 4 ? y ? k ( x ? 2) ?

消元得 (4 k ? 1) x ? 16 k x ? 16 k ? 4 ? 0 ,
2 2 2 2

设 Q ( x 0 , y 0 ) , M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) , 由韦达定理得: ? 2 ? x 0 ?
16 k 4k
2 2

?4 ?1



所以 x 0 ? 所以 Q (

? 8k 4k
2 2

2

? 2 ?1
4k

2

,代入直线方程得 y 0 ? ,又 B( 2, 0 )
4k ?0 ? ? ?2

4k 4k
2

?1



2 ? 8k 1 ? 4k

,

1 ? 4k

2

)

所以直线 BQ

的斜率为 , 1 ? 4 k 2 2 ? 8k
2

1 4k

1 ? 4k

2

以下同思路一
y0 x0 ? 2

思路三:设 Q ( x 0 , y 0 ) ,则直线 AQ 的方程为 y ?

( x ? 2)

直线 BQ 的方程为 y ?
6 y0 x0 ? 2 2 y0 x0 ? 2

y0 x0 ? 2

( x ? 2)

当x 当x

? 4 ,得 y M ? ? 4 ,得 y N ?

,即 M (4, ,即 N ( 4,

6 y0 x0 ? 2 2 y0 )

)

x0 ? 2

则 MN ?

6 y0 x0 ? 2

?

2 y0 x0 ? 2

? 2 y0 ?

2 x0 ? 8 x0 ? 4
2

MN

2

? 4 y0 ? (
2

2 x0 ? 8 x0 ? 4
2

)

2

又 x0 2 ? 4 y 0 2 ? 4 所以 M N
2

?

4( x 0 ? 4) 4 ? x0
2

2

利用导数,或变形为二次函数求其最小值。 (20) (本题满分 13 分) 解: (Ⅰ) A 2 ? {? 4 , ? 3, ? 2 , ? 1, 0 ,1, 2 ,3, 4} ;
{ a n } 为 2 阶完备数列, n 阶完整数列,2 阶完美数列;

(Ⅱ)若对于 ? x ? A n ,假设存在 2 组 ? i 及 ? i ( i ? 1, 2 ? , n )使 x ?
? 1 10 ? ? 2 10 ? ? ? ? n 10
0 2 n ?1

??
i ?1

n

i

a i 成立,则有

? ? 1 10

0

? ? 2 10

2

? ? ? ? n 10
n ?1

n ?1

,即

( ? 1 ? ? 1 )10

0

? ( ? 2 ? ? 2 )10 ? ? ? ( ? n ? ? n )10
1

? 0 , 其 中 ? i , ? i ? { ? 1, 0 ,1} , 必 有

?1 ? ? 1 , ? 2 ? ? 2 ? ? n ? ? n ,

所以仅存在唯一一组 ? i ( i ? 1, 2 ? , n )使 x ? 即数列 { a n } 为 n 阶完备数列;
S n ? 0 ,对 ? x ? A n , x ?

??
i ?1

n

i

a i 成立,

?

n

i ?1

? i a i ,则 ? x ? ? ? ? i a i ? ? ( ? ? i ) a i ,因为 ? i ? {? 1, 0 ,1} ,
i ?1 i ?1

n

n

则 ? ? i ? {? 1, 0 ,1} ,所以 ? x ? A n ,即 S n ? 0 (Ⅲ)若存在 n 阶完美数列,则由性质 1 易知 A n 中必有 3 个元素,由(Ⅱ)知 A n 中元素 成对出现(互为相反数) ,且 0 ? A n ,又 { a n } 具有性质 2,则 A n 中 3 个元素必为
n n

An ? { ?

3 ?1
n

,?

3 ?3
n

, ? ? 1, 0,1, ?

2

2

3 ? 3 3 ?1 , }。 2 2
n n

an ? 3

n ?1


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