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2012年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(含解析)新人教A版


2012 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1.从 n 名男生和 2 名女生中,任选 2 人参加英语口语比赛,若 2 人中至少有 1 名男生的概 率 ( ▲ A. 3 ) B. 4 C. 5 D. 6 为

14 15




/>
n







2.将向量 a ? (3, 4) 按向量 b ? (1, 2) 平移得到向量 c ,则 | c |? A. 2 2 3 ( . ▲ 对 ) B. tan ? tan ? ? ? tan ? D. cos ? tan ? ? ? cos ? 任 B. 2 13 意 C. 5 , 下 列 不 D. 5 等 式 正 确

?

?

?

?

(

▲ )

? ?? ? ? ? 0, ? 2 ? ?





A. tan ? cos ? ? ? tan ? C. cos ? ? tan ? cos ? ?

4.在 ?ABC 中, A(1, 2), B(3, 4), C (2, k ) ,若 ?B 为锐角,则实数 k 的取值范围是( A. k ? 5 B. k ? 5 C. 3 ? k ? 5 D. k ? 3或3 ? k ? 5

▲ )

5. 已知函数 f ( x) 满足 f (1) ? 2 ,f ( x ? 1) ? 的 ( ▲ A. 3

1 ? f ( x) ( x ? N *) , ?  ? f (2012) 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ?   1 ? f ( x)
值 为 D . ?6 ( ▲ )

) B. 2
x

C. 1
x ?1

6.已知 a ? R ,则函数 f ( x) ? 4 ? a ? 2 A . 2a ? 2 B. 1 ? a
2

? 1( x ? 0) 的最小值是

? 2a ? 2   ( a ? ?1) C. ? 2 ?1 ? a   ( a ? ?1)

?1 ? a 2   ( a ? ?1) D. ? ? 2a ? 2   ( a ? ?1)

7.已知 A 为 ?ABC 的最小内角,若向量 a ? (cos A,1), b ? ? 2sin( A ? 值 ( 范 ▲ ) B. ? ? 围

?

?

? ?

?

? ? ? ),1? ,则 a ? b 的取 6 ?


A. ? ?

? 1 5? , ? 2 2? ?

? 1 5? , ? 2 2? ?

C. ? 2, ? 2

? 5? ? ?

D. ? 2, ? 2

? ?

5? ?

1

8.已知函数 f ( x) ? x ? x , g ( x) ? sin x ? (2 ? cos x) ,则 f ( x)、g ( x) 的图像的交点个
3 2

数为 ( ▲ A. 1 个

) B. 2 个
n

C. 3 个
89

D .无数个

9.定义

?x
k ?1

k

? x1 ? x2 ? x3 ?   ???   ? xn ,则

? (1 ? cos 2k ?)
k ?1

? sin 2k ?
k ?1

89

的值为

(

▲ )

A . ?1

B. 1

C . ?89

D . 89

10.若函数 f ( x) 在定义域内满足 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,有以下命题: ①函数 f ( x) 可以为一次函数; ②函数 f ( x) 的最小正周期一定为 6; ③若函数 f ( x) 为奇函数且 f (1) ? 0 ,则在区间 [?5,5] 上至少有 11 个零点; ④若 ?、? ? R 且 ? ? 0 , 则当且仅当 ? ? 2k? ? 足已知条件. 其

?
3

函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 满 (k ? Z ) 时,



错 .

误 .

的 D .①②④ .



( ▲ ) A .①② B .③④ C .①②③ 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分。 11.如图执行右面的程序框图,那么输出的 s 值为 ▲ . 12 .函数 f ( x) ?| sin x | ? cos x ? sin x? | cos x | 的值域 是 ▲ . 13.美籍华人林书豪现已成为家喻户晓的 NBA 篮球明星, 下图是他在职业生涯前 8 场首发得分的茎叶统计图, 这些数据的平均值和方差分别为 ▲ .

4 ? 5 的解集为 ▲ . sin 4 x ? 1 ? x 2 15.设集合 A ? ? x ? 2 ? 4 ? 和B ? x log 2 ? x ? ? x ?? ? 2 ,其中符号 ?x ? 表示不大于 x ? 4 ? 的最大整数,则 A ? B ? ▲ ..
14.方程 sin x ?
4

?

?

16.函数 f ( x) ?

2 x 4 ? 3x 2 ? 1 ? x 4 ? 2 x 2 的最小值为
x 2 2 x



. ▲ .

17. 对于一切实数 x , 不等式 2 ? cos? ? 2 x ? cos? ? x ? 2 恒成立, 则 ? 的取值范围是

2

三、解答题:本大题共 3 小题,共 51 分. 18. (本题满分 16 分) 已知关于 x 的方程 2 x ? bx ?
2

1 ? 3? ? 0 的两根为 sin? 和 cos ? ,? ? ( , ) . 4 4 4

(Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)求

sin ? 1 ? cos ? 的值. ? 1 ? cos ? sin ?
1 ? x2 1 ? x2 1 ? a ,函数 f ( x ) ? . 1 ? x2 1 ? x2 9

19.(本题满分 17 分)设实数 a ?

(Ⅰ)当 a ? 1 时,判断 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)求实数 a 的范围,使得对于区间 ? ? 以 f (r )、f ( s)、f (t ) 为边长的三角形. 20. (本题满分 18 分)函数 f ( x) 的定义域为 R ,且满足: ①对于任意的 x, y ? R , f ( x ? y ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f (1 ? x) f (1 ? y) ; ② f ( x) 在区间 [0,1] 上单调递增. 求(Ⅰ) f (0) ; (Ⅱ)不等式 2 f ( x ? 1) ? 1 ? 0 的解集.

? 2 5 2 5? , ? 上的任意三个实数 r、s、t ,都存在 5 ? ? 5

3


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