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2.3.1平面向量基本定理 (1)


三穗县民族高级中学 杨培菊

温故
一. 向量的加法:
1.三角形法则:

? a
B C

? b
2.平行四边形法则:

? a
A

B

? b

? ? a?b

? a
A

? ? a?b

C

? b
共起点

D

首尾相接

二.向量的数乘运算的定义:
其方向和长度规定如下: ? ? (1) ? a ? ? a ;

??? ?? 实数?与向量 a 的积是一个的向量,记为? a,

? ?? ? (2) 当? ? 0, ? a 与 a 的方向相同; ? ?? ? 当? ? 0, ? a 的方向与 a 的方向相反; ? ? 当? ? 0,? a ? 0.

三.向量共线定理 ? ? ? ? ? ? b a与b共线 ?? ? a (a ? 0)

探究:平面向量基本定理

? ? 思考1:给定平面内两个不共线向量e , 2, e ? ? 1 如何求作向量2e1 e2 +3 ? e1

D

e2

e1
O

??? ? ?? ? ?? ? OD = 2e1 ? 3e2

e2
思 考

?? ?? ? 一个平面内的两个不共线的向量 e1、 2 与该平 e 思考3: ? 面内的任一向量 a 之间的关系.
M C

? ? e1

? a

A

?? ? e2

??? ???? ???? ? ? ?如图 OC ? OM ? ON ???? ? ??? ? ? ? ???? ??? ? ?? ? ? OM ? ?1 OA ? ?1 e1 ON ? ?2 OB ? ?2 e2

O

N

B

??? ? ? ? ?? ? ? OC ? ?1 e1 ? ?2 e2 ? ? ? ?? ? 即 a ? ?1 e1 +?2 e2

N

A

B C

? ? e1

?? ? e2

? a

O

??? ???? ???? ? ? ?如图 OC ? OM ? ON M ???? ? ??? ? ? ? ???? ??? ? ?? ? ? OM ? ?1 OA ? ?1 e1 ON ? ?2 OB ? ?2 e2

??? ? ? ? ?? ? ? OC ? ?1 e1 ? ?2 e2 ? ? ? ?? ? 即 a ? ?1 e1 +?2 e2

思考4:若向量a与e1或e2共线,

a还能用λ1e1+λ2e2表示吗?

e1

a
e2 a

a=λ1e1+0e2

a=0e1+λ2e2

平面向量的基本定理
如果 e 1 , 2 是同一平面内的两个不共线的 e 向量,那么对于这一平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数? 1、?2使

a = ? 1e 1 +?2 e 2
其中不共线的向量 e 1 , e 2 叫做表示这一平 面内的所有向量的一组基底。

揭示内涵、理解定理

1、基底 e1 、e2 是否唯一? 2、基底 e1 、e2 必须满足什么条件? ? 3、定理中?1 、 2 的值是否唯一?能为0吗? 我们得到:(1)基底不唯一; (2)基底必须不共线; (3)如果基底选定,则 ? 1 , 2 唯一确定,可以为零. ?

a ? ?1 e1 ? ?2 e2

? ?? ? ?? ? ? 特别的: ? 1 ? 0 , ? 2 ? 0 时, a ? ? 2 e 2 , a 与 e 共线. 2 ? ?? ? ?? ?1 ? 0, ? 2 ? 0 时, a ? ?1 e1 ,a 与 e 1 共线. ? ? ?1 ? ? 2 ? 0 时, a ? 0

C

E
M

a
N F
o

向量的夹角
已知两个非零向量a和b如图, 则∠AOB=θ (0 ° ≤θ≤180°) 叫做向量的夹角 当θ =0° 时,a与b同向 当θ =180°时, a与b反向
o b

B

?
a A

共起点

a与b的夹角是90 °,则a与b垂直,记作a ⊥ b
A

思考:正△ABC中,向量 AB与BC的夹角为几度?
D

B

C

例1已知向量e1,e2,求作向量-2.5e1+3e2 .
作法:(1)任取一点o, 作OA=-2.5e1,OB=3e2 (2)作 OACB. 于是OC就是所求作的向量.

C e1 e2 A -2.5e1 O
3e2

B

作一作:
?? e1
已知向量 e1 ,e2 , 求作向量

? ? ?? ? ?2e1 ? 3e2

?? ? e2

O
B A

作法:

??? ? ?? ??? ? ?? ? 1.任取一点 O, 作OA ? ?2e1 , OB ? 3e2 .

C

2.作? OACB. ? ? ?? ? ???? OC ? ?2e1 ? 3e2

小结

本节学习了:
(1)平面向量基本定理: 平面里的任何一个向量都可以用两个不共 ? ? ? 线的向量来表示.即a ? ? e ? ? e
1 1 2 2

(2)能够在具体问题中适当的选取基底,使 其它向量都能够统一用这组基底来表达.

作业:课本118页
A 组

1 题、2题、 3题、4题 B 组 1题(1)(2)(3)(4)


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