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2013年浙江省高考数学试卷(文科)


2013 年浙江省高考数学试卷(文科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 分) (5 (2013?浙江)设集合 S={x|x>﹣2},T={x|﹣4≤x≤1},则 S∩ T=( ) A.[﹣4,+∞) B.(﹣2,+∞) C.[﹣4,1] D.(﹣2,1] 2. 分) (5 (2013?浙江

)已知 i 是虚数单位,则(2+i) (3+i)=( A.5﹣5i B.7﹣5i C.5+5i ) D.7+5i

3. 分) (5 (2013?浙江)若 α∈R,则“α=0”是“sinα<cosα”的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 分) (5 (2013?浙江)设 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面, ( A.若 m∥ α,n∥ α,则 m∥ B.若 m∥ n α,m∥ β,则 α∥ C.若 m∥ β n,m⊥ α,则 n⊥ α ) D.若 m∥ α,α⊥ β,则 m⊥ β )

5. 分) (5 (2013?浙江)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是(

A.108cm3

B.100 cm3

C.92cm3

D.84cm3 )

6. 分) (5 (2013?浙江)函数 f(x)=sinxcos x+ A.π,1 B.π,2

cos2x 的最小正周期和振幅分别是( C.2π,1
2

D.2π,2

7. 分) (5 (2013?浙江)已知 a、b、c∈R,函数 f(x)=ax +bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1) ,则( ) A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0 8. 分) (5 (2013?浙江)已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数 y=f′ (x)的图象如图所示, 则该函数的图象是( )

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A.

B.

C.

D.

9. 分) (5 (2013?浙江)如图 F1、F2 是椭圆 C1:

+y =1 与双曲线 C2 的公共焦点 A、B 分别是 C1、C2 在第二、 )

2

四象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是(

A.

B.

C.

D.

10. 分) (5 (2013?浙江)设 a,b∈R,定义运算“∧”和“∨ ”如下: a∧b= a∨ b=

若正数 a、b、c、d 满足 ab≥4,c+d≤4,则( ) A.a∧b≥2,c∧d≤2 B.a∧b≥2,c∨ d≥2 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 分) (4 (2013?浙江)已知函数 f(x)=

C.a∨ b≥2,c∧d≤2

D.a∨ b≥2,c∨ d≥2

,若 f(a)=3,则实数 a= _________ .

12. 分) (4 (2013?浙江)从三男三女 6 名学生中任选 2 名(每名同学被选中的概率均相等) ,则 2 名都是女同学的 概率等于 _________ . 13. 分) (4 (2013?浙江)直线 y=2x+3 被圆 x +y ﹣6x﹣8y=0 所截得的弦长等于 14. 分) (4 (2013?浙江)某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于
2 2

_________ . _________ .

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15.4 分)2013?浙江) z=kx+y, ( ( 设 其中实数 x、 满足 y

若 z 的最大值为 12, 则实数 k= _________ .

16. 分) (4 (2013?浙江)设 a,b∈R,若 x≥0 时恒有 0≤x ﹣x +ax+b≤(x ﹣1) ,则 ab 等于 _________ 17. 分) (4 (2013?浙江)设 、 为单位向量,非零向量 =x ,x、y∈R.若 、

4

3

2

2



+y

的夹角为 30°,则

的最大值等于 _________ . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (14 分) (2013?浙江)在锐角△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= (Ⅰ )求角 A 的大小; (Ⅱ )若 a=6,b+c=8,求△ ABC 的面积.

b.

19. (14 分) (2013?浙江)在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (Ⅰ )求 d,an; (Ⅱ 若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. ) 20. 15 分) 2013?浙江) ( ( 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 面 ABCD, PA⊥ AB=BC=2, AD=CD= G 为线段 PC 上的点. (Ⅰ )证明:BD⊥ 平面 PAC; (Ⅱ )若 G 是 PC 的中点,求 DG 与 PAC 所成的角的正切值; (Ⅲ )若 G 满足 PC⊥ BGD,求 面 的值. , PA= , ABC=120°, ∠

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21. (15 分) (2013?浙江)已知 a∈R,函数 f(x)=2x ﹣3(a+1)x +6ax (Ⅰ )若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ )若|a|>1,求 f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值. 22. (14 分) (2013?浙江)已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0) ,焦点 F(0,1) (Ⅰ )求抛物线 C 的方程; (Ⅱ 过 F 作直线交抛物线于 A、B 两点.若直线 OA、OB 分别交直线 l:y=x﹣2 于 M、N 两点,求|MN|的最小值. )

3

2

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2013 年浙江省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 分) (5 (2013?浙江)设集合 S={x|x>﹣2},T={x|﹣4≤x≤1},则 S∩ T=( ) A.[﹣4,+∞) B.(﹣2,+∞) C.[﹣4,1] D.(﹣2,1] 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算. 计算题. 找出两集合解集的公共部分,即可求出交集. 解:∵ 集合 S={x|x>﹣2}=(﹣2,+∞) ,T={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4,1], ∴ T=(﹣2,1]. S∩ 故选 D 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
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2. 分) (5 (2013?浙江)已知 i 是虚数单位,则(2+i) (3+i)=( A.5﹣5i B.7﹣5i C.5+5i 考点: 专题: 分析: 解答: 复数代数形式的乘除运算. 计算题. 直接利用多项式的乘法展开,求出复数的最简形式.
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) D.7+5i

解:复数(2+i) (3+i)=6+5i+i =5+5i. 故选 C. 点评: 本题考查复数的代数形式的混合运算,考查计算能力. 3. 分) (5 (2013?浙江)若 α∈R,则“α=0”是“sinα<cosα”的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 当“α=0”可以得到“sinα<cosα”,当“sinα<cosα”时,不一定得到“α=0”,得到“α=0”是“sinα<cosα”的充分不必 要条件. 解答: 解:∵ “α=0”可以得到“sinα<cosα”,
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2

当“sinα<cosα”时,不一定得到“α=0”,如 α=

等,

∴ “α=0”是“sinα<cosα”的充分不必要条件, 故选 A. 点评: 本题主要考查了必要条件,充分条件与充要条件的判断,要求掌握好判断的方法. 4. 分) (5 (2013?浙江)设 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面, ( A.若 m∥ α,n∥ α,则 m∥ B.若 m∥ n α,m∥ β,则 α∥ C.若 m∥ β n,m⊥ α,则 n⊥ α ) D.若 m∥ α,α⊥ β,则 m⊥ β

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. 专题: 计算题;空间位置关系与距离.
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www.jyeoo.com 分析: 用直线与平面平行的性质定理判断 A 的正误;用直线与平面平行的性质定理判断 B 的正误;用线面垂直的 判定定理判断 C 的正误;通过面面垂直的判定定理进行判断 D 的正误. 解答: 解:A、m∥ α,n∥ α,则 m∥ n,m 与 n 可能相交也可能异面,所以 A 不正确; B、m∥ α,m∥ β,则 α∥ β,还有 α 与 β 可能相交,所以 B 不正确; C、m∥ n,m⊥ α,则 n⊥ α,满足直线与平面垂直的性质定理,故 C 正确. D、m∥ α,α⊥ β,则 m⊥ β,也可能 m∥ β,也可能 m∩ β=A,所以 D 不正确; 故选 C. 点评: 本题主要考查线线,线面,面面平行关系及垂直关系的转化,考查空间想象能力能力. 5. 分) (5 (2013?浙江)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )

A.108cm3

B.100 cm3

C.92cm3

D.84cm3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知: 该几何体是一个棱长分别为 6, 3, 6, 砍去一个三条侧棱长分别为 4, 3 的一个三棱锥 4, (长 方体的一个角) .据此即可得出体积. 解答: 解:由三视图可知:该几何体是一个棱长分别为 6,6,3,砍去一个三条侧棱长分别为 4,4,3 的一个三棱 锥(长方体的一个角) .
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∴ 该几何体的体积 V=6×6×3﹣ 故选 B.

=100.

点评: 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键.

6. 分) (5 (2013?浙江)函数 f(x)=sinxcos x+ A.π,1 B.π,2

cos2x 的最小正周期和振幅分别是( C.2π,1



D.2π,2

考点: 两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质.
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www.jyeoo.com 分析: f(x)解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角 函数值化为一个角的正弦函数,根据正弦函数的值域,确定出振幅,找出 ω 的值,求出函数的最小正周期 即可. 解答: 解:f(x)= sin2x+ cos2x=sin(2x+ ) , ∵ ﹣1≤sin(2x+ )≤1,∴ 振幅为 1,

∵ ω=2,∴ T=π. 故选 A 点评: 此题考查了两角和与差的正弦函数公式,二倍角的正弦函数公式,以及三角函数的周期性及其求法,熟练 掌握公式是解本题的关键. 7. 分) (5 (2013?浙江)已知 a、b、c∈R,函数 f(x)=ax +bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1) ,则( ) A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0 考点: 专题: 分析: 解答: 二次函数的性质. 函数的性质及应用. 由 f(0)=f(4)可得 4a+b=0;由 f(0)>f(1)可得 a+b<0,消掉 b 变为关于 a 的不等式可得 a>0. 解:因为 f(0)=f(4) ,即 c=16a+4b+c, 所以 4a+b=0; 又 f(0)>f(1) ,即 c>a+b+c, 所以 a+b<0,即 a+(﹣4a)<0,所以﹣3a<0,故 a>0. 故选 A. 点评: 本题考查二次函数的性质及不等式,属基础题.
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2

8. 分) (5 (2013?浙江)已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数 y=f′ (x)的图象如图所示, 则该函数的图象是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的图象. 函数的性质及应用. 根据导数的图象,利用函数的单调性和导数的关系,得出所选的选项. 解:由导数的图象可得,函数 f(x)在[﹣1,0]上增长速度逐渐变大,图象是下凹型的;在[0,1]上增长速 度逐渐变小,图象是上凸型的, 故选 B. 点评: 本题主要考查函数的单调性和导数的关系,属于基础题.
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www.jyeoo.com 9. 分) (5 (2013?浙江)如图 F1、F2 是椭圆 C1: +y =1 与双曲线 C2 的公共焦点 A、B 分别是 C1、C2 在第二、 )
2

四象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是(

A.

B.

C.

D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 不妨设|AF1|=x,|AF2|=y,依题意
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,解此方程组可求得 x,y 的值,利用双曲线的定义及性质即

可求得 C2 的离心率. 解答: 解:设|AF1|=x,|AF2|=y,∵ A 为椭圆 C1: 点 ∴ 2a=4,b=1,c= ; ∴ 1|+|AF2|=2a=4,即 x+y=4;① |AF 又四边形 AF1BF2 为矩形, ∴ + = ,即 x +y =(2c) =
2 2 2

+y =1 上的点,

2

=12,②

由①得: ②

,解得 x=2﹣

,y=2+

,设双曲线 C2 的实轴长为 2a,焦距为 2c,

则 2a=,|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2 ∴ 双曲线 C2 的离心率 e= = 故选 D. =

,2c=2 .

=2



点评: 本题考查椭圆与双曲线的简单性质,求得|AF1|与|AF2|是关键,考查分析与运算能力,属于中档题. 10. 分) (5 (2013?浙江)设 a,b∈R,定义运算“∧”和“∨ ”如下: a∧b= a∨ b=

若正数 a、b、c、d 满足 ab≥4,c+d≤4,则( ) A.a∧b≥2,c∧d≤2 B.a∧b≥2,c∨ d≥2

C.a∨ b≥2,c∧d≤2

D.a∨ b≥2,c∨ d≥2

考点: 函数的值. 专题: 计算题;新定义. 分析: 依题意,对 a,b 赋值,对四个选项逐个排除即可. 解答: 解:∵ a∧b= ,a∨ b= ,
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www.jyeoo.com 正数 a、b、c、d 满足 ab≥4,c+d≤4, ∴ 不妨令 a=1,4,则 a∧b≥2 错误,故可排除 A,B; 再令 c=1,d=1,满足条件 c+d≤4,但不满足 c∨ d≥2,故可排除 D; 故选 C. 点评: 本题考查函数的求值,考查正确理解题意与灵活应用的能力,着重考查排除法的应用,属于中档题. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 分) (4 (2013?浙江)已知函数 f(x)= ,若 f(a)=3,则实数 a= 10 .

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 利用函数的解析式以及 f(a)=3 求解 a 即可. 解答: 解:因为函数 f(x)= ,又 f(a)=3,
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所以

,解得 a=10.

故答案为:10. 点评: 本题考查函数解析式与函数值的应用,考查计算能力. 12. 分) (4 (2013?浙江)从三男三女 6 名学生中任选 2 名(每名同学被选中的概率均相等) ,则 2 名都是女同学的 概率等于 .

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 由组合数可知:从 6 名学生中任选 2 名共有
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=15 种情况,2 名都是女同学的共有

=3 种情况,由古典概

型的概率公式可得答案. 解答: 解:从 6 名学生中任选 2 名共有 满足 2 名都是女同学的共有 故所求的概率为: 故答案为: 点评: 本题考查古典概型及其概率公式,涉及组合数的应用,属基础题. 13. 分) (4 (2013?浙江)直线 y=2x+3 被圆 x +y ﹣6x﹣8y=0 所截得的弦长等于 考点: 专题: 分析: 解答:
2 2

=15 种情况,

=3 种情况,

=

4



直线与圆的位置关系. 计算题;直线与圆. 求出圆的圆心与半径,利用圆心距,半径,半弦长满足勾股定理,求解弦长即可.
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解:圆 x +y ﹣6x﹣8y=0 的圆心坐标(3,4) ,半径为 5, 圆心到直线的距离为: ,

2

2

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www.jyeoo.com 因为圆心距,半径,半弦长满足勾股定理, 所以直线 y=2x+3 被圆 x +y ﹣6x﹣8y=0 所截得的弦长为:2× 故答案为:4 . 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,弦长的求法,考查转化思想与计算能力.
2 2

=4



14. 分) (4 (2013?浙江)某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于



考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 由题意可知,该程序的作用是求解 S=1+
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+ +

+ +

+ +

的值,然后利用裂项求和即可求解. 的值.

解答:

解:由题意可知,该程序的作用是求解 S=1+ 而 S=1+ + + +

=1+1﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ = . 故答案为: . 点评: 本题考查了程序框图中的循环结构的应用,解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能.

15. 分) (4 (2013?浙江)设 z=kx+y,其中实数 x、y 满足

若 z 的最大值为 12,则实数 k= 2 .

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ ABC 及其内部,再将目标函数 z=kx+y 对应的直线进行平 移.经讨论可得当当 k<0 时,找不出实数 k 的值使 z 的最大值为 12;当 k≥0 时,结合图形可得:当 l 经过 点 C 时,zmax=F(4,4)=4k+4=12,解得 k=2,得到本题答案. 解答:
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解:作出不等式组

表示的平面区域,得到如图的△ ABC 及其内部,

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其中 A(2,0) ,B(2,3) ,C(4,4) 设 z=F(x,y)=kx+y,将直线 l:z=kx+y 进行平移,可得 ① k<0 时,直线 l 的斜率﹣k>0, 当 由图形可得当 l 经过点 B(2,3)或 C(4,4)时,z 可达最大值, 此时,zmax=F(2,3)=2k+3 或 zmax=F(4,4)=4k+4 但由于 k<0,使得 2k+3<12 且 4k+4<12,不能使 z 的最大值为 12, 故此种情况不符合题意; ② k≥0 时,直线 l 的斜率﹣k≤0, 当 由图形可得当 l 经过点 C 时,目标函数 z 达到最大值 此时 zmax=F(4,4)=4k+4=12,解之得 k=2,符合题意 综上所述,实数 k 的值为 2 故答案为:2 点评: 本题给出二元一次不等式组,在目标函数 z=kx+y 的最大值为 12 的情况下求参数 k 的值,着重考查了二元 一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题. 16. 分) (4 (2013?浙江)设 a,b∈R,若 x≥0 时恒有 0≤x ﹣x +ax+b≤(x ﹣1) ,则 ab 等于 ﹣1 . 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数恒成立问题. 专题: 转化思想;函数的性质及应用;导数的综合应用. 4 3 2 2 2 2 分析: 由题意,x≥0 时恒有 0≤x ﹣x +ax+b≤(x ﹣1) ,考察(x ﹣1) ,发现当 x=1 时,其值为 0,再对照不等 4 3 式左边的 0,可由两边夹的方式得到参数 a,b 满足的方程,再令 f(x)=x ﹣x +ax+b,即 f(x)≥0 在 x≥0 恒成立,利用导数研究函数在 x≥0 的极值,即可得出参数所满足的另一个方程,由此解出参数 a,b 的值, 问题即可得解 解答: 解:验证发现, 当 x=1 时,将 1 代入不等式有 0≤a+b≤0,所以 a+b=0, 当 x=0 时,可得 0≤b≤1,结合 a+b=0 可得﹣1≤a≤0
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4

3

2

2

令 f(x)=x ﹣x +ax+b,即 f(1)=a+b=0 3 2 2 又 f′ (x)=4x ﹣3x +a,f′(x)=12x ﹣6x, ′ 令 f′(x)>0,可得 x> ,则 f′ ′ (x)=4x ﹣3x +a 在[0, ]上减,在[ ,+∞)上增 又﹣1≤a≤0,所以 f′ (0)=a<0,f′ (1)=1+a≥0 4 3 4 3 又 x≥0 时恒有 0≤x ﹣x +ax+b,结合 f(1)=a+b=0 知,1 必为函数 f(x)=x ﹣x +ax+b 的极小值点,也是 最小值点 故有 f′ (1)=1+a=0,由此得 a=﹣1,b=1 故 ab=﹣1 故答案为﹣1 点评: 本题考查函数恒成立的最值问题及导数综合运用题,由于所给的不等式较为特殊,可借助赋值法得到相关 的方程直接求解,本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值,及极值的确定,将问题灵活转 化是解题的关键
3 2

4

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www.jyeoo.com 17. 分) (4 (2013?浙江)设 的最大值等于 2 . 考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意求得 = ,| |=
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为单位向量,非零向量 =x

+y

,x、y∈R.若



的夹角为 30°,则

=

,从而可得

=

=

=



再利用二次函数的性质求得 解答: 解:∵ 、 ∵ 非零向量 =x 为单位向量, +y ,∴ |= |

的最大值. 和 = 的夹角等于 30°,∴ = =1×1×cos30°= , .



=

=

=

=



故当 =﹣

时,

取得最大值为 2,

故答案为 2. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的运算,求向量的模,利用二次函数的性质求函数的最大值,属于中档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (14 分) (2013?浙江)在锐角△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= (Ⅰ )求角 A 的大小; (Ⅱ )若 a=6,b+c=8,求△ ABC 的面积.

b.

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ )利用正弦定理化简已知等式,求出 sinA 的值,由 A 为锐角,利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的 度数; (Ⅱ )由余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将 a,b+c 及 cosA 的值代入求出 bc 的值,再由 sinA 的值,利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 解答: 解: )由 2asinB= b,利用正弦定理得:2sinAsinB= sinB, (Ⅰ
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∵ sinB≠0,∴ sinA= 又 A 为锐角, 则 A= ;



(Ⅱ )由余弦定理得:a =b +c ﹣2bc?cosA,即 36=b +c ﹣bc=(b+c) ﹣3bc=64﹣3bc, ∴ bc= ,又 sinA= ,

2

2

2

2

2

2

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www.jyeoo.com 则 S△ABC= bcsinA= .

点评: 此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 19. (14 分) (2013?浙江)在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (Ⅰ )求 d,an; (Ⅱ 若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. ) 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ )直接由已知条件 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列列式求出公差,则通项公式 an 可求; (Ⅱ )利用(Ⅰ )中的结论,得到等差数列{an}的前 11 项大于等于 0,后面的项小于 0,所以分类讨论求 d< 0 时|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的和. 解答: 2 解: )由题意得 (Ⅰ ,即 ,整理得 d ﹣3d﹣
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4=0.解得 d=﹣1 或 d=4. 当 d=﹣1 时,an=a1+(n﹣1)d=10﹣(n﹣1)=﹣n+11. 当 d=4 时,an=a1+(n﹣1)d=10+4(n﹣1)=4n+6. 所以 an=﹣n+11 或 an=4n+6; (Ⅱ )设数列{an}的前 n 项和为 Sn,因为 d<0,由(Ⅰ )得 d=﹣1,an=﹣n+11. 则当 n≤11 时, 当 n≥12 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=﹣Sn+2S11= 综上所述, . .

|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=



点评: 本题考查了等差数列、等比数列的基本概念,考查了等差数列的通项公式,求和公式,考查了分类讨论的 数学思想方法和学生的运算能力,是中档题. 20. 15 分) 2013?浙江) ( ( 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 面 ABCD, PA⊥ AB=BC=2, AD=CD= G 为线段 PC 上的点. (Ⅰ )证明:BD⊥ 平面 PAC; (Ⅱ )若 G 是 PC 的中点,求 DG 与 PAC 所成的角的正切值; (Ⅲ )若 G 满足 PC⊥ BGD,求 面 的值. , PA= , ABC=120°, ∠

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考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角;点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ )由 PA⊥ ABCD,可得 PA⊥ 面 BD;设 AC 与 BD 的交点为 O,则由条件可得 BD 是 AC 的中垂线,故 O 为 AC 的中点,且 BD⊥ AC.再利用直线和平面垂直的判定定理证得 BD⊥ PAC. 面 (Ⅱ )由三角形的中位线性质以及条件证明∠ DGO 为 DG 与平面 PAC 所成的角,求出 GO 和 AC 的值,可得 OC、OD 的值,再利用直角三角形中的边角关系求得 tan∠ DGO 的值.
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(Ⅲ )先证 PC⊥ OG,且 PC= ﹣GC 的值,从而求得 的值.

=

.由△ COG∽PCA,可得 △

,解得 GC 的值,可得 PG=PC

解答: 解: )证明:∵ (Ⅰ 在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥ ABCD,∴ BD. 面 PA⊥ ∵ AB=BC=2, AD=CD= , AC 与 BD 的交点为 O, BD 是 AC 的中垂线, O 为 AC 的中点, BD⊥ 设 则 故 且 AC. 而 PA∩ AC=A,∴ 面 PAC. BD⊥ (Ⅱ )若 G 是 PC 的中点,则 GO 平行且等于 PA,故由 PA⊥ ABCD,可得 GO⊥ ABCD,∴ OD,故 面 面 GO⊥ OD⊥ 平面 PAC,故∠ DGO 为 DG 与平面 PAC 所成的角. 由题意可得,GO= PA= .
2 2 2

△ ABC 中,由余弦定理可得 AC =AB +BC ﹣2AB?BC?cos∠ ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12, ∴ AC=2 ,OC= . ∵ 直角三角形 COD 中,OD= ∴ 直角三角形 GOD 中,tan∠ DGO= = =2, .

(Ⅲ )若 G 满足 PC⊥ BGD,∵ 面 OG?平面 BGD, ∴ OG,且 PC= PC⊥ 由△ COG∽PCA,可得 △ ∴ PG=PC﹣GC= ﹣ = = ,即 , . ,解得 GC= ,

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∴ =

= .

点评: 本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用,求直线和平面所成的角,空间距离的求法,属于中档题. 21. (15 分) (2013?浙江)已知 a∈R,函数 f(x)=2x ﹣3(a+1)x +6ax (Ⅰ )若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ )若|a|>1,求 f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )求导函数,确定切线的斜率,求出切点的坐标,即可求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ )分类讨论,利用导数确定函数的单调性,从而可得极值,即可得到最值. 2 解答: 解: )当 a=1 时,f′ (Ⅰ (x)=6x ﹣12x+6,所以 f′ (2)=6 ∵ f(2)=4,∴ 曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y=6x﹣8; (Ⅱ )记 g(a)为 f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.
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3

2

f′ (x)=6x ﹣6(a+1)x+6a=6(x﹣1) (x﹣a) 令 f′ (x)=0,得到 x1=1,x2=a 当 a>1 时, x 0 (0,1) 1 (1,a) + 0 f′ (x) ﹣ 0 f(x) 单调递增 极大值 3a﹣1单调递减

2

a 0

(a,2a) 2a + 4a
3

极小值 单调递增 2 a (3﹣a) ;

比较 f(0)=0 和 f(a)=a (3﹣a)的大小可得 g(a)= 当 a<﹣1 时, X 0 f′ x) 0 f(x) ∴ g(a)=3a﹣1

2

(0,1) ﹣ 单调递减

1 0 极小值 3a﹣1

(1,﹣2a) + 单调递增

﹣2a ﹣28a ﹣24a
3 2

∴ f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值为 g(a)=



点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的最值,考查学生的计算能力,考查分类讨论 的数学思想,属于中档题. 22. (14 分) (2013?浙江)已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0) ,焦点 F(0,1) (Ⅰ )求抛物线 C 的方程; (Ⅱ 过 F 作直线交抛物线于 A、B 两点.若直线 OA、OB 分别交直线 l:y=x﹣2 于 M、N 两点,求|MN|的最小值. )

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考点: 直线与圆锥曲线的关系;抛物线的标准方程. 专题: 综合题;数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)由抛物线的几何性质及题设条件焦点 F(0,1)可直接求得 p,确定出抛物线的开口方向,写出它的 标准方程;
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(II)由题意,可 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 的方程为 y=kx+1,将直线方程与(I)中所求得方程 联立,再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|,根据所得的形式作出判断,即可求得最小值. 解答: 解: (I)由题意可设抛物线 C 的方程为 x =2py(p>0)则 =1,解得 p=2,故抛物线 C 的方程为 x =4y (II)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 的方程为 y=kx+1 由 消去 y,整理得 x ﹣4kx﹣4=0
2 2 2

所以 x1+x2=4k,x1x2=﹣4,从而有|x1﹣x2|=

=4



解得点 M 的横坐标为 xM=

=

=



同理可得点 N 的横坐标为 xN=

所以|MN|=

|xM﹣xN|=|



|=8

|

|=

令 4k﹣3=t,t 不为 0,则 k= 当 t>0 时,|MN|=2 >2

当 t<0 时,|MN|=2

=2



综上所述,当 t=﹣

时,|MN|的最小值是

点评: 本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求
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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:xintrl;qiss;caoqz;sxs123;孙佑中;wfy814;刘长柏;俞文刚;wyz123;lincy; minqi5;sllwyn(排名不分先后)
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