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2015高中数学 1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 课件 (北师大版必修4)


§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式

4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

1.单位圆中是如何定义正、余弦函数的?正、 问题 引航 余弦函数的定义域是什么? 2.正、余弦函数在各个象限的符号如何确定? 3.任意角的三角函数的定义是什么?

1.单位圆中任意角的正弦函数、余弦函数

v
u

全体实数

全体实数

2.正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号

简记:一全正、二正弦、四余弦.

3.任意角的正弦函数、余弦函数 (1)前提:设角α 的顶点是坐标系的原点,始边与x轴的非负半 轴重合,角α 终边上任一点Q(x,y).
y x r ,cos α =___. (2)结论:OQ的长度为 r ? x 2 ? y2 , 且sin α =___ r

4.任意角的正、余弦三角函数

表示角 的大小,用y表示函数 (1)前提:用x表示自变量,即x_______
值. (2)结论:任意角的正、余弦三角函数可以表示为y=sin x和

全体实数 y=cos x,它们的定义域为_________.

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)sin α ,cos α 中可以将“α ”与“sin”,“cos”分 开.( ) ) )

(2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.( (3)角α 终边上有一点P(1,1),故cos α = 1 =1.(
1

【解析】(1)错误.符号sin α,cos α是一个整体,不能分开. (2)正确.终边相同的角的同一三角函数值相等. (3)错误.P(1,1),x=1,y=1, r ? 2, 故cos α= 1 ? 2 .
2 2

答案:(1)〓

(2)√

(3)〓

2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知角α 终边经过点

?

3,1 ,则角α 的最小正值是______.
5

?

(2)角α 的终边经过点P(m,4),且cos α = - 3,则m=_______. (3)角α 满足sin α >0,cos α <0,则α 在第______象限.

【解析】(1) r ?

? ?
3

2

? 12 ? 2,sin ? ?

所以α的最小正值为 ? . 答案:?
6
6

y 1 ? , r 2

(2)r=

? ?- , m ? 16,因为cos α= 2 r 5 m ? 16 解得m=3(舍去),m=-3.
2

m

m

3

答案:-3

(3)当sin α>0时,α在第一、二象限及y轴正半轴,当 cos α<0时,α在第二、三象限及x轴负半轴,故 sin α>0,cos α<0时,α在第二象限. 答案:二

【要点探究】 知 识 点 正、余弦函数的定义

1.对任意角的三角函数的定义的两点说明 (1)任意角的三角函数y=sin x,y=cos x都是以角为自变量, 以单位圆上的点的坐标为函数值的函数.可从以下两个方面理 解:

①角(弧度数)

一一对应

实数.

②对于每一个确定的角x,其终边位置是唯一确定的,与单位 圆的交点P(u,v)也是唯一确定的,因此角x的正弦(或余弦)函 数值是唯一确定的.

(2)任意角的三角函数的概念与锐角三角函数的概念的实质是 一样的.锐角三角函数是任意角三角函数的特例,任意角的三 角函数是锐角三角函数的推广.

2.对正弦、余弦函数在各象限的符号的两点说明 (1)根据正弦、余弦函数的定义可知,正弦、余弦函数在各象 限的符号是由该角终边上任意一点的坐标的符号确定的.横坐 标的正负确定余弦函数的符号,纵坐标的正负确定正弦函数的 符号. (2)判断符号,可直接应用角所在的象限进行判断.

【微思考】
h s , 的大小与点P在角的终边上的位置有关吗? r r

提示:无关,只与角的大小有关.

【即时练】

当角α =0时,sin α =______;若角α =-3,则sin α 的符号为
______(填“正”或“负”).

【解析】当角α=0时,sin α=0;若角α=-3,则角α是第三
象限角,所以sin α<0.

答案:0



【题型示范】
类型一 任意角的正弦函数、余弦函数

【典例1】 (1)(2014·石家庄高一检测)已知角α 与单位圆的一个交点坐 标是 (a,- 1 ), 则cos α 等于(
2

)
D.不确定

A.

(2)已知角α 的终边经过点P(-2,-4),求角α 的正、余弦函 数值.

3 2

B.-

1 2

C.-

3 2

【解题探究】1.题(1)中 a 2 ? (-1 )2 的值是多少?
2

2.题(2)中角α是第几象限角? 【探究提示】1. a 2 ? (- 1 )2 ? 1.
2

2.因为点P(-2,-4)在第三象限,所以角α的终边落在第三象 限,即角α是第三象限角.

【自主解答】(1)选D.因为 故cos α= ? 3 .
2

3 1 2 所以 a ? ? . a ? (? ) ? 1 , 2 2
2

(2)因为点P(-2,-4)在角α的终边上,故u1=-2, v1=-4,可知r=OP=
r 2 5

?-2 ? ? ?-4 ?
2

2

? 2 5.

所以sin α= v1 ? -4 ? - 2 5 ;
5

cos α= u1 ? -2 ? - 5 .
r 2 5 5

【延伸探究】题(1)中的条件不变,求sin α 的值. 【解析】因为角α与单位圆的一个交点坐标是 (a,- 1 ), 所以sin α= ? 1 .
2
2

【方法技巧】利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时,常用的解

题方法有以下两种:
方法一:先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用

三角函数的定义求出相应的三角函数值.
方法二:注意到角的终边为射线,所以应分两种情况来处理,

取射线上任一点坐标(a,b),则对应角的正弦值 sin ? ?
余弦值 cos ? ?
a a ?b
2 2

b a ?b
2 2



.

(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问 题的实际情况对参数进行分类讨论.

【变式训练】已知角α 的终边经过点P(2,-3),则cos α 的值
是(
A. 3 2

)
B. ? 3 2 C. 2 13 13 D.- 2 13 13

【解析】选C.角α的终边经过点P(2,-3),故 OP ? 13; 由三

角函数的定义知 cos ? ? 2 13 , 故选C.
13

【补偿训练】(2013·西安高一检测)已知角α 为第二象限的角. P(a,4)为α 终边上一点,且sin α = 4 , 则sin α +cos α 的值
5

为_________. 【解题指南】先求出a的值,然后求cos α即可.

【解析】|OP|=r= 由sin α= 4 得
5

a 2 ? 42, 4 4 ? , a 2 ? 42 5

所以a=〒3. 又α为第二象限的角, 所以a=-3,
3 ?? , 5 a 2 ? 42 4 3 1 所以sin α+cos α= ? ? . 5 5 5 1 答案: 5

所以cos α=

?3

类型二

三角函数值的符号的应用

【典例2】

(1)(2014·西安高一检测)已知角α 是第二象限角,则点
P(sin α ,cos α )在第______象限. (2)确定下列各式的符号. ①cos 200°. ②sin 160°+cos(-40°). ③sin 210°·cos 260°.

【解题探究】1.题(1)中角α的正、余弦值的符号如何?
2.题(2)中角-40°,160°,200°,210°,260°的终边分别落

在第几象限?
【探究提示】1.第二象限角的正弦为正,余弦为负.

2.角-40°的终边在第四象限,角160°的终边在第二象限,
角200°,210°,260°的终边都在第三象限.

【自主解答】(1)因为角α是第二象限角,所以sin α>0, cos α<0,所以点P的坐标符号是(+,-),所以点P在第四象 限. 答案:四

(2)①200°为第三象限的角, 所以cos 200°<0.

②160°为第二象限的角,
所以sin 160°>0.-40°为第四象限的角,

所以cos(-40°)>0,
所以sin 160°+cos(-40°)>0.

③210°为第三象限的角,sin 210°<0, 260°为第三象限的角, 所以cos 260°<0, 所以sin 210°·cos 260°>0.

【方法技巧】正弦、余弦函数值的正负规律

【变式训练】确定下列各式的符号. (1)sin 2 014°.(2) cos 11 ?. (3)sin 4·cos 4.
6

【解题指南】先确定各角所在的象限,然后判断符号.

【解析】(1)2 014°=360°〓5+214°,
所以2 014°为第三象限的角,

所以sin 2 014°<0.
(2) 11 ? 为第四象限的角,
6

所以cos 11 ? >0.
6 3? (3)4∈ (?, ), 2

所以4 rad为第三象限的角. 所以cos 4<0,sin 4<0. 所以sin 4·cos 4>0.

【补偿训练】sin(-140°)cos 740°的值(
A.大于0 B.等于0 C.小于0

)
D.不确定

【解析】选C.-140°是第三象限角,所以sin(-140°)<0,
740°=2〓360°+20°,所以740°是第一象限角,所以

cos 740°>0,所以sin(-140°)cos 740°<0.

【易错误区】处理三角函数问题时忽视参数的符号致误 【典例】(2014·泰安高一检测)已知角α 的终边经过点 P(-3m,m)(m≠0),则sin α =_________.

【解析】由题意得: |OP|=

?-3m ? ? m 2 ? 10 m ,
2

当m>0时,|OP|= 10 m ? 10m, 则sin α=
m 10 ? . 10m 10
10 m ? - 10m,

当m<0时,|OP|= 则sin α=

m 10 ?- . 10 - 10m

答案: 10 或 - 10
10 10

【常见误区】 错解
10 10

错 因 剖 析 忽略了对阴影处参数m的取值符号的讨论, 而得到错误结果 忽略了对阴影处参数m的取值符号的讨论, 同时记错正弦定义式,而得到错误结果.

3 10 ? 10

【防范措施】 1.准确理解定义 要从定义的内涵和外延准确把握定义,同时对三角函数的定义 的形式要准确记忆,如 sin ? ? y 和 cos ? ? x 不能混淆.
r r

2.分类讨论的意识
在化简过程中,对字母参数要注意分类讨论,做到不重不漏,

如本例中对字母参数m的讨论.

【类题试解】已知角α 的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),则 cos α =________. 【解析】由题意可得:|OP|=

? ?3a ?
5a

2

? ? 4a ? ? 5 a .
2

当a>0时,|OP|=5a,则 cos ? ? ?3a ? ? 3 .
5

当a<0时,|OP|=-5a,则 cos ? ? ?3a ? 3 . 答案:? 3 或
5 3 5 ?5a 5


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