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高中高一数学必修1各章知识点总结第一章 集合与函数概念一


高中高一数学必修 1 各章知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定 的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性:1.元素的确定 性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性. 3、集合的表示:(1){ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋, 印度洋,北冰洋} (2). 用拉丁字母表示集合:A={我校的

篮球队员},B={1,2,3,4,5} 4.集合的表示方法:列举 法与描述法。常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有 理数集 Q 实数集 R 5.关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合 A 的元素, 就说 a 属于集合 A 记作 a∈A ,相反,a 不属于集合 A 记作 a?A 列举法:把集合中的元素一一列举出来, 然后用一个大括号括上。描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 6、集合的分类: (1).有限集 含有有限个元素的 集合 (2).无限集 含有无限个元素的集合 (3).空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}=Φ 二、集

合间的基本关系 1.“包含”关系—子集注意: 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,(2)A 与 B 是同一集合。 ; 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A 2. “相等”关系:对于两个集合 A 与 B, 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就 说集合 A 等于集合 B,即:A=B ① 任何一个集合是它本身的子集。即 A?A ②如果 A?B,且 A? B 那就说集 合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A B(或 B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 三、 集合的运算 1. 交集的定义: 一般地, 由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集. 记 作 A∩B(读作"A 交 B"),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集。记作:A∪B(读作"A 并 B"),即 A∪B={x|x∈A, 或 x∈B}. 3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4、 全集与补集(1)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 ) ,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的 集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集)记作: CSA 即 CSA ={x ? x?S 且 x?A} (2)全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。 (3)性质: ⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的 数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做 自变量, 的取值范围 A 叫做函数的定义域; x 的值相对应的 y 值叫做函数值, x 与 函数值的集合{f(x)| x∈A } 叫做函数的值域.能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的 主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么, 它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数 的定义域还要保证实际问题有意义. 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域再注意: (1)由于值域 是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等 (或为同一函数) (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数 值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) 3.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 4.映射 一 般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记 作“f:A B” 给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集 合 A、B 及对应法则 f 是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的;③对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (Ⅰ)集合 A 中的每一个元素,在集

合 B 中都有象,并且象是唯一的; (Ⅱ)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (Ⅲ) 不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 5.常用的函数表示法:解析法: 图象法: 列表法: 6. 分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (1)分段函数是一个函数,不要把它误认为 是几个函数; 分段函数的定义域是各段定义域的并集, (2) 值域是各段值域的并集. 7. 函数单调性 (1) 设 . 函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<X2 时, 都有 F(X1)0 时, , 2、配方: 3、△>0 时, ( )的两个根为 ( ),则 , , , 4、△=0 时, ( )的 两个等根为 ,则 , 无解 , 5、△<0 时, ( )无解,则 , 无解 6.根与系数的关系若 ( )的两个 根为 则

高中数学必修 1 知识点 第 章集 与 数 念 一 合 函 概 一 集 有 概 、 合 关 念 1、 合 含 :些 定 对 集 一 就 为 个 合 其 每 个 象 元 。集 的 义 某 指 的 象 在 起 成 一 集 , 中 一 对 叫 素 2、 合 中 素 三 特 : 集 的 元 的 个 性 1.元 的 定 ; 素 确 性 2.元 的 异 ; 素 互 性 3.元 的 序 素 无 性 说 : 于 个 定 集 , 合 的 素 确 的 任 一 对 或 是 者 是 个 定 集 的 素 明 (1)对 一 给 的 合 集 中 元 是 定 , 何 个 象 者 或 不 这 给 的 合 元 。 (2)任 一 给 的 合 , 何 个 素 是 同 对 , 同 对 归 一 集 时 仅 一 元 。 何 个 定 集 中 任 两 元 都 不 的 象 相 的 象 入 个 合 , 算 个 素 (3)集 中 元 是 等 , 有 后 序 因 判 两 集 是 一 , 需 较 们 元 是 一 ,需 查 合 的 素 平 的 没 先 顺 ,此 定 个 合 否 样 仅 比 它 的 素 否 样 不 考 排 列 序 否 样 顺 是 一 。 (4)集 元 的 个 性 集 本 具 了 定 和 体 。 合 素 三 特 使 合 身 有 确 性 整 性 3、 合 表 : … } 如 校 篮 队 }, 平 ,大 洋 度 ,北 洋 集 的 示 { {我 的 球 员 {太 洋 西 ,印 洋 冰 } 1. 拉 字 表 集 : 用 丁 母 示 合 A={我 的 球 员 校 篮 队 },B={1,2,3,4,5} 2. 合 表 方 : 举 与 述 。 集 的 示 法 列 法 描 法 注 :用 集 其 法 意 常 数 及 记 :非 整 集 即 然 集 N 正 数 负 数( 自 数 ) 整 集 N*或 N+ 整 集 Z 有 数 数 理 集 Q 实 集 R 数 关 “属 ”的 念 集 的 素 常 小 的 丁 母 示 : 集 于 于 概 : 合 元 通 用 写 拉 字 表 ,如 a 是 合 A 的 素 就 元 , 说 a 属 集 于 合 A 记 a∈A , 反 作 相 , a 不 于 合 A 记 aA 属 集 作 列 法 把 合 的 素 一 举 来 然 用 个 括 括 。举 :集 中 元 一 列 出 ,后 一 大 号 上 描 法 将 合 的 素 公 属 描 出 , 在 括 内 示 合 方 。 确 的 件 示 些 象 否 于 个 述 : 集 中 元 的 共 性 述 来 写 大 号 表 集 的 法 用 定 条 表 某 对 是 属 这 集 的 法① 言 述 : 是 角 角 的 角 } ② 学 子 述 : : :等 合 方 : 语 描 法 例 {不 直 三 形 三 形 数 式 描 法 例 不 式 x-3>2 的 集 {xR| 解 是 x-3>2}或 x-3>2} {x| 4、合 分 : 集 的 类 1. 限 含 有 个 素 集 有 集 有 限 元 的 合 2. 限 含 无 个 素 集 无 集 有 限 元 的 合 3. 集 空 不 任 元 的 合 含 何 素 集 例 {x|x2=- : 5} 二 集 间 基 关 、 合 的 本 系 1.“包 ”关 — 集 含 系 子 注 :A B 有 种 能 1) 意 两 可 ( A 是 B 的 部 , 2) 一 分 ; A 与 B 是 一 合 ( 同 集 。 B 或 B A 反 :集 之 合 A 不 含 集 包 于 合 B,或 合 B 不 含 合 A,记 集 包 集 作 A 2.等 系 “相 ”关 (5≥5,且 5≤5, 则 5=5) 实 : A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元 相 ” 例 设 素 同 结 : 于 个 合 A 与 B, 果 合 A 的 何 个 素 是 合 B 的 素 同 ,集 论 对 两 集 如 集 任 一 元 都 集 元 , 时 合 B 的 何 个 素 是 合 A 的 任 一 元 都 集 元 素 我 就 集 , 们 说 合 A 等 集 于 合 B, : 即 A=B ① 任 一 集 是 本 的 集 AA 何 个 合 它 身 子 。 ② 子 :如 真 集 果 AB,且 A B 那 说 合 A 是 合 B 的 子 ,作 A 就 集 集 真 集 记 ③ 果 AB, BC ,那 AC 如 么 Page 1 of 8 B(或 B A) ④如 果 AB 同 BA 那 时 么 A=B 3. 不 任 元 的 合 做 集 记 Φ 含 何 素 集 叫 空 ,

为 规 : 空 是 何 合 子 ,空 是 何 空 合 真 集 定 集 任 集 的 集 集 任 非 集 的 子 。 三 集 的 算 、 合 运 1、 集 定 : 般 , 所 属 交 的 义 一 地 由 有 于 A 且 于 B 的 素 组 的 合 做 A,B 的 集 记 属 元 所 成 集 ,叫 交 . 作 A∩B(读 " 交 B" 即 A∩ 作 A ), B= {x|x∈A, 且 x∈B}. 2、 集 定 : 般 , 所 属 集 并 的 义 一 地 由 有 于 合 A 或 于 合 B 的 素 组 的 合 叫 属 集 元 所 成 集 , 做 A,B 的 集 记 : 并 。 作 A∪B(读 " 作 A 并 B" ), 即 A∪B={x|x∈A, 或 x∈B}. 3、 集 并 的 质 A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A, 交 与 集 性 : A∪A = A,A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4、 集 补 全 与 集 ( 补 : 1) 集 设 S 是 个 合 A 是 S 的 个 集 即 A S ) 由 S 中 有 属 一 集 , 一 子 ( , 所 不 于A的 素 成 元 组 的 集 , 做S中 集A的 集 或 集 记 : CSA 合 叫 子 补( 余 )作 通 用 U 来 示 常 表 。 性 :CU(CUA)=A ⑵ UA)∩A=Φ ( ⑶ UA)∪A=U 3) 质 ⑴ (C (C 四 函 的 关 念 、 数 有 概 1. 数 概 : 函 的 念 设 A、 非 的 集 如 按 某 确 的 应 系 f, 对 集 B 是 空 数 , 果 照 个 定 对 关 使 于 合 A 中 任 一 数 x, 集 的 意 个 在 合 B 中 有 都 唯 一 定 数 f(x)和 对 , 么 称 f: 确 的 它 应 那 就 A→B 为 集 从 合 A 到 合 B 的 个 数 记 : y=f(x),集 一 函 . 作 x∈A. 中 x 其 , 叫 自 量 x 的 值 围 A 叫 函 的 义 ; 做 变 , 取 范 做 数 定 域 与 x 的 相 应 值 对 的 y 值 做 数 , 数 的 合 x∈A } 叫 函 值 函 值 集 {f(x)| 叫 函 的 域 做 数 值 .注 :果 给 解 式 y=f(x),没 指 它 定 域 则 数 定 域 是 能 这 式 有 义 实 的 合 函 意 如 只 出 析 而 有 明 的 义 ,函 的 义 即 指 使 个 子 意 的 数 集 ;数 的 义 、域 写 集 或 间 形 .定 域 值 要 成 合 区 的 式 定 域 充 使 数 有 义 实 义 补 :能 函 式 意 的 数 x 的 合 为 数 定 域 求 数 定 域 列 等 组 主 依 是 集 称 函 的 义 , 函 的 义 时 不 式 的 要 据 : (1)分 的 母 等 零 式 分 不 于 ; (2)偶 方 的 开 数 小 零 次 根 被 方 不 于 ; (3)对 式 真 必 大 零 数 的 数 须 于 ;(4)指 、数 的 必 大 零 不 于 1. 数 对 式 底 须 于 且 等 (5)如 函 是 一 基 函 通 四 运 结 而 的 么 它 定 域 使 部 都 意 的 x 的 组 的 合 果 数 由 些 本 数 过 则 算 合 成 .那 , 的 义 是 各 分 有 义 值 成 集 . (6)指 为 底 可 等 零 数 零 不 以 于 (7)实 问 中 函 的 义 还 保 实 问 有 义 注 : 出 等 组 解 即 函 的 义 。 际 题 的 数 定 域 要 证 际 题 意 .(又 意 求 不 式 的 集 为 数 定 域 ) 构 函 的 要 : 义 、 应 系 值 成 数 三 素 定 域 对 关 和 域 再 意 注 :( 构 函 三 要 是 义 、 应 系 值 . 于 域 由 义 和 应 系 定 , 以 如 两 函 的 义 1) 成 数 个 素 定 域 对 关 和 域 由 值 是 定 域 对 关 决 的 所 ,果 个 数 定 域 和 应 系 全 致 即 这 个 数 等 或 同 函 )对 关 完 一 ,称 两 函 相( 为 一 数( 两 函 相 当 仅 它 的 义 和 应 系 全 致 而 表 自 量 函 值 字 无 。同 数 判 方 : 2) 个 数 等 且 当 们 定 域 对 关 完 一 ,与 示 变 和 数 的 母 关 相 函 的 断 法 ① 达 相 ;定 域 致 (两 必 同 具 ) 表 式 同 ② 义 一 点 须 时 备 Page 2 of 8 即 CSA ={x xS 且 xA} ( 全 : 果 合 S 含 我 所 研 的 个 合 全 元 , 个 合 可 看 一 全 。 2) 集 如 集 有 们 要 究 各 集 的 部 素 这 集 就 以 作 个 集 S CsA A 值 补 ( 、 数 值 取 于 义 和 应 则 不 采 什 方 求 数 值 都 先 虑 定 域 域 充 1) : 函 的 域 决 定 域 对 法 , 论 取 么 法 函 的 域 应 考 其 义 . ( 应 悉 握 次 数 二 函 、 数 对 函 及 三 函 的 域 它 求 复 函 值 的 础 2) 熟 掌 一 函 、 次 数 指 、 数 数 各 角 数 值 , 是 解 杂 数 域 基 。 2. 函 图 知 归 数 象 识 纳 (1)定 : 平 直 坐 系 , 函 y=f(x) , (x∈A)中 义在 面 角 标 中以 数 的 x 为 坐 , 数 横 标 函 值 y 为 坐 的 纵 标 点 P(x, 集 y)的 合 C, 做 数 y=f(x),(x 叫 函 ∈A)的 象 C 上 一 的 标 y)均 足 数 系 y=f(x), 过 , 满 图 . 每 点 坐 (x, 满 函 关 反 来 以 足 y=f(x)

的 一 有 实 对 x、坐 每 组 序 数 y 为 标 的 (x,均 点 y),在 C 上 . 即 为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }。 象 C 一 的 一 光 的 续 线 直 ),也 能 由 记 图 般 是 条 滑 连 曲 (或 线 可 是 与 意 行 任 平 与 Y 轴 直 最 只 一 交 的 干 曲 或 散 组 。 的 线 多 有 个 点 若 条 线 离 点 成 (2)画 法 A、 点 : 据 数 析 和 义 , 出 x,y 的 些 应 并 表 以 描 法 根 函 解 式 定 域 求 一 对 值 列 , (x,y)为 标 坐 系 描 相 的 坐 在 标 内 出 应 点 P(x, y), 最 后 平 的 线 这 点 接 来 用 滑 曲 将 些 连 起 . B、 象 换( 参 必 图 变 法 请 考 修4三 函 )用 换 法 三 ,平 变 、缩 换 对 变 角 数 常 变 方 有 种 即 移 换 伸 变 和 称 换 (3)作 : 用 1、 观 看 函 的 质 直 的 出 数 性 ; 2、 用 形 合 方 分 解 的 路 提 解 的 度 发 解 中 错 。 利 数 结 的 法 析 题 思 。 高 题 速 。 现 题 的 误 3. 了 区 的 念 解 间 概 ( 区 的 类 开 间 闭 间 半 半 区 ; 2) 穷 间 ( 区 的 轴 示 1) 间 分 : 区 、 区 、 开 闭 间 ( 无 区 ; 3) 间 数 表 . 4. 么 做 射 什 叫 映 一 地 设 A、 两 非 的 合 如 按 一 确 的 应 则 f, 对 集 般 , B 是 个 空 集 , 果 某 个 定 对 法 使 于 合 A 中 任 一 元 的 意 个 素 x, 集 在 合 B 中 有 都 唯 确 的 素 y 与 对 , 么 称 应 f: B 为 集 一 定 元 之 应 那 就 对 A 从 合 A 到 合 B 的 个 射 记 “f: B” 集 一 映 。 作 A 给 一 集 定 个 合 A 到 B 的 射 如 映 , 果 a∈A,b∈B.且 素 a 和 素 b 对 , 么 我 把 素 b 叫 元 元 元 应 那 ,们 元 做 素a的 ,素a叫 元 的 象 元 做 素b 原 象 说 :数 一 特 的 射 映 是 种 殊 对 , 集 明 函 是 种 殊 映 , 射 一 特 的 应 ① 合 A、 对 法 B 及 应 则 f 是 定 ; 对 法 有 向 ” 即 调 确 的 ② 应 则 “方 性 强 , 从 合 A 到 合 B 的 应 它 从 B 到 A 的 应 系 般 不 的 ③ 于 射 f: 集 集 对 , 与 对 关 一 是 同 ; 对 映 A→B 来 , 应 足 ( 集 说 则 满 : Ⅰ) 合 A 中 每 个 素 在 合 B 中 有 , 且 是 一 ; Ⅱ) 合 A 中 同 元 , 集 的 一 元 , 集 都 象 并 象 唯 的( 集 不 的 素 在 合 B 中 应 象 以 同 对 的 可 是 一 ; Ⅲ) 要 集 个 ( 不 求 合 B 中 每 个 素 集 的 一 元 在 合 A 中 有 象 都 原 。常 的 数 示 及 自 优 :用 函 表 法 各 的 点 1 数 象 可 是 续 曲 , 可 是 线 折 、 散 点 等 注 判 一 图 是 是 数 象 依 ; ○ 函 图 既 以 连 的 线 也 以 直 、 线 离 的 等 , 意 断 个 形 否 函 图 的 据 2 析 : 须 明 数 定 域 ○解 法 必 注 函 的 义 ; 3 象 : 点 作 要 意 确 函 的 义 ; 简 数 解 式 观 函 的 征 ○图 法 描 法 图 注 : 定 数 定 域 化 函 的 析 ; 察 数 特 ; 4 表 : 取 自 量 有 表 , 能 映 义 的 征 ○列 法 选 的 变 要 代 性 应 反 定 域 特 . 注 : 析 :于 出 数 。 表 : 于 出 数 。象 : 于 出 数 意 解 法 便 算 函 值 列 法 便 查 函 值 图 法 便 量 函 值 补 一 分 函 :定 域 不 部 上 不 的 析 达 的 数 在 同 范 里 函 值 必 把 变 代 相 充 :段 数 在 义 的 同 分 有 同 解 表 式 函 。不 的 围 求 数 时 须 自 量 入 应 的 达 。段 数 解 式 能 成 个 同 方 ,就 函 值 种 同 表 式 用 个 大 表 式 分 函 的 析 不 写 几 不 的 程 而 写 数 几 不 的 达 并 一 左 括 括 来 并 别 明 部 的 变 的 值 况( 分 函 是 个 数 不 把 误 为 号 起 ,分 注 各 分 自 量 取 情 . 1) 段 数 一 函 , 要 它 认 是 几 函 ; 2) 段 数 定 域 各 定 域 并 , 域 各 值 的 集 个 数 ( 分 函 的 义 是 段 义 的 集 值 是 段 域 并 . 补 二 复 函 : 果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x), 充 : 数如 (x 合 ∈A) 称 g 的 合 数 例 : y=2sinX y=2cos(X2+1) 为 f、 复 函 。 如 5. 数 调 函 单 性 ( 增 数 1) 函 Page 3 of 8 设 数 y=f(x)的 义 为 I,果 于 义 函 定 域 如 对 定 域 I 内 某 区 的 个 间 D 内 任 两 自 量 x1, 2, 1<x2 时 都 的 意 个 变 x 当 x , 有 f(x1)<f(x2), 那 就 么 说 f(x)在 间 D 上 增 数 区 区 是 函 。间 D 称 为 y=f(x)的 调 区( 清 课 单 区 的 念 单 增 间 睇 楚 本 调 间 概 ) 如 对 区 果 于 间 D 上 任 两 自 量 值 x1, 2, 1<x2 时 都 的 意

个 变 的 x 当 x , 有 f(x1)> f(x2), 么 说 f(x)在 个 间 是 函 .区 那 就 这 区 上 减 数 间 D 称 为 y=f(x)的 调 区 . 单 减 间 1 注 :函 的 调 是 定 域 的 个 间 的 质 是 数 局 性 ;意 ○ 数 单 性 在 义 内 某 区 上 性 ,函 的 部 质 2 须 对 区 ○ 必 是 于 间 D 内 任 两 自 量 x1,2;1<x2 时 总 的 意 个 变 x 当 x ,有 f(x1)<f(x2) 。 图 ( 的 点 2) 象 特 如 函 果 数 y=f(x)在 个 间 增 数 减 数 那 说 数 y=f(x)在 一 间 具 (严 的 调 , 单 区 上 函 某 区 是 函 或 函 , 么 函 这 区 上 有 格 )单 性 在 调 间 增 数 图 从 到 是 升 ,函 的 象 左 右 下 的 的 象 左 右 上 的 减 数 图 从 到 是 降 . ( 函 单 区 与 调 的 定 法 3) 数 调 间 单 性 判 方 (A) 定 法 义 : 1 取 x x ○ 任 1, 2∈D, 1<x2; 且 x 2 差 f(x1)- 2); ○ 作 f(x 3 形 通 是 式 解 配 ) ○变 ( 常 因 分 和 方; 4 号 即 断 ○ 定 ( 判 差 f(x1) - 2)的 负 ; f(x 正 ) 5 结 ( 出 数 f(x)在 定 区 ○下 论 指 函 给 的 间 D 上 单 性 . 的 调 ) (B)图 法 图 上 升 )_ 象 (从 象 看 降 (C)复 函 的 调 合 数 单 性 复 函 合 数 f[g(x)]的 调 与 成 的 数 u=g(x), 单 性 构 它 函 y=f(u)的 调 密 相 , 规 如 : 单 性 切 关 其 律 下 函 数 u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)] 增 增 增 增 减 减 单 性 调 减 增 减 减 减 增 注 : 函 的 调 间 能 其 义 的 区 ,不 把 调 相 的 间 在 起 成 并 . 意 1、 数 单 区 只 是 定 域 子 间 能 单 性 同 区 和 一 写 其 集 2、 记 我 在 修 学 简 易 的 数 判 单 性 ? 还 得 们 选 里 习 单 行 导 法 定 调 吗 6. 数 奇 性 函 的 偶 ( 偶 数 1) 函 一 地 对 函 般 , 于 数 f(x)的 义 内 任 一 定 域 的 意 个 x, 有 f(- 都 x)=f(x), 么 f(x)就 做 函 . 那 叫 偶 数 ( 奇 数 2) 函 一 地 对 函 般 , 于 数 f(x) 的 义 内 任 一 定 域 的 意 个 x, 有 f(- 都 x)=— f(x), 么 f(x)就 做 函 . 那 叫 奇 数 1 注 : 函 是 函 或 偶 数 为 数 奇 性 函 的 偶 是 数 整 性 ; 数 能 有 偶 , 也 能 意 ○ 数 奇 数 是 函 称 函 的 偶 , 数 奇 性 函 的 体 质 函 可 没 奇 性 可 既 是 函 又 偶 数 奇 数 是 函 。 2 函 的 偶 定 可 , 数 有 偶 的 个 要 件 , 于 义 内 任 一 ○ 由 数 奇 性 义 知 函 具 奇 性 一 必 条 是 对 定 域 的 意 个 x, - 一 是 则 x 也 定 定 义 内 一 自 量 即 义 关 原 对 ) 域 的 个 变 ( 定 域 于 点 称. ( 具 奇 性 函 的 象 特 3) 有 偶 的 数 图 的 征 偶 数 图 关 函 的 象 于 y 轴 称 奇 数 图 关 原 对 .对 ;函 的 象 于 点 称 总 :用 义 断 数 偶 的 式 骤 结 利 定 判 函 奇 性 格 步 : 1 先 定 数 定 域 并 断 定 域 否 于 点 称 ○首 确 函 的 义 , 判 其 义 是 关 原 对 ; Page 4 of 8 2 定 f(- ○确 x)与 f(x)的 系 关 ;3 出 应 论 若 f(- =f(x) 或 f(- f(x)=0,○作 相 结 : x) x)- 则 f(x)是 函 ; 偶 数 若 f(- =- 或 f(- f(x)=0, x) f(x) x)+ 则 f(x)是 函 . 奇 数 注 :数 义 关 原 对 是 数 有 偶 的 要 件 首 看 数 定 域 否 于 点 称 若 对 则 意 函 定 域 于 点 称 函 具 奇 性 必 条 .先 函 的 义 是 关 原 对 ,不 称 函 数 非 非 函 .若 称 (1)再 据 义 定 (2)有 判 f(-x)=± f(x)比 困 , 考 根 是 有 f(-x)± f(x)=0 是 奇 偶 数 对 , 根 定 判 ; 时 定 较 难 可 虑 据 否 或 f(x)/f(-x)=± 来 定 (3)利 1 定 , 借 函 的 象 定 . 判 ; 用 理 或 助 数 图 判 7、 数 解 表 式 函 的 析 达 ( . 函 的 析 是 数 一 表 方 , 求 个 量 间 函 关 时 一 要 出 们 间 对 法 , 是 求 1) 数 解 式 函 的 种 示 法 要 两 变 之 的 数 系 ,是 求 它 之 的 应 则 二 要 出 函 的 义 . 数 定 域 ( .求 数 解 式 主 方 有 待 系 法 换 法 消 法 , 果 知 数 析 的 造 , 用 定 数 ; 2) 函 的 析 的 要 法 : 定 数 、 元 、 参 等 如 已 函 解 式 构 时 可 待 系 法 已 知 合 数 f[g(x)]的 达 时 可 换 法 这 要 意 的 值 围 当 知 达 较 单 ,可 凑 法 若 知 复 函 表 式 ,用 元 ,时 注 元 取 范 ;已 表 式 简 时 也 用 配 ;已 抽 函 表 式 则 用 方 组 参 方 求 象 数 达 ,常 解 程 消 的 法 出

f(x) 8. 数 大 小 值 函 最 ( ) 1 用 次 数 性 ( 方 ) 函 的 大 小 值 ○利 二 函 的 质 配 法 求 数 最 ( ) 2 用 象 函 的 大 小 值 ○利 图 求 数 最 ( ) 3 用 数 调 的 断 数 最 ( ) : 果 数 y=f(x)在 间 b]上 调 增 在 间 c]上 调 减 函 ○利 函 单 性 判 函 的 大 小 值 如 函 区 [a, 单 递 , 区 [b, 单 递 则 数 y=f(x) 在 x=b 处 最 值 f(b); 果 数 y=f(x)在 间 b]上 调 减 在 间 c]上 调 增 函 有 大 如 函 区 [a, 单 递 , 区 [b,单 递 则 数 y=f(x)在 x=b 处 最 值 有 小 f(b) 第 章基 初 函 二 本 等 数 一 指 函 、 数 数 一 指 与 数 的 算 ) 数 指 幂 运 1. 式 概 : 般 , 果 x n a , 么 x 叫 a 的 n 次 根 n th root) 其 n >1, n ∈ N *. 根 的 念 一 地 如 那 做 方 ( , 中 且 当 n 是 数 ,数 n 次 根 一 正 ,数 n 次 根 一 负 .时 a 的 n 次 根 符 n a 奇 时 正 的 方 是 个 数负 的 方 是 个 数此 , 方 用 号 表 . 子 n a 叫 根 ( 示 式 做 式 radical) 这 n 叫 根 数 radical exponent) a 叫 被 方 ( , 里 做 指 ( , 做 开 数 radicand) . 当 n 是 数 , 数 n 次 根 两 , 两 数 为 反 . 时 正 a 的 的 n 次 根 符 n a 偶 时 正 的 方 有 个 这 个 互 相 数 此 , 数 正 方 用 号 n 次方根用符号- n a 表示. 的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并成± n a (a >0)由 此 表 ,的 示负 正 . 可 : 数 有 次 根 0 的 何 方 都 得 负 没 偶 方 ; 任 次 根 是 0, 作 n 0 0 。 记 注 : n 是 数 ,n a n a , n 是 数 , 意 当 奇 时 当 偶 时 2. 数 数 分 指 幂 m 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这 个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时, 仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的 元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列举法与描述法。 注意啊:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示, 如: 是集合 A 的元素, a 就说 a 属于集合 A 记作 a ∈A ,相反,a 不属于集合 A 记作 a&#61647;A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。

描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条 件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式 x-3>2 的解集是{x&#61646;R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类: 1.有限集 含有有限个元素的集合 2.无限集 含有无限个元素的集合 3.空集 不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,(2)A 与 B 是同一集合。 ; 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A 2.“相等”关系(5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,即:A=B ① 任何一个集合是它本身的子集。A&#61645;A ②真子集:如果 A&#61645;B,且 A&#61625; B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A B(或 B A) ③如果 A&#61645;B, B&#61645;C ,那么 A&#61645;C ④ 如果 A&#61645;B 同时 B&#61645;A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集. 记作 A∩B(读作"A 交 B"),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集。记作:A∪B(读作"A 并 B"),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. 3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集 (1)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 ) ,由 S 中所有不属于 A 的元素组成 的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) 记作: CSA 即 CSA ={x &#61564; x&#61646;S 且 x&#61647;A} (2)全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一 个全集。通常用 U 来表示。 (3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U 例:{x|x2=-5}

二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中 的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做 函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数 的值域. 注意:○2 如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使 这个式子有意义的实数的集合;○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域, 求函数的定义域时列不等式组的主要 依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数 必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数 通过四则运算结合而成的.那么, 它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6) 指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 再注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应 关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或 为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自 变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须 同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其 定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是 求解复杂函数值域的基础。 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵 坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实 数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只 有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2) 画法 A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐 标系内描出相应的点 P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法(请参考必修 4 三角函数)

常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用: 1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。 发现解题中的错误。 4.快去了解区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表 示. 5.什么叫做映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的 任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A B 为从 集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:A B” 给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合 A、B 及对应法则 f 是确定 的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系 一般是不同的;③对于映射 f:A→B 来说,则应满足:(Ⅰ)集合 A 中的每一个元素,在集 合 B 中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是 同一个;(Ⅲ)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 常用的函数表示法及各自的优点: ○1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图 形是否是函数图象的依据;○2 解析法:必须注明函数的定义域;○3 图象法:描点法作图 要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;○4 列表法:选取的自 变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值 补充一:分段函数 (参见课本 P24-25) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范围里求函数值时必须把自变 量代入相应的表达式。 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程, 而就写函数值几种不同 的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函 数是一个函数,不要把它误认为是几个函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集, 值域是各段值域的并集. 补充二:复合函数 如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 例如: y=2sinX y=2cos(X2+1) 7.函数单调性 (1).增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2, x1<x2 时, 当 都有 f(x1)<f(x2), 那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。 区间 D 称为 y=f(x)

的单调增区间 (睇清楚课本单调区间的概念) 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么 就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) 。 (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格 的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降 的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: ○1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;○2 作差 f(x1)-f(x2);○3 变形(通常是因式分解和配 方);○4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负);○5 下结论(指出函数 f(x)在给定的 区间 D 上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降)_ (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u)的单调性密切相关, 其规律如下: 函数 单调性 u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u) 增 减 增 减 y=f[g(x)] 增 减 减 增 注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写 成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗? 8.函数的奇偶性 (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函 数. 注意:○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 ○2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一 个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) . (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域

是否关于原点对称; 确定 f(-x)与 f(x)的关系; 作出相应结论: f(-x) = f(x) 或 f(- ○2 ○3 若 x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意啊: 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. 首先看函数的定义域是否 关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定 f(-x)=眆(x)比较困难,可考虑根据是否有 f(-x)眆(x)=0 或 f(x)/f(-x)=?来判定; (3)利用定理,或 借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出 它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析 式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数 f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意 元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解 方程组消参的方法求出 f(x) 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) ○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值○2 利用图象求函数的最大(小) 值○3 利用函数单调性的判断函数的最大 (小) 值: 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递增, 在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间[a,b] 上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根(n th root),其中 >1,且 ∈ *. 当 是奇数时,正数的 次方根是一个正数,负数的 次方根是一个负数.此时, 的 次方根 用符号 表示.式子 叫做根式(radical),这里 叫做根指数(radical exponent), 叫 做被开方数(radicand). 当 是偶数时,正数的 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数 的正的 次方根用 符号 表示, 负的 次方根用符号- 表示. 正的 次方根与负的 次方根可以合并成? >0) 由 ( . 此可得:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 。 注意:当 是奇数时, ,当 是偶数时, 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: , 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整 数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.实数指数幂的运算性质

(1) &#8226; ; (2) ; (3) . (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 叫做指数函数(exponential function),其中 x 是自 变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象特征 函数性质 向 x、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R 图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在 x 轴上方 函数的值域为 R+ 函数图象都过定点(0,1) 自左向右看, 图象逐渐上升 自左向右看, 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 在第一象限内的图象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图象纵坐标都大于 1 图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢, 到了某一值后增 长速度极快; 函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢; 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, 值域是 或 ; (2)若 ,则 ; 取遍所有正数当且仅当 ; (3)对于指数函数 ,总有 ; (4)当 时,若 ,则 ; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果 ,那么数 叫做以 为底 的对数,记作: ( — 底数, — 真 数, — 对数式) 说明:○1 注意底数的限制 ,且 ; ○2 ; ○3 注意对数的书写格式. 两个重要对数:

○1 常用对数:以 10 为底的对数 ; ○2 自然对数:以无理数 为底的对数的对数 . 对数式与指数式的互化 (二)对数的运算性质 如果 ,且 , , ,那么: ○1 &#8226; + ; ○2 - ; ○3 . 注意:换底公式 ( ,且 ; ,且 ; ). 利用换底公式推导下面的结论(1) ;(2) . (二)对数函数 1、 对数函数的概念: 函数 , 叫做对数函数, 且 其中 是自变量, 函数的定义域是 (0, +∞) . 注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 如: , 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. ○2 对数函数对底数的限制: ,且 . 2、对数函数的性质: a>1 0<a<1 图象特征 函数性质 函数图象都在 y 轴右侧 函数的定义域为(0,+∞) 图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数 向 y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为 R 函数图象都过定点(1,0) 自左向右看, 图象逐渐上升 自左向右看, 图象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于 0 第一象限的图象纵坐标都大于 0 第二象限的图象纵坐标都小于 0 第二象限的图象纵坐标都小于 0 (三)幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如 的函数称为幂函数,其中 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2) 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数.特别地,当 时,幂函数的图 象下凸;当 时,幂函数的图象上凸;

(3) 时,幂函数的图象在区间 上是减函数.在第一象限内,当 从右边趋向原点时,图象 在 轴右方无限地逼近 轴正半轴,当 趋于 时,图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴. 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 ,把使 成立的实数 叫做函数 的零点。 2、函数零点的意义:函数 的零点就是方程 实数根,亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。 即: 方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点. 3、函数零点的求法: 求函数 的零点: ○1 (代数法)求方程 的实数根; ○2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 的图象联系起来,并利用函 数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 . 1) △>0, 方程 有两不等实根, 二次函数的图象与 轴有两个交点, 二次函数有两个零点. 2)△=0,方程 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 轴有一个交点,二次函数 有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点.

第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 2. 集合的含义 集合的中元素的三个特性:

(1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。

u

注意:常用数集及其记法:

非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1) 列举法:{a,b,c……} 2) 描述法: 将集合中的元素的公共属性描述出来, 写在大括号内表示集合的方法。 {x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn 图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}

二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,(2)A 与 B 是同一集合。 ; 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。Aí A ②真子集:如果 Aí B,且 A1 B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A) ③如果 Aí Bí ,那么 Aí B, C C ④ 如果 Aí 同时 Bí 那么 A=B B A

3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 u 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集

三、集合的运算 运算类型 交 集 并 集 补 集 定 义

由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集. 记作 A B (读作?A 交 B?) , 即 A B={x|x A,且 x B} . 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集.记作:A B (读作?A 并 B?) ,即 A B ={x|x A,或 x B}). 设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) S A 记作 ,即 CSA= 韦 恩 图 示 S

A 性 质 A A=A A Φ=Φ A B=B A ABA ABB A A=A A Φ=A A B=B A AB A ABB (CuA) (CuB) = Cu (A B) (CuA) (CuB) = Cu(A B) A (CuA)=U A (CuA)= Φ. 例题: 1.下列四组对象,能构成集合的是 ( )

A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数

2.集合{a,b,c }的真子集共有

个 .

3.若集合 M={y|y=x2-2x+1,x R},N={x|x≥0},则 M 与 N 的关系是 4.设集合 A= ,B= ,若 A B,则的取值范围是

5.50 名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有 40 人,化学实验做 得正确得有 31 人, 两种实验都做错得有 4 人,则这两种实验都做对的有 人。 .

6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合 M=

7.已知集合 A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若 B∩C≠Φ, A∩C=Φ,求 m 的值 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从 集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函 数的值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分 都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零,

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. u 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关) ;② 定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵 坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一点的坐标(x,y)均满 足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y),均 在C上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 2) 3) 平移变换 伸缩变换 对称变换

4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示.

5.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f(对应关系) :A(原象) B(象)” 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x) 的单调增区间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那 么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严

格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下 降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 2 作差 f(x1)-f(x2); 3 变形(通常是因式分解和配方) ; 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u)的单调性密切相关, 其规律: “同 增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写 成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶 函数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做 奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤:

1 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 作出相应结论: f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0, f(x)是偶函数; f(-x) =-f(x) 若 则 若 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意: 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. 首先看函数的定义域是 否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)± f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=± 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 1 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要 求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 2) 3) 4) 凑配法 待定系数法 换元法 消参法

10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2 利用图象求函数的最大(小)值 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 例题: 1.求下列函数的定义域:





2.设函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为_ _ 3.若函数 的定义域为 ,则函数的定义域是 4.函数 ,若 ,则 = 5.求下列函数的值域: ⑴ (3) ⑵ (4)

6.已知函数 ,求函数 , 的解析式 7.已知函数 满足 ,则 = 。

8.设 是 R 上的奇函数,且当 时, ,则当 时 = 在 R 上的解析式为 9.求下列函数的单调区间: ⑴ ⑵ ⑶ 10.判断函数 的单调性并证明你的结论. 11.设函数 判断它的奇偶性并且求证:

高一数学必修 1 知识点

? ? ? 集合与元素 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 集合 ? ? ? ?集 合 与 集 合 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(1) 元 素 与 集 合 的 关 系 : 属 于 ( ? ) 和 不 属 于 ( ? ) ? ? ( 2) 集 合 中 元 素 的 特 性 : 确 定 性 、 互 异 性 、 无 序 性 ? ? ( 3) 集 合 的 分 类 : 按 集 合 中 元 素 的 个 数 多 少 分 为 : 有 限 集 、 无 限 集 、 空 集 ?

? ( 4) 集 合 的 表 示 方 法 : 列 举 法 、 描 述 法 ( 自 然 语 言 描 述 、 特 征 性 质 描 述 ) 、 图 示 法 、 区 间 法 ?

? ? 子 集 : 若 x ? A ? x ? B, 则 A ? B, 即 A 是 B的 子 集 。 ? ? ?1、 若 集 合 A中 有 n 个 元 素 , 则 集 合 A的 子 集 有 2 n 个 , 真 子 集 有 ( 2 n - 1) 个 。 ? ? ? ? ? ? 2、 任 何 一 个 集 合 是 它 本 身 的 子 集 , 即 A ? A ? ? 注? ? ?关 系 ? ? 3、 对 于 集 合 A , B , C , 如 果 A ? B , 且 B ? C , 那 么 A ? C . ? ? ? 4、 空 集 是 任 何 集 合 的 ( 真 ) 子 集 。 ? ? ? ? ? 真 子 集 : 若 A ? B 且 A ? B 即 至 少 存 在 x ? B 但 x ? A) , 则 A 是 B 的 真 子 集 。 ( 0 0 ? ? ? 集 合 相 等 : A ? B且 A ? B ? A ? B ? ? ? ? ? ? 定 义 : A ? B ? ? x / x ? A且 x ? B ? ? ? ?交 集 ? ? ? 性 质 : A ? A ? A, A ? ? ? ? , A ? B ? B ? A, A ? B ? A , A ? B ? B, A ? B ? A ? B ? ? ? ? ? ? 定 义 : A ? B ? ? x / x ? A或 x ? B ? ? ? ? 并集 ? ? ? ? 性 质 : A ? A ? A, A ? ? ? A, A ? B ? B ? A, A ? B ? A, A ? B ? B , A ? B ? A ? ? ? ?运 算 ? C a rd ( A ? B ) ? C a rd ( A ) ? C a rd ( B ) - C a rd ( A ? B ) ? ? ? ? ? 定 义 : C U A ? ? x / x ? U 且 x ? A? ? A ? ? ? ? 补 集 ? 性 质 : A ) ? A ? ? ,C A ) ? A ? U , C ( C A ) ? A, C ( A ? B ) ? ( C A ) ? ( C B ), ? (C U ( U U U U U U ? ? ? C U ( A ? B ) ? (C U A ) ? (C U B ) ? ? ? ? ?

1、1.若集合 M ? ? ( x , y ) x ? y ? 0 ? , N ? ( x , y ) x ? y ? 0, x ? R , y ? R ,则有(
2 2

?

?

)A

A. M ? N ? M

B. M ? N ? N

C. M ? N ? M

D. M ? N ? ?

2、 若集合 A ? ? x | x ? 6, x ? N ? , B ? { x | x 是 非 质 数 } , C ? A ? B ,则 C 的非空子集的个 数为 。 15

3、设集合 A ? { x ? 3 ? x ? 2} , B ? { x 2 k ? 1 ? x ? 2 k ? 1} ,且 A ? B ,则实数 k 的取值范围 是 。 ?1 ? k ?
1 2
2 4、已知 A ? ? y y ? ? x ? 2 x ? 1? , B ? ? y y ? 2 x ? 1? ,则 A ? B ? _________。 ? y | y ? 0?

5、设 A ? { x x ? 4 x ? 0}, B ? { x x ? 2( a ? 1) x ? a ? 1 ? 0} ,其中 x ? R ,如果 A ? B ? B ,求
2 2 2

实数 a 的取值范围。

函数

? 映 射 定 义 : 设 A, B 是 两 个 非 空 的 集 合 , 如 果 按 某 一 个 确 定 的 对 应 关 系 , 使 对 于 集 合 A中 的 任 意 一 个 元 素 x , 在 集 合 B中 都 有 唯 一 确 定 的 元 素 y 与 之 对 应 , 那 么 就 称 对 应 f :? B 为 从 集 合 A到 集 合 B的 一 个 映 射 ? 传 统 定 义 : 如 果 在 某 变 化 中 有 两 个 变 量 x , y , 并 且 对 于 x在 某 个 范 围 内 的 每 一 个 确 定 的 值 , ? ? 按 照 某 个 对 应 关 系 f , y 都 有 唯 一 确 定 的 值 和 它 对 应 。 那 么 y 就 是 x的 函 数 。 记 作 y ? ?定 义 ? 近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射。 ? ? 定义域 ?函 数 及 其 表 示 ?函 数 的 三 要 素 ? 值 域 ? ? ? ?对应法则 ? ? ?解 析 法 ? ? ?函 数 的 表 示 方 法 ? 列 表 法 ? ? ?图 象 法 ? ? ? 传 统 定 义 : 在 区 间 ? a ,b ?上 , 若 a ? x1 ? x 2 ? b ,如 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , 则 f ( x ) 在 ? a ,b ?上 递 增 , a ,b ?是 ? ? ? ? 递 增 区 间 ; 如 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , 则 f ( x ) 在 ? a , b ?上 递 减 , a , b ?是 的 递 减 区 间 。 ? ? ? ?单 调 性 ? 导 数 定 义 : 在 区 间 ? a ,b ?上 , 若 f ( x ) ? 0 , 则 f ( x ) 在 ? a ,b ?上 递 增 , a ,b ?是 递 增 区 间 ; 如 f ( x ) ? 0 ? ? ? 则 f ( x ) 在 ? a ,b ?上 递 减 , a ,b ?是 的 递 减 区 间 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 最 大 值 : 设 函 数 y ? f ( x ) 的 定 义 域 为 I , 如 果 存 在 实 数 M 满 足 : ( 1) 对 于 任 意 的 x ? I , 都 有 f ( x ) ? 函数 ( 2 ) 存 在 x0 ? I, 使 得 f ( x0 ) ? M 。 则 称 M 是 函 数 y ? f ( x ) 的 最 大 ? 函 数 的 基 本 性 质 ??? 最 值 ?? 最 小 值 : 设 函 数 y ? f ( x ) 的 定 义 域 为 I , 如 果 存 在 实 数 N 满 足 : ( 1) 对 于 任 意 的 x? I , 都 有 f ( x ) ? ? ? ( 2 ) 存 在 x0 ? I, 使 得 f ( x0 ) ? N 。 则 称 N 是 函 数 y ? f ( x ) 的 最 小 ? ? ? (1 ) f ( ? x ) ? ? f ( x ), x?定 义 域 D , 则 f ( x ) 叫 做 奇 函 数 , 其 图 象 关 于 原 点 对 称 。 ? ? ? ? 奇 偶 性 ? ( 2 ) f ( ? x ) ? f ( x ), x?定 义 域 D , 则 f ( x ) 叫 做 偶 函 数 , 其 图 象 关 于 y 轴 对 称 。 ? ? ? ? 奇偶函数的定义域关于原点对称 ? 周 期 性 : 在 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 上 恒 有 f ( x ? T ) ? f ( x )( T ? 0 的 常 数 ) 则 f ( x ) 叫 做 周 期 函 数 , T 为 周 期 ; ? ? T的 最 小 正 值 叫 做 f ( x )的 最 小 正 周 期 , 简 称 周 期 ? ? ? ( 1) 描 点 连 线 法 : 列 表 、 描 点 、 连 线 ? ? ? ?向 左 平 移 ? 个 单 位 : y1 ? y , x1 ? a ? x ? y ? f ( x ? a ) ? ? ? ?向 右 平 移 a 个 单 位 : y ? y , x ? a ? x ? y ? f ( x ? a ) 1 1 ? ?平 移 变 换 ? 向 上 平 移 b 个 单 位 : x1 ? x , y1 ? b ? y ? y ? b ? f ( x ) ? ? ? ? ? ? ?向 下 平 移 b 个 单 位 : x1 ? x , y1 ? b ? y ? y ? b ? f ( x ) ? ? ? 横 坐 标 变 换 : 把 各 点 的 横 坐 标 x1缩 短 ( 当 w ?1 时 ) 或 伸 长 ( 当 0 ? w ?1 时 ) ? ? ? ? 到 原 来 的 1 / w 倍 ( 纵 坐 标 不 变 ) , 即 x1 ? w x ? y ? f ( w x ) ? ?伸 缩 变 换 ? 纵 坐 标 变 换 : 把 各 点 的 纵 坐 标 y1伸 长 ( A ?1 ) 或 缩 短 ( 0 ? A ?1 ) 到 原 来 的 A 倍 ? ? ? 函 数 图 象 的 画 法 ??? ( 横 坐 标 不 变 ) , 即 y1 ? y / A ? y ? f ( x ) ? ? ? ( 2) 变 换 法 ? ? ? ? ? x ? x11? 2 x00 x11? 2 x00? x ? 关 于 点 ( x 0 , y 0 ) 对 称 :y ? y ? 2 y ? ? y ? 2 y ? y ? 2 y 0 ? y ? f ( 2 x 0 ? x ) ? ? ? ? ? ? 关 于 直 线 x ? x0 对 称 : ? ? ? ? xy ?? xy11? 2 x0 ? ? xy11?? 2y x0 ? x ? y ? f ( 2 x0 ? x ) ? ?对 称 变 换 ? ? ? ? ?关 于 直 线 y ? y0 对 称 : ? ? xy1??x1y ? 2 y0 ? ? xy11?? x2 y0 ? y ? 2 y 0 ? y ? f ( x ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ? x11 ? 1 ( x ) ? ? 关 于 直 线 y ? x 对 称 :y ? y ? y ? f ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

典型示例: 1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为(



⑴ y1 ?

( x ? 3 )( x ? 5 ) x?3

, y 2 ? x ? 5 ;⑵ y 1 ?

x ?1

x ? 1 , y2 ?

( x ? 1)( x ? 1) ;

⑶ f ( x ) ? x , g ( x ) ? x 2 ;⑷ f ( x ) ? 3 x 4 ? x 3 , F ( x ) ? x 3 x ? 1 ; ⑸ f 1 ( x ) ? ( 2 x ? 5 ) 2 ,f 2 ( x ) ? 2 x ? 5 。 A. ⑵ B. ⑶ C. ⑴、 ⑵、 ⑷ ⑸ 2、 设 f ( x ) ? ? .
? x ? 2 , ( x ? 10 ) ? f [ f ( x ? 6 )], ( x ? 10 )

D. ⑶、

则 f ( 5 ) 的值为 (

) 10 A.

B. 1 1

C. 12

D.13

?1 ? 2 x ? 1( x ? 0 ), ? 3、设函数 f ( x ) ? ? 若 f ( a ) ? a . 则实数 a 的取值范围是 1 ? ( x ? 0 ). ?x ?
2



4、已知函数 f ( x ) ? ax ? 2 ax ? 3 ? b ( a ? 0) 在 [1, 3] 有最大值 5 和最小值 2 ,求 a 、 b 的值。
? 2 x ? x 2 (0 ? x ? 3) ? 5、函数 f ( x ) ? ? 2 的值域是( ? x ? 6 x(?2 ? x ? 0) ?

) D. ? ? 9,1 ?
25 4 , 4 ] ,则 m 的取值范围是( ? 3 2

A. R

B. ? ? 9, ? ? ?
2

C. ? ? 8,1 ?

7、若函数 y ? x ? 3 x ? 4 的定义域为 [0, m ] ,值域为 [ ? A. ? 0 , 4 ? B. [ , 4 ]
2 3 3] C. [ , 2 3



? D. [ , ? )

8、设函数 f ( x ) ? 2 x ? 3, g ( x ? 2) ? f ( x ) ,则 g ( x ) 的表达式是( A. 2 x ? 1
1? x



B. 2 x ? 1
2

C. 2 x ? 3

D. 2 x ? 7 ) D. ?
x 1? x
2

9、已知 f ( 1 ? x ) ? 1 ? x 2 ,则 f ( x ) 的解析式为(
1? x

A.

x 1? x
2

B. ?

2x 1? x
2

C.

2x 1? x
2

2

10、已知 g ( x ) ? 1 ? 2 x , f [ g ( x )] ? 11、函数 f ( x ) ? A. 3
cx 2x ? 3 ,(x ? ? 3 2

1? x x
2

1 ( x ? 0 ) ,那么 f ( ) 等于( 2



) 满足 f [ f ( x )] ? x , 则常数 c 等于(



B. ? 3

C. 3或 ? 3
2

D. 5 或 ? 3
2

12、已知 a , b 为常数,若 f ( x ) ? x ? 4 x ? 3, f ( ax ? b ) ? x ? 10 x ? 24, 则求 5 a ? b 的值。 13、已知 f ( x ) ? ?
?1, x ? 0 ? ? 1, x ? 0

,则不等式 x ? ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? 5 的解集是



14、已知函数 y ? f ( x ? 1) 定义域是 [ ? 2 , 3 ] ,则 y ? f ( 2 x ? 1) 的定义域是(



A. [ 0 ,

5 2

]

B. [ ? 1 , 4 ]

C. [ ? 5 , 5 ]

D. [ ? 3 , 7 ]

15、设函数 f ( x ) 的定义域为 [ 0 , 1] ,则函数 f ( x ? 2 ) 的定义域为__________。 16、已知函数 y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? ? 1 对称,且当 x ? ( 0 , ?? ) 时,有 f ( x ) ?
x ? ( ?? , ? 2 ) 时, f ( x ) 的解析式为(

1 x

, 则当 1 x?2

)A.?

1 x

B.?

1 x?2

C.

1 x? 2

D.?

m n ? ? ? 根 式 : a , n为 根 指 数 , a 为 被 开 方 数 ? n m ? ? a ? a n ? ? ? ? ? ? ?分 数 指 数 幂 ? ? ? ? r s r?s ?a a ? a (a ? 0, r , s ? Q ) ? ?指 数 的 运 算 ? ? ? ? ? r s rs 指数函数 ? (a ? 0, r , s ? Q ) ?性 质 ?(a ) ? a ? ? ? r r s ? ? (ab ) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q ) ? ? ? ? ? x ? ? 指 数 函 数 ? 定 义 : 一 般 地 把 函 数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1)叫 做 指 数 函 数 。 ? ? ? ? ?性 质 : 见 表1 ? ? ? ? 对 数 : x ? lo g a N , a 为 底 数 , N 为 真 数 ? ? ? ? ? lo g a ( M ? N ) ? lo g a M ? lo g a N ; ? ? ? 基本初等函数 ? ? ? ? M ? ? lo g ? lo g a M ? lo g a N ; ? ? a ? N ? ?对 数 的 运 算 ? ? ? ? 性 质 ? lo g M n ? n lo g M ; ( a ? 0 , a ? 1, M ? 0 , N ? 0 ) a a ? ?对 数 函 数 ? ? ? ? ? lo g c b ? lo ( a , c ? 0 且 a , c ? 1, b ? ? ?换 底 公 式 : g a b ? ? ? lo g c a ? ? ? ? ? ? ? 对 数 函 数 ? 定 义 : 一 般 地 把 函 数 y ? lo g a x ( a ? 0 且 a ? 1)叫 做 对 数 函 ? ? ? ? ?性 质 : 见 表1 ? ? ? ? ? 定 义 : 一 般 地 , 函 数 y ? x ? 叫 做 幂 函 数 , x是 自 变 量 , ? 是 常 数 。 ?幂 函 数 ? ? ?性 质 : 见 表 2 ?

? ? ? 零 点 : 对 于 函 数 y ? f( x), 我 们 把 使 f ( x ) ? 0 的 实 数 x叫 做 函 数 y ? f ( x ) 的 零 点 。 ? ? ?定 理 : 如 果 函 数 y ? f ( x ) 在 区 间 [ a , b ]上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 并 且 有 f ( a ) ? f ( b ) ? ? 零 点 与 根 的 关 系 ? 那 么 , 函 数 y ? f ( x ) 在 区 间 [ a , b ]内 有 零 点 。 即 存 在 c ? ( a , b ), 使 得 f ( c ) ? 0 , 这 个 c 也 ? ? ? 程 f ( x ) ? 0的 根 。 ( 反 之 不 成 立 ) ? ? ?关 系 : 方 程 f ( x ) ? 0 有 实 数 根 ? 函 数 y ? f ( x ) 有 零 点 ? 函 数 y ? f ( x )的 图 象 与 x 轴 有 交 ? ? ? (1 ) 确 定 区 间 [ a , b ], 验 证 f ( a ) ? f ( b ) ? 0 , 给 定 精 确 度 ? ; 函数与方程 ? ? ? ( 2 ) 求 区 间 ( a , b )的 中 点 c ; ? ? 函数的应用 ? ? ( 3 ) 计 算 f ( c ); ?二 分 法 求 方 程 的 近 似 解 ? ① 若 f ( c ) ? 0 , 则 c就 是 函 数 的 零 点 ; ? ? ? c ? ? ② 若 f ( a ) ? f ( c ) ? 0 , 则 令 b ? ( 此 时 零 点 x 0 ? ( a , b )) ; ? ? c ? ③ 若 f ( c ) ? f ( b ) ? 0 , 则 令 a ? ( 此 时 零 点 x 0 ? ( c , b )) ; ? ? ? ( 4 ) 判 断 是 否 达 到 精 确 度 ? : 即 若 a - b ? ? , 则 得 到 零 点 的 近 似 值 a ( 或 b ); 否 则 重 复 2 ? ? ? ? ?几 类 不 同 的 增 长 函 数 模 型 ?函 数 模 型 及 其 应 用 ? 用 已 知 函 数 模 型 解 决 问 题 ? ?建 立 实 际 问 题 的 函 数 模 型 ?


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