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北京市西城区2009-2010学年度第一学期高三期末考试数学试卷(理) (修复的)


北京市西城区 2010 年抽样测试 高三数学试卷(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)

2010.01

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 A、

?x 0 ? x ? 1?; ⑴ 设全集 U ? R ,集合 A ? x x 2 ? 2 x ? 0 , B ? ?x x ? 1?,则集合 A ? ?? U B ? ? B、 ?x 0 ? x ? 1?; D、 ?x x ? 1?。 C、 ?x 0 ? x ? 2?;

?

?

⑵ 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A、 y ? e x ; C、 y ? ? x ;
3

B、 y ? sin x ; D、 y ? log1 x 。
2

⑶ 下图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为

侧(左)视图 俯视图 A、6; B、8; C、16; D、24。 3 ⑷ 若向量 a , b 满足 a ? b ? 1 ,且 a ? b ? b ? b ? ,则向量 a , b 的夹角为 2 A、30° ; B、45° ; C、60° ; D、90° 。 ⑸ 关于直线 l,m 及平面 ? , ? ,下列命题中正确的是 A、若 l // ? , ? ? ? ? m ,则 l // m ; C、若 l ? ? , l // ? ,则 ? ? ? ; B、若 l // ? , m // ? ,则 l // m ; D、若 l // ? , m ? l ,则 m ? ? 。

正(主)视图

⑹ 执行右图所示的程序,输出的结果为 48,则判断框中应填入的条件为

A、 i ? 4 ;

B、 i ? 4 ;

C、 i ? 6 ;

D、 i ? 6 。

1

⑺ 已知 0 ? a ? b ? 1 ,设 x ? logb A、 y ? x ? z ; C、 x ? z ? y ;

1 1 , y ? loga , z ? loga b ,则 b b B、 y ? z ? x ;
D、 x ? y ? z 。

⑻ 若椭圆或双曲线上存在点 P, 使得点 P 到两个焦点的距离之比 2: 则称此椭圆或双曲线上存在 ? 点” 1, “ , 下列曲线中存在“ ? 点”的是
2 2 A、 x ? y ? 1 ;

16

15
2

2 2 B、 x ? y ? 1 ;

25

24

C、 x 2 ?

y ?1; 15

D、 x 2 ? y 2 ? 1 。

第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题;每小题 5 分,共 30 分。把答案填在题中的横线上。 i ⑼ 设 i 是虚数单位,则 。 ? 1 ? i3 5 3 ? ? ⑽ ? x ? 2 ? 的展开式中的常数项为 。 x ? ? ⑾ 若直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 1 ? a ? 0 相切,则 a ? 。 1 n ⑿ 在△ABC 中, b、 分别是三个内角 A、 C 的对边, a ? 1 ,b ? 2 ,cos B ? , s A ? a、 c B、 若 则i 3 ⒀ 将编号为 1、2、3 的三个小球,放入编号为 1、2、3、4 的四个盒子中。 如果每个盒子中最多放一个球,那么不同的放球方法有 如果 4 号盒子中至少放两个球,那么不同的放球方法有 种; 种。



⒁ 无穷等差数列 ?an ? 的各项均为整数,首项为 a1 ,公差为 d, Sn 是其前 n 项和,3、21、15 是其中的三 项。给出下列命题: ① 对任意满足条件的 d,存在 a1 ,使得 99 一定是数列 ?an ? 中的一项; ② 对任意满足条件的 d,存在 a1 ,使得 30 一定是数列 ?an ? 中的一项; ③ 存在满足条件的数列 ?an ? ,使得对任意的 n ? N * , S 2n ? 4S n 成立。 其中正确命题为 。 (写出所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ⒂(本小题满分 13 分) 已知函数 f ?x? ? ?cos x ? sin x?2 ? 3 cos 2x ? 1 。 ① 求 f ?x ? 的最小正周期和图象的对称轴方程; ? ?? ② 求 f ?x ? 在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值。 ? 2?

2

⒃(本小题满分 13 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,M、N 分别是 PA、BC 的中点,

PD ? 平面 ABCD,且 PD ? AD ? 2 , CD ? 1 。
① 证明: MN // 平面 PCD; ② 证明: MC ? BD ; ③ 求二面角 A ? PB ? D 的余弦值。

⒄(本小题满分 13 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 n ? N * ,数列 ?bn ? 为等比数列,且满足 b1 ? a1 ,
2b3 ? b4 。

?

?

① 求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;

② 求数列 ?anbn ? 的前 n 项和。

⒅(本小题满分 13 分) 设 a ? 0 ,函数 f ?x? ?

① 若曲线 y ? f ?x ? 在 ?2, f ?2?? 处切线的斜率为 ?1 ,求 a 的值; ② 求函数 f ?x ? 的极值点。

1 2 x ? ?a ? 1?x ? a ln x 。 2

3

⒆(本小题满分 14 分)已知抛物线 C: y 2 ? 4x ,直线 l: y ? kx ? b 与 C 交于 A、B 两点,O 为坐标原点。 ① 当 k ? 1 ,且直线 l 过抛物线 C 的焦点时,求 AB 的值; ② 当直线 OA、OB 的倾斜角之和为 45° 时,求 k,b 之间满足的关系式,并证明直线 l 过定点。

⒇(本小题满分 14 分)已知曲线 C: xy ? 1 ,过 C 上一点 A1 ?x1, y1 ? 作斜率为 k1 的直线,交曲线 C 于另一 点 A2 ?x2 , y2 ? , 再过 A2 ?x2 , y2 ? 作斜率为 k2 的直线, 交曲线 C 于另一点 A3 ?x3 , y3 ? , ?, 过 An ?xn , yn ? 作斜率为 kn 的直线,交曲线 C 于另一点 An ?1 ?xn ?1, yn ?1 ?,?, x ?1 n? N* 。 其中 x1 ? 1 , k n ? ? 2 n xn ? 4 xn

?

?

① 求 xn ?1 与 xn 的关系式; ② 判断 xn 与 2 的大小关系,并证明你的结论; ③ 求证: x1 ? 2 ? x2 ? 2 ? ? ? xn ? 2 ? 2 。

4

北京市西城区 2010 年高三年级抽样测试 数学试题(理)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 40 分。 题号 1 2 3 4 5 答案 B C B C C 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
1 1 ? i 9. 2 2 2 12. 3

参考答案
6 A 7 D 8 D

10. 15

11.2

13.24,10

14.①③

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分。若考生的解法与本解法不同,正确者可参照评分标准给分。 ) 15. (本小题满分 13 分) 解: (1) f ( x) ? 2 sin x cos x ? 3 cos2x 2分 4分 6分
?
2 k? ? x ? ? 2 12 ,得

? sin 2x ? 3 cos2x
? 2 sin( 2 x ?

?

3

)

所以,函数 f (x) 的最小正周期为 ? , 由
2x ?

?
3

7分 ,k ?Z ,
?

? k? ?

,k ?Z

? 12 , k ? Z , 9 分 所以,函数 f (x) 图象的对称轴方程为 x ? 2 ? ? ? 4?

k?

(2)因为

x ? [0,

] 2x ? ? [ , ] 2 ,所以 3 3 3 2 sin( 2 x ?
[0,

所以 ? 3 ≤

) 3 ≤2 ?
]

?

10 分 11 分

所以, f (x) 在区间 16. (本小题满分 13 分)

2 上的最大值为 2, 最小值为 ?

3

13 分

解: (1)证明:取 AD 中点 E,连接 ME,NE, 由已知 M,N 分别是 PA,BC 的中点,∴ME∥PD,NE∥CD 又 ME,NE ? 平面 MNE,ME ? NE=E, 所以,平面 MNE∥平面 PCD, 所以,MN∥平面 PCD (2)证明:因为 PD⊥平面 ABCD,所以 PD⊥DA,PD⊥DC, 在矩形 ABCD 中,AD⊥DC, 如图,以 D 为坐标原点,射线 DA ,DC,DP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正半轴, 建立空间直角坐标系 4分 2分 3分

则 D(0,0,0) ,A( 2 ,0,0) ,B( 2 ,1,0) C (0,1,0) ,P(0,0, 2 ) 6 分 所以 M (
2 2

,0,

2 2

MC ? (? ) BD ? (? 2 ,1,0) , ,

2 2 ,1,? ) 2 2

7分 8分

∵ MC · BD =0,所以 MC⊥BD

(3)解:因为 ME∥PD,所以 ME⊥平面 ABCD,ME⊥BD,又 BD⊥MC,所以 BD⊥平面 MCE, 所以 CE⊥BD,又 CE⊥PD,所以 CE⊥平面 PBD, 由已知
E( 2 2 EC ? (? ,1,0) ,0,0) 2 2 ,所以平面 PBD 的法向量
5

9分 10 分

M 为等腰直角三角形 PAD 斜边中点,所以 DM⊥PA, 又 CD⊥平面 PAD,AB∥CD,所以 AB⊥平面 PAD,AB⊥DM, 所以 DM⊥平面 PAB, 所以平面 PA B 的法向量 MD ? (EC ? MD | EC | | MD |
2 2 ? 2 ,0, 2 )

11 分 12 分

设二面角 A—PB—D 的平面角 为θ ,
cos ? ? ?



6 6

.
6 6

所以,二面角 A—PB—D 的余弦值为 17. (本小题满分 13 分) 解: (1)由已知

.

13 分 1分

S n ? n 2 ,得 a1 ? S1 ? 1

当 n ≥2 时, 所以

an ? S n ? S n?1 ? n ? (n ? 1) ? 2n ? 1
2 2
*

3分 5分

an ? 2n ? 1(n ? N )

由已知, b1 ? a1 ? 1 设等比数列 所以

{bn } 的公比为 q ,由 2b3 ? b4 得 2q 2 ? q 3 ,所以 q ? 2
n ?1

7分 8分

bn ? 2

(2)设数列 则

{an bn } 的前 n 项和为 Tn ,

Tn ? 1?1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 2 ? ... ? (2n ? 1) ? 2n?1 ,
? Tn ? 1?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 22 ? ... ? 2 ? 2 n?1 ? (2n ? 1) ? 2n

2Tn ? 1? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? . . ? (2n ? 1) ? 2 n , .
两式相减得 10 分

? 1 ? 2(2 ? 2 ? ... ? 2
2

n?1

) ? (2n ? 1) ? 2

n

? 1 ? 4(2 n?1 ? 1) ? (2n ? 1) ? 2 n ? ?(2n ? 3) ? 2 ? 3
n

11 分 12 分 13 分

所以

Tn ? (2n ? 3)2 ? 3
n

18. (本小题满分 13 分) 解: (1)由已知 x ? 0
a f ' ( x) ? x ? ( a ? 1) ? x

2分 4分 5分 6分 8分

曲线 y ? f (x) 在 (2, f (2)) 处切线的斜率为-1,所以 f ' (2) ? ?1
a 2 ? ( a ? 1) ? ? ?1 2 即 ,所以 a

?4

(2)

f ' ( x) ? x ? (a ? 1) ?

a x ? (a ? 1) x ? a ( x ? 1)(x ? a) ? ? x x x
2

① 当 0 ? a ? 1 时, 当 x ? (0, a) 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f (x) 单调递增; 当 x ? (a,1) 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f (x) 单调递减; 当 x ? (1,??) 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f (x) 单调递增。 此时 x ? a 是 f (x) 的极大值点, x ? 1 是 f (x) 的极小值点
6

10 分

② 当 a ? 1 时, 当 x ? (0,1) 时, f ' ( x) >0, 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 , 当 ? (1,??) 时, f ' ( x) ? 0 所以函数 f (x) 在定义域内单调递增,此时 f (x) 没有极值点 ③ 当 a ? 1 时,当 x ? (0,1) 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f (x) 单调递增; 当 x ? (a,1) 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f (x) 单调递减; 当 x ? (a,??) 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f (x) 单调递增 此时 x ? 1 是 f (x) 的极大值点, 11 分

x ? a 是 f (x) 的极小值点
当 a ? 1 时, f (x) 没有极值点; 当 a ? 1 时, x ? 1 是 f (x) 的极大值点, x ? 1 是 f (x) 的极小值点 19. (本小题满分 14 分) 解: (1)抛物线 C : y ? 4 x 的焦点为(1,0)
2

13 分

综上,当 0 ? a ? 1 时, x ? a 是 f (x) 的极大值点, x ? 1 是 f (x) 的极小值点;

2分

由已知 l : y = x ? 1 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,
? y 2 ? 4x ? 2 y ? x ?1 联立 ? ,消 y 得 x ? 6 x ? 1 ? 0 ,

所以 x1 ? x2 ? 6 , x1 x2 ? 1

4分
2 2 ( x2 ? x1 ) ? 4 x1 x2 ? 8

| AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? 2 ( x 2 ? x1 ) 2 ?

? y 2 ? 4x ? 2 (2)联立 ? y ? kx ? b ,消 x 得 ky ? 4 y ? 4b ? 0 ??????(*) (依题意 k ≠0)
y1 ? y 2 ? 4 4b y1 y 2 ? k , k ,
k1 ? k 2

8分
?1

设直线 OA, OB 的倾斜角 分别为α ,β ,斜率分别为 k 1 , k 2 ,则α +β =45°,

tan( ? ? ) ? tan450 , 1 ? k1k 2 ?

9分 11 分 12 分

4 y 4 k2 ? k1 ? 1 ? y 2 ,代入上式整理得 y1 y 2 ? 16 ? 4( y1 ? y 2 ) x1 y1 , 其中
4b 16 ? 16 ? k k ,即 b ? 4k ? 4 , 所以

此时,使(*)式有解的 k , b 有无数组 直线 l 的方程为 y ? kx ? 4k ? 4 ,整理得 k ( x ? 4) ? y ? 4

?x ? 4 ? 0 ? x ? ?4 ? ? y ? 4 ? 0 ,即 ? y ? 4 时 k ( x ? 4) ? y ? 4 恒成立, 消去 ?
所以直线 l 过定点(-4,4)
7

14 分

20. (本小题满分 14 分)

xn ? 1 xn ? 1 2 An ( xn , y n ) 斜率为 x ? 4 xn 的直线为: y ? y n ? ? xn ? 4 xn ( x ? xn ) , 解: (1)由已知过 x ?1 ? 2n An?1 ( xn?1 , yn?1 ) 所以 y n?1 ? y n = xn ? 4 xn ( xn?1 ? xn ) 直线交曲线 C 于另一点 2分 x ?4 1 1 x ?1 x ? n (n ? N * ) ? ? ? 2n ( xn?1 ? xn ) , xn?1 ? xn ≠0, 所以 n?1 xn ? 1 xn ? 4 xn 即 x n ?1 x n 4分 ?
2 n

(2)解:当 n 为奇数时,

xn ? 2 ;当 n 为偶数时, xn ? 2
xn ?1 ? 4 x ?2 ? 2 ? n?1 xn?1 ? 1 xn?1 ? 1 ,

5分

因为 注意到

xn ? 2 ?

6分

xn ? 0 ,所以 xn ? 2 与 xn?1 ? 2 异号 由于 x1 ? 1 ? 2 ,所以 x2 ? 2 ,以此类推,
* x ? 2; 当 n ? 2k ? 1(k ? N ) 时, n * x ?2 当 n ? 2k (k ? N ) 时, n

8分

(3)由于

xn ? 0 , xn?1 x 所以 n ≥1( n ? 1,2,3 ,?)
所以
| xn ?1 ? 2 |?|

x ?4 3 ? n ? 1? xn ? 1 xn ? 1 ,

9分 10 分
1
n ?1

xn ? 2 | x ?2| 1 |? n xn ? 1 xn ? 1 ≤ 2 | x n ? 2 |
1 | xn?2 ? 2 |
1 1

| x ? 2 | ≤ 2 | x n ?1 ? 2 | ≤ 2 2 所以 n

1

≤?≤ 2
2

| x1 ? 2 |?

1 2 n ?1

12 分 14 分

| x ? 2 | ? | x2 ? 2 | ?...? | xn ? 2 | ≤ 1 ? 2 ? ( 2 ) 所以 1

1 1 ? ... ? ( ) n ?1 ? 2 ? ( ) n ?1 ? 2 2 2

8


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